第十四讲多元函数的极限与连续
14 . 1 多元函数极限与连续的基本概念
对多元函数的研究，主要以二元函数为代表，对多于两个变元的函数，基本上与二元函数相似．要讨论二元函数，就要涉及它所定义的平面点集问题，这正如要讨论一元函数就要研究实数点集一样． 一、关于平面点集 1 ．点 P 0(x 0, y 0)的邻域
对δ>0，称点集(x , y )|x -x 0
．通称为P 0点的δ邻域，(x -x 0)2+(y -y 0)2
{}
P ∈R 2为一定点，E ⊂R 2为一点集．
( 1 ）内点：若∃δ>0，使 (P ; δ)⊂E ，则称P 为 E 的内点． E 的所有内点所成之集称为 E 的内部，记为 intE .
( 2 ）外点：若∃δ>0 ，使 (P ; δ) E =Φ，则称P 为 E 的外点．
C C
( 3 ）界点：若∀δ>0，有 (P ; δ) E ≠Φ，且 (P ; δ) E ≠Φ（其中厂为E 的余
集），则称P 为 E 的边界点，简称为界点． E 的所有界点所成之集称为 E 的边界，记为∂E
( 4 ）聚点：若 ∀δ>0，有 (P ; δ) E ≠Φ，则称P 为 E 的聚点． E 的所有聚点所
'
成之集称为 E 的导集，记为E ．
( 5 ）孤立点：若P ∈E ，且∃δ>0，使 (P ; δ) E =Φ，则称P 为 E 的孤立点．
3 ．一些重要的平面点集
( 1 ）开集：若int E =E ，则称 E 为开集． ( 2 ）闭集：若E ⊂E ，则称 E 为闭集，
( 3 ）连通集：若 E 内任意两点之间都可用一条完全含于 E 内的有限折线相连接，则称 E 为连通集．
( 4 ）开域：连通的开集称为开域．
( 5 ）闭域：开域连同其边界所成点集称为闭域．
( 6 ）区域：开域、闭域或开域连同它的部分边界所成的点集通称为区域．
( 7 ）有界集：若∃r >0，使得E ⊂ (O , r ) ( O 为坐标原点），则称 E 为有界集．
'
（ 8 ）无界集：若 ∀r >0，使得E ⊄ (O , r ) ( O 为坐标原点），则称 E 为无界集． ( 9 ）点集的直径：d (E )=sup (P , Q )（其中 p 表示距离）
O , Q ∈E
4 . R 的完备性．
与实数的完备性一样，R 也是完备的．刻画实数完备性的定理也可推广到R 中来． ( l ）点列的极限：设{P n (x n , y n )}⊂R 2，为一点列，P 0(x 0, y 0)∈R 2 为一定点，若对 当 n > N 时，恒有ρ(P n , P 0)0, ∃N >0，
n ←∞
2
22
注：lim P n =P 0⇔lim x n =x 0, lim y n =y 0．
n ←∞
n →∞
n →∞
( 2 ）柯西准则：点列{P n }收敛⇔对 ∀ε>0, ∃N >0，当n , m > N 时，恒有ρ(P n , P m )
2
① D n ⊃D n +1, n =1, 2,... ； ②lim d n =0(d n =d (D n ));
n →∞
则存在唯一的点P 0∈D n , n =1, 2,...
( 4 ）聚点定理：设 E 为有界无穷点集，则必有聚点． 推论：有界无穷点列必有收敛子列．
( 5 ）有限覆盖定理：设 D 为有界闭域，H ={∆a |∆a , a ∈I 为开域｝，若 H 覆盖了 D ，则必有有限个开域覆盖了 D , 即 ∆i ⊃D .
i =1n
例 14 . 1 设E ⊂R 为一点集，A (x a , y a )为 E 的内点，B (x b , y b )为 E 的外点，证明：
2
连接 A , B 的直线段必与 E 的边界∂E 至少有一个交点．
证明：记x a -x b =l 1, y a -y b =l 2．取线段 AB 的中点 C (x c , y c )，若C ∈∂E ，则结论已成立．否则 A 与 C 或 B 与 C 必有一对是一内一外的．将它们记为A 1x 1, y 1,
b b
．则显然： B 1x 1, y 1
(
a a
)
()
① x 1, x 1⊂[x a , x b ], y 1, y 1⊂[y a , y b ]；
a
b
a
b
[]
b
[]
② x 1-x 1=
a
l 1a l
, y 1-y 1b =2． 22
重复以上步骤，若有某次取的中点C n ∈∂E ，则证明结束，否则这一过程一直进行下去，
a a
得到两个点列{A n x n , y n
(
)} , {B (x , y )}满足：
n
b
n
b n
a b a b a b a b
① x n , 2,... ) +1, x n +1⊂x n , x n , y n +1, y n +1⊂y n , y n (n =1
[][][][]
② x n -x n =
a b
l 1l 2a b
, y -y = n n 2n 2n
a b a b
由实数的闭区间套定理必存在唯一的x 0∈x n , x n , y 0∈y n , y n , n =1, 2,... , 下证
[][]
P 0(x 0, y 0)∈∂E ．事实上 ，假设不是如此，则P 0要么属于 E 的内部，要么属于 E 的外
部，不妨设它属于 E 的内部，由开集的定义，∃δ>0，使得 (P 0; δ)⊂E 由区间套定理，
a a 对上述的δ, ∃N >0，当 n > N 时，A n x n , y n
{()}⊂ (P ; δ), {B (x , y )}⊂ (P ; δ)，此
n
b
n
b n
与我们的取法矛盾，即必有P 0(x 0, y 0)⊂∂E 二、二元函数及极限 （一）二元函数 1 ．二元函数定义
若厂是从D ⊂R 到实数集R 上的一个映射，则称f 是一个二元函数， D 为f 的定义域，
2
f (D )⊂R 是其值域．记为z =f (x , y ), (x , y )∈D .
2 . n 元函数定义
若f 是D ⊂R 到实数集R 上的一个映射，则称 f 是一个 n 元函数， D 为f 的定义域，
2
f (D )⊂R 是其值域．记为y =f (x 1, x 2,..., x n ), (x 1, x 2,..., x n )∈D
3 . k 一次齐次函数
若函数u =f (tx 1, tx 2,..., tx n )=t k f (x 1, x 2,..., x n )则称f 为k 一次齐次函数。如
x
f (x , y )=x 2+y 2-xy tan 是2一次齐次函数
y
（二）二元函数的极限 1 ．二重极限
( l ）定义：设f 定义在D ⊂R 上的二元函数，P 0为 D 的聚点， A 是一个定常数，若对
2
∀ε>0, ∃δ>0，使当 P ∈ 0(P 0; δ) D 时，有f (P )-A
P →P 0时，以A 为极限，记为lim f (P )=A
P →P 0
注：若P (x , y )→P 0(x 0, y 0)，则极限用坐标表示为：若P 0(x 0, y 0)为 D 的聚点， 对∀ε>0, ∃δ>0，当x -x 0
f (x , y )-A
( 2 ）充要条件： ①
②
(x , y )→(x 0, y 0)
lim
f (x , y )=A
P →P 0
P →P 0(P ∈D )
lim
f (P )=A ⇔lim f (P )=A , (∀E ⊂D )
n →∞
P →P 0(P ∈D )
lim
f (P )=A ⇔对∀P n ∈D , 且P n →P 0有lim f (P n )=A
( 3 ）极限不存在（特殊路径法）：存在E 1, E 2⊂D ，且P 0是它们的聚点，若
P →P 0(P ∈E 1)
lim
f (P )=A 1,
P →P 0(P ∈E 2)
lim
f (P )=A 2
且A 1≠A 2，则lim f (P )不存在．
P →P 0
例 14 . 2 当(x , y )→(0, 0)时，证明： （ 1 ）f (x , y )=x sin
11
+y sin 极限为0 y x
（ 2 ）f (x , y )=
xy
极限不存在．
x 2+y 2
⎧1, 0
(x , y )∈R 2极限不存在． （ 3 ）f (x , y )=⎨
⎩0, 其余
证明：（ 1 ）对∀ε>0，取δ=
ε
2
>0，当x
f (x , y )-0=x sin
即
11
+y sin ≤x +y
(x , y )→(0, 0)
lim
f (x , y )=0
（ 2 ）当沿着x 轴（即y =0）让动点(x , y )→(0, 0)时，
xy
=0，当沿着
(x , y )→(0, 0)x 2+y 2lim
直线x =y 让动点(x , y )→(0, 0)时，
1xy 1
≠0，所以 =，而
(x , y )→(0, 0)x 2+y 222
lim
xy
不存在。
(x , y )→(0, 0)x 2+y 2lim
( 3 ）沿任何通过原点的直线y =kx ，让动点(x , y )→(0, 0)时，函数的极限都存在．且为 0 .
事实上，当y ≤0时，f ≡0，结论显然成立；当 y > 0 时，不妨设 k > 0 （因为 k x 2，此时f (x , kx )=0,
(x , y )→(0, 0)
lim
f (x , y )=lim f (x , kx )=0，即恒有
x →0
lim f (x , kx )=0
x →0
但是
(x , y )→(0, 0)
lim
f (x , y )还是小存在，事头上，当沿着路径y =
12
x ，让动点(x , y )→(0, 0) 2
(x , y )→(0, 0)
lim
f (x , y )=1≠0
注：这个例子说明，当判断二元函数在某点处极限是否存在时，即使沿通过该点的所有直线趋于该点时的极限都存在且相等，还不能确定该点的极限存在． 2 ．二次极限（也叫累次极限）
( l ）定义：形如lim lim f (x , y )和lim lim f (x , y )的极限，分别称为先x 后 y 和先 y 后
y →y 0x →x 0
x →x 0y →y 0
x 的二次极限．
注：两二次极限若都存在，可未必相等；也可以一个存在，另一个不存在． 例 14 . 3 考查下来函数的两个累次极限：
x -y +x 2+y 2
( 1 ) f (x , y )=在(0, 0)点；
x +y
( 2 ) f (x , y )=x sin
11
和g (x , y )=y sin 在(0, 0)点；
x y
( 3 ) f (x , y )=
xy
22
x +y
x 2+x y 2-y
=1 解：（ 1 ）lim lim f (x , y )=lim =-1，但lim lim f (x , y )=lim
x →0y →0y →0y →0x →0y →0x y
( 2 ) lim lim f (x , y )=lim lim x sin
y →0x →0
y →0x →0
11
=0, 但lim lim x sin 不存在
x →0y →0y y
11
lim lim g (x , y )=lim lim y sin 不存在，但lim lim y sin =0 y →0x →0y →0x →0x →0y →0x x
( 3 ) lim lim f (x , y )=lim lim
y →0x →0
y →0x →0
xy
=0=lim lim f (x , y ) 22x →0y →0x +y
( 2 ）二重极限与二次极限的关系：
① 无蕴含关系：即二重极限存在，两个二次极限未必存在，如例 14 . 2 ( l ）和例 14 . 3 ( 2 ) ；两二次极限存在且相等，二重极限未必存在，如例 14 . 2 ( 2 ）和例 14 . 3 ( 3 ) . ② 有联系：若二重极限与二次极限都存在，它们必相等．
证明：设
(x , y )→(x 0, y 0)
lim
f (x , y )与lim lim f (x , y )都存在，记
x →x 0y →y 0
(x , y )→(x 0, y 0)
lim
f (x , y )=A ，则对
∀ε>0, ∃δ1>0, x -x 0
y →y 0
y →y 0
ε
2
对于固定的x , x ∈ 0(x 0, δ1)由于lim f (x , y )极限存在，记为lim f (x , y )=ϕ(x )，所以
∃δ(0
f (x , y )-ϕ(x )
当0
ε
2
(x )-A ≤(x )-f (x , y )+f (x , y )-A
即
(x , y )→(x 0, y 0)
ε
2
+
ε
2
=ε
lim
f (x , y )=A .
同理，当另一个二次极限与二重极限都存在时，它们也相等，所以得到了判定二重极限存在的又一种方法：若两个二次极限都存在，但不相等，则二重极限必不存在．如例 14 . 3 ( 1 ）中的函数在原点处，二重极限必不存在．
注：已经知道，对一元函数，其极限类型共有 24 种，对二元函数，极限类型更多，没必要再一一指出，下面仅通过一个例子稍加说明． 例 14 . 4 写出下列类型极限的精确定义： ( l ) ( 3 )
(x , y )→(x 0, +∞)(x , y )→(+∞, y 0)
lim
f (x , y )=A （ 2 ）
(x , y )→(-∞, +∞)(x , y )→(x 0, ∞)
lim
f (x , y )=A f (x , y )=-∞．
lim
f (x , y )=+∞（ 4 ）
lim
解： ( l ）对∀ε>0，∃δ>0及 M > O ，当0M 时，恒有
f (x , y )-A
( 2 ）对∀ε>0，∃M >0，当x M 时，恒有
f (x , y )-A
( 3 ）对∀M >0, ∃G >0，及∃δ>0，当x >G , 0
f (x , y )>M
( 4 ）对∀M >0, ∃G >0及∃δ>0，当0M 时，恒有
f (x , y >M
例 14 . 5 给出符合下列条件的函数的例子：当x →+∞, y →+∞时： ( 1 ）两个二次极限存在，但二重极限不存在；
( 2 ）两个二次极限不存在，但二重极限存在； ( 3 ）重极限与二次极限都不存在；
( 4 ）重极限与一个二次极限存在，另一个二次极限不存在． 解： ( 1 ) f (x , y )=
xy
，二次极限 lim lim f (x , y )=0=lim lim f (x , y )，但二22x →+∞y →+∞y →+∞x →∞x +y
重极限不存在：当沿着y =x 与y =2x 两条路径趋于+∞时它们的极限不等． ( 2 ) f (x , y )=
11
sin y +sin x ，符合要求（验证略） x y
( 3 ) f (x , y )=xy ，符合要求（验证略） ( 4 ) f (x , y )=
1
sin y ，符合要求（验证略） . x
3 ．二重极限的求法 ( l ）用定义；
( 2 ）用一元函数的方法，如特殊极限法、迫敛法则等；
⎧x =r cos θ
( 3 ）对(x , y )→(0, 0)类型的极。良，求极限日寸可作极坐标代换⎨化为r →0
y =r sin θ⎩
的一元函数的极限，进而可以用洛必达法则等（注意，从例 14 . 2 ( 3 ）可知，只有在极限
存在时，才可以用此法） . 例 14 . 6 求下列极限：
sin xy x 2y x 2+y 2
lim ( l ）lim ； ( 2 ）； ( 3 ）· lim
(x , y )→(0, 1)x (x , y )→(0, 0)x 2+y 2(x , y )→(+∞, +∞)x 4+y 4
解：( l )（用定义）对∀ε>0 ，取δ=ε>0，当 0
x 2y x 2y
≤2=y
x +y x
x 2y
即lim =0 (x , y )→(0, 0)x 2+y 2
注：也可以用转化为极坐标的方法． ( 2 ) （用定义）∀ε>0，取M =
2
ε
>0，当x >M , y >M 时，恒有
x 2+y 2x 2y 211εε
≤+≤+
x 4+y 4x 4+y 4x 4+y 4x 2y 222x 2+y 2即 lim =0
(x , y )→(+∞, +∞)x 4+y 4
( 3 )
⎛sin xy sin xy ⎫
⎪=lim y ∙=1 ⎪(x , y )→(0, 1)x (x , y )→(0, 1) xy ⎭⎝lim
三、二元函数的连续性
（一）在一点的连续性 1 ．定义
( 1 ）定义：设 f 的定义域为D ⊂R ，P 0(x 0, y 0)∈D ，若
2
(x , y )→(x 0, y 0)
l i m
f (x , y )=f (x 0, y 0)，
则称f 在P 0点连续．
2( 2 ) (ε-δ语言）：设 f 的定义域为D ⊂R ，P 0(x 0, y 0)∈D ，若对∀ε>0，∃δ>0，
当(x , y )∈D 且x -x 0
注：若P 0(x 0, y 0)为 D 的孤立点，则 f 在P 0点必连续．这是因为在P 0的某δ邻域内属于f 定义域的点仅有P 0一个点，此时，f (x , y )-f (x 0, y 0=f (x 0, y 0)-f (x 0, y 0=0
∆x =x -x 0, ∆y =y -y 0, ∆f =f (x , y )-f (x 0, y 0)（称为函数的全增量） ;
∆x f =f (x , y 0)-f (x 0, y 0), ∆y f =f (x 0, y )-f (x 0, y 0)（分别称为关于x 和 y 的偏增
量） ; 则当
(∆x , ∆y )→(0, 0)
lim
∆f =0时，称 f 在P 0(x 0, y 0)点连续．
2 ．间断点
使得 f 不连纹的点．叫f 的间断点．特别若
(x , y )→(x 0, y 0)
lim
f (x , y )=A ≠f (x 0, y 0)
或 f 在点P 0无定义时．称P 0为可去间断点． 3 ．在P 0(x 0, y 0)点关于两个变元分别连续
若lim (x , y 0)=f (x 0, y 0)，则称f (x , y )在P 0点关于x 是连续的．
x →x 0
若lim f (x 0, y )=f (x 0, y 0)，则称f (x , y )在P 0点关于 y 是连续的．
y →y 0
4 ．连续（或称为关于两变元（ x , y ）的整体连续）与分别连续的关系 ( 1 ）连续⇒分别连续：结论是显然的，因为若
(∆x , ∆y )→(0, 0)
lim ∆f =0，则必有
∆x →0
lim ∆x f =0，和lim ∆y f =0·
∆y →0
( 2 ）分别连续未必连续：例如，f (x , y )=⎨
⎧1, xy ≠0
在原点处显然不连续，但由于
⎩0, xy =0
f (0, y )=f (x , 0)=0，因此，在原点处 f 对二和 y 是分别连续的．
注：若函数 f 关于各变量是分别连续的，再附加些什么条件可使其连续呢？这个问题在 14 . 2 节讨论．
5 ．在一点连续的性质 同一元函数．
（二）在区域上的连续性 1 ．定义
若函数f (x , y )在区域 D 上每一点都连续，则称f 在区域 D 上连续． 2 ．有界闭域上连续函数的性质
( 1 ）取最大（小）值性：若函数f (x , y )在有界闭域 D 上连续，则函数在 D 上必可取到最大值和最小值．
( 2 ）有界性：若函数f (x , y )在有界闭域 D 上连续．则函数在 D 上必有界． ( 3 ）介值定理：若函数f (x , y )在区域 D 卜连续，P 1, P 2为 D 中任意两点．若
f (P 1)
f (P 0)=μ
( 4 ）一致连续性：若函数f (x , y )在有界闭域D 上连续．则必致连续．
注： ① 二元函数f (x , y )在区域 D 卜致连续定义：对∀ε>0, ∃δ>0，对∀(x 1, y 1) ,
(x 2, y 2)∈D ，当x 1-x 2
② 二元函数在区域 D 上不一致连续定义：对∀δ>0, ∃(x 1, y 1), (x 2, y 2)∈D ．虽∃ε0>0，然x 1-x 2
1
在D =[0, 1)⨯(0, 1]上连续，但不一致连续． 1-xy
1
的定义域，而初等函数在定义域上都是连续 1-xy
证明：因为 D 属于初等函数f (x , y )=
的．下证它不一致连续：取ε0=
1δ>0，对∀δ>0(0
x 2=y 2=1-δ，则(x 1, y 1), (x 2, y 2)∈D ，且x 1-x 2=
δ
2
δ
2
f (x 1, y 1)-f (x 2, y 2)=
1
δ-
即f (x , y )=
δ2
4
-
12δ-δ2
31-δ1≥1∙1>1=ε ≥0δ2δ88
1
在D =[0, 1)⨯(0, 1]上不一致连续． 1-xy
第十四讲多元函数的极限与连续
14 . 1 多元函数极限与连续的基本概念
对多元函数的研究，主要以二元函数为代表，对多于两个变元的函数，基本上与二元函数相似．要讨论二元函数，就要涉及它所定义的平面点集问题，这正如要讨论一元函数就要研究实数点集一样． 一、关于平面点集 1 ．点 P 0(x 0, y 0)的邻域
对δ>0，称点集(x , y )|x -x 0
．通称为P 0点的δ邻域，(x -x 0)2+(y -y 0)2
{}
P ∈R 2为一定点，E ⊂R 2为一点集．
( 1 ）内点：若∃δ>0，使 (P ; δ)⊂E ，则称P 为 E 的内点． E 的所有内点所成之集称为 E 的内部，记为 intE .
( 2 ）外点：若∃δ>0 ，使 (P ; δ) E =Φ，则称P 为 E 的外点．
C C
( 3 ）界点：若∀δ>0，有 (P ; δ) E ≠Φ，且 (P ; δ) E ≠Φ（其中厂为E 的余
集），则称P 为 E 的边界点，简称为界点． E 的所有界点所成之集称为 E 的边界，记为∂E
( 4 ）聚点：若 ∀δ>0，有 (P ; δ) E ≠Φ，则称P 为 E 的聚点． E 的所有聚点所
'
成之集称为 E 的导集，记为E ．
( 5 ）孤立点：若P ∈E ，且∃δ>0，使 (P ; δ) E =Φ，则称P 为 E 的孤立点．
3 ．一些重要的平面点集
( 1 ）开集：若int E =E ，则称 E 为开集． ( 2 ）闭集：若E ⊂E ，则称 E 为闭集，
( 3 ）连通集：若 E 内任意两点之间都可用一条完全含于 E 内的有限折线相连接，则称 E 为连通集．
( 4 ）开域：连通的开集称为开域．
( 5 ）闭域：开域连同其边界所成点集称为闭域．
( 6 ）区域：开域、闭域或开域连同它的部分边界所成的点集通称为区域．
( 7 ）有界集：若∃r >0，使得E ⊂ (O , r ) ( O 为坐标原点），则称 E 为有界集．
'
（ 8 ）无界集：若 ∀r >0，使得E ⊄ (O , r ) ( O 为坐标原点），则称 E 为无界集． ( 9 ）点集的直径：d (E )=sup (P , Q )（其中 p 表示距离）
O , Q ∈E
4 . R 的完备性．
与实数的完备性一样，R 也是完备的．刻画实数完备性的定理也可推广到R 中来． ( l ）点列的极限：设{P n (x n , y n )}⊂R 2，为一点列，P 0(x 0, y 0)∈R 2 为一定点，若对 当 n > N 时，恒有ρ(P n , P 0)0, ∃N >0，
n ←∞
2
22
注：lim P n =P 0⇔lim x n =x 0, lim y n =y 0．
n ←∞
n →∞
n →∞
( 2 ）柯西准则：点列{P n }收敛⇔对 ∀ε>0, ∃N >0，当n , m > N 时，恒有ρ(P n , P m )
2
① D n ⊃D n +1, n =1, 2,... ； ②lim d n =0(d n =d (D n ));
n →∞
则存在唯一的点P 0∈D n , n =1, 2,...
( 4 ）聚点定理：设 E 为有界无穷点集，则必有聚点． 推论：有界无穷点列必有收敛子列．
( 5 ）有限覆盖定理：设 D 为有界闭域，H ={∆a |∆a , a ∈I 为开域｝，若 H 覆盖了 D ，则必有有限个开域覆盖了 D , 即 ∆i ⊃D .
i =1n
例 14 . 1 设E ⊂R 为一点集，A (x a , y a )为 E 的内点，B (x b , y b )为 E 的外点，证明：
2
连接 A , B 的直线段必与 E 的边界∂E 至少有一个交点．
证明：记x a -x b =l 1, y a -y b =l 2．取线段 AB 的中点 C (x c , y c )，若C ∈∂E ，则结论已成立．否则 A 与 C 或 B 与 C 必有一对是一内一外的．将它们记为A 1x 1, y 1,
b b
．则显然： B 1x 1, y 1
(
a a
)
()
① x 1, x 1⊂[x a , x b ], y 1, y 1⊂[y a , y b ]；
a
b
a
b
[]
b
[]
② x 1-x 1=
a
l 1a l
, y 1-y 1b =2． 22
重复以上步骤，若有某次取的中点C n ∈∂E ，则证明结束，否则这一过程一直进行下去，
a a
得到两个点列{A n x n , y n
(
)} , {B (x , y )}满足：
n
b
n
b n
a b a b a b a b
① x n , 2,... ) +1, x n +1⊂x n , x n , y n +1, y n +1⊂y n , y n (n =1
[][][][]
② x n -x n =
a b
l 1l 2a b
, y -y = n n 2n 2n
a b a b
由实数的闭区间套定理必存在唯一的x 0∈x n , x n , y 0∈y n , y n , n =1, 2,... , 下证
[][]
P 0(x 0, y 0)∈∂E ．事实上 ，假设不是如此，则P 0要么属于 E 的内部，要么属于 E 的外
部，不妨设它属于 E 的内部，由开集的定义，∃δ>0，使得 (P 0; δ)⊂E 由区间套定理，
a a 对上述的δ, ∃N >0，当 n > N 时，A n x n , y n
{()}⊂ (P ; δ), {B (x , y )}⊂ (P ; δ)，此
n
b
n
b n
与我们的取法矛盾，即必有P 0(x 0, y 0)⊂∂E 二、二元函数及极限 （一）二元函数 1 ．二元函数定义
若厂是从D ⊂R 到实数集R 上的一个映射，则称f 是一个二元函数， D 为f 的定义域，
2
f (D )⊂R 是其值域．记为z =f (x , y ), (x , y )∈D .
2 . n 元函数定义
若f 是D ⊂R 到实数集R 上的一个映射，则称 f 是一个 n 元函数， D 为f 的定义域，
2
f (D )⊂R 是其值域．记为y =f (x 1, x 2,..., x n ), (x 1, x 2,..., x n )∈D
3 . k 一次齐次函数
若函数u =f (tx 1, tx 2,..., tx n )=t k f (x 1, x 2,..., x n )则称f 为k 一次齐次函数。如
x
f (x , y )=x 2+y 2-xy tan 是2一次齐次函数
y
（二）二元函数的极限 1 ．二重极限
( l ）定义：设f 定义在D ⊂R 上的二元函数，P 0为 D 的聚点， A 是一个定常数，若对
2
∀ε>0, ∃δ>0，使当 P ∈ 0(P 0; δ) D 时，有f (P )-A
P →P 0时，以A 为极限，记为lim f (P )=A
P →P 0
注：若P (x , y )→P 0(x 0, y 0)，则极限用坐标表示为：若P 0(x 0, y 0)为 D 的聚点， 对∀ε>0, ∃δ>0，当x -x 0
f (x , y )-A
( 2 ）充要条件： ①
②
(x , y )→(x 0, y 0)
lim
f (x , y )=A
P →P 0
P →P 0(P ∈D )
lim
f (P )=A ⇔lim f (P )=A , (∀E ⊂D )
n →∞
P →P 0(P ∈D )
lim
f (P )=A ⇔对∀P n ∈D , 且P n →P 0有lim f (P n )=A
( 3 ）极限不存在（特殊路径法）：存在E 1, E 2⊂D ，且P 0是它们的聚点，若
P →P 0(P ∈E 1)
lim
f (P )=A 1,
P →P 0(P ∈E 2)
lim
f (P )=A 2
且A 1≠A 2，则lim f (P )不存在．
P →P 0
例 14 . 2 当(x , y )→(0, 0)时，证明： （ 1 ）f (x , y )=x sin
11
+y sin 极限为0 y x
（ 2 ）f (x , y )=
xy
极限不存在．
x 2+y 2
⎧1, 0
(x , y )∈R 2极限不存在． （ 3 ）f (x , y )=⎨
⎩0, 其余
证明：（ 1 ）对∀ε>0，取δ=
ε
2
>0，当x
f (x , y )-0=x sin
即
11
+y sin ≤x +y
(x , y )→(0, 0)
lim
f (x , y )=0
（ 2 ）当沿着x 轴（即y =0）让动点(x , y )→(0, 0)时，
xy
=0，当沿着
(x , y )→(0, 0)x 2+y 2lim
直线x =y 让动点(x , y )→(0, 0)时，
1xy 1
≠0，所以 =，而
(x , y )→(0, 0)x 2+y 222
lim
xy
不存在。
(x , y )→(0, 0)x 2+y 2lim
( 3 ）沿任何通过原点的直线y =kx ，让动点(x , y )→(0, 0)时，函数的极限都存在．且为 0 .
事实上，当y ≤0时，f ≡0，结论显然成立；当 y > 0 时，不妨设 k > 0 （因为 k x 2，此时f (x , kx )=0,
(x , y )→(0, 0)
lim
f (x , y )=lim f (x , kx )=0，即恒有
x →0
lim f (x , kx )=0
x →0
但是
(x , y )→(0, 0)
lim
f (x , y )还是小存在，事头上，当沿着路径y =
12
x ，让动点(x , y )→(0, 0) 2
(x , y )→(0, 0)
lim
f (x , y )=1≠0
注：这个例子说明，当判断二元函数在某点处极限是否存在时，即使沿通过该点的所有直线趋于该点时的极限都存在且相等，还不能确定该点的极限存在． 2 ．二次极限（也叫累次极限）
( l ）定义：形如lim lim f (x , y )和lim lim f (x , y )的极限，分别称为先x 后 y 和先 y 后
y →y 0x →x 0
x →x 0y →y 0
x 的二次极限．
注：两二次极限若都存在，可未必相等；也可以一个存在，另一个不存在． 例 14 . 3 考查下来函数的两个累次极限：
x -y +x 2+y 2
( 1 ) f (x , y )=在(0, 0)点；
x +y
( 2 ) f (x , y )=x sin
11
和g (x , y )=y sin 在(0, 0)点；
x y
( 3 ) f (x , y )=
xy
22
x +y
x 2+x y 2-y
=1 解：（ 1 ）lim lim f (x , y )=lim =-1，但lim lim f (x , y )=lim
x →0y →0y →0y →0x →0y →0x y
( 2 ) lim lim f (x , y )=lim lim x sin
y →0x →0
y →0x →0
11
=0, 但lim lim x sin 不存在
x →0y →0y y
11
lim lim g (x , y )=lim lim y sin 不存在，但lim lim y sin =0 y →0x →0y →0x →0x →0y →0x x
( 3 ) lim lim f (x , y )=lim lim
y →0x →0
y →0x →0
xy
=0=lim lim f (x , y ) 22x →0y →0x +y
( 2 ）二重极限与二次极限的关系：
① 无蕴含关系：即二重极限存在，两个二次极限未必存在，如例 14 . 2 ( l ）和例 14 . 3 ( 2 ) ；两二次极限存在且相等，二重极限未必存在，如例 14 . 2 ( 2 ）和例 14 . 3 ( 3 ) . ② 有联系：若二重极限与二次极限都存在，它们必相等．
证明：设
(x , y )→(x 0, y 0)
lim
f (x , y )与lim lim f (x , y )都存在，记
x →x 0y →y 0
(x , y )→(x 0, y 0)
lim
f (x , y )=A ，则对
∀ε>0, ∃δ1>0, x -x 0
y →y 0
y →y 0
ε
2
对于固定的x , x ∈ 0(x 0, δ1)由于lim f (x , y )极限存在，记为lim f (x , y )=ϕ(x )，所以
∃δ(0
f (x , y )-ϕ(x )
当0
ε
2
(x )-A ≤(x )-f (x , y )+f (x , y )-A
即
(x , y )→(x 0, y 0)
ε
2
+
ε
2
=ε
lim
f (x , y )=A .
同理，当另一个二次极限与二重极限都存在时，它们也相等，所以得到了判定二重极限存在的又一种方法：若两个二次极限都存在，但不相等，则二重极限必不存在．如例 14 . 3 ( 1 ）中的函数在原点处，二重极限必不存在．
注：已经知道，对一元函数，其极限类型共有 24 种，对二元函数，极限类型更多，没必要再一一指出，下面仅通过一个例子稍加说明． 例 14 . 4 写出下列类型极限的精确定义： ( l ) ( 3 )
(x , y )→(x 0, +∞)(x , y )→(+∞, y 0)
lim
f (x , y )=A （ 2 ）
(x , y )→(-∞, +∞)(x , y )→(x 0, ∞)
lim
f (x , y )=A f (x , y )=-∞．
lim
f (x , y )=+∞（ 4 ）
lim
解： ( l ）对∀ε>0，∃δ>0及 M > O ，当0M 时，恒有
f (x , y )-A
( 2 ）对∀ε>0，∃M >0，当x M 时，恒有
f (x , y )-A
( 3 ）对∀M >0, ∃G >0，及∃δ>0，当x >G , 0
f (x , y )>M
( 4 ）对∀M >0, ∃G >0及∃δ>0，当0M 时，恒有
f (x , y >M
例 14 . 5 给出符合下列条件的函数的例子：当x →+∞, y →+∞时： ( 1 ）两个二次极限存在，但二重极限不存在；
( 2 ）两个二次极限不存在，但二重极限存在； ( 3 ）重极限与二次极限都不存在；
( 4 ）重极限与一个二次极限存在，另一个二次极限不存在． 解： ( 1 ) f (x , y )=
xy
，二次极限 lim lim f (x , y )=0=lim lim f (x , y )，但二22x →+∞y →+∞y →+∞x →∞x +y
重极限不存在：当沿着y =x 与y =2x 两条路径趋于+∞时它们的极限不等． ( 2 ) f (x , y )=
11
sin y +sin x ，符合要求（验证略） x y
( 3 ) f (x , y )=xy ，符合要求（验证略） ( 4 ) f (x , y )=
1
sin y ，符合要求（验证略） . x
3 ．二重极限的求法 ( l ）用定义；
( 2 ）用一元函数的方法，如特殊极限法、迫敛法则等；
⎧x =r cos θ
( 3 ）对(x , y )→(0, 0)类型的极。良，求极限日寸可作极坐标代换⎨化为r →0
y =r sin θ⎩
的一元函数的极限，进而可以用洛必达法则等（注意，从例 14 . 2 ( 3 ）可知，只有在极限
存在时，才可以用此法） . 例 14 . 6 求下列极限：
sin xy x 2y x 2+y 2
lim ( l ）lim ； ( 2 ）； ( 3 ）· lim
(x , y )→(0, 1)x (x , y )→(0, 0)x 2+y 2(x , y )→(+∞, +∞)x 4+y 4
解：( l )（用定义）对∀ε>0 ，取δ=ε>0，当 0
x 2y x 2y
≤2=y
x +y x
x 2y
即lim =0 (x , y )→(0, 0)x 2+y 2
注：也可以用转化为极坐标的方法． ( 2 ) （用定义）∀ε>0，取M =
2
ε
>0，当x >M , y >M 时，恒有
x 2+y 2x 2y 211εε
≤+≤+
x 4+y 4x 4+y 4x 4+y 4x 2y 222x 2+y 2即 lim =0
(x , y )→(+∞, +∞)x 4+y 4
( 3 )
⎛sin xy sin xy ⎫
⎪=lim y ∙=1 ⎪(x , y )→(0, 1)x (x , y )→(0, 1) xy ⎭⎝lim
三、二元函数的连续性
（一）在一点的连续性 1 ．定义
( 1 ）定义：设 f 的定义域为D ⊂R ，P 0(x 0, y 0)∈D ，若
2
(x , y )→(x 0, y 0)
l i m
f (x , y )=f (x 0, y 0)，
则称f 在P 0点连续．
2( 2 ) (ε-δ语言）：设 f 的定义域为D ⊂R ，P 0(x 0, y 0)∈D ，若对∀ε>0，∃δ>0，
当(x , y )∈D 且x -x 0
注：若P 0(x 0, y 0)为 D 的孤立点，则 f 在P 0点必连续．这是因为在P 0的某δ邻域内属于f 定义域的点仅有P 0一个点，此时，f (x , y )-f (x 0, y 0=f (x 0, y 0)-f (x 0, y 0=0
∆x =x -x 0, ∆y =y -y 0, ∆f =f (x , y )-f (x 0, y 0)（称为函数的全增量） ;
∆x f =f (x , y 0)-f (x 0, y 0), ∆y f =f (x 0, y )-f (x 0, y 0)（分别称为关于x 和 y 的偏增
量） ; 则当
(∆x , ∆y )→(0, 0)
lim
∆f =0时，称 f 在P 0(x 0, y 0)点连续．
2 ．间断点
使得 f 不连纹的点．叫f 的间断点．特别若
(x , y )→(x 0, y 0)
lim
f (x , y )=A ≠f (x 0, y 0)
或 f 在点P 0无定义时．称P 0为可去间断点． 3 ．在P 0(x 0, y 0)点关于两个变元分别连续
若lim (x , y 0)=f (x 0, y 0)，则称f (x , y )在P 0点关于x 是连续的．
x →x 0
若lim f (x 0, y )=f (x 0, y 0)，则称f (x , y )在P 0点关于 y 是连续的．
y →y 0
4 ．连续（或称为关于两变元（ x , y ）的整体连续）与分别连续的关系 ( 1 ）连续⇒分别连续：结论是显然的，因为若
(∆x , ∆y )→(0, 0)
lim ∆f =0，则必有
∆x →0
lim ∆x f =0，和lim ∆y f =0·
∆y →0
( 2 ）分别连续未必连续：例如，f (x , y )=⎨
⎧1, xy ≠0
在原点处显然不连续，但由于
⎩0, xy =0
f (0, y )=f (x , 0)=0，因此，在原点处 f 对二和 y 是分别连续的．
注：若函数 f 关于各变量是分别连续的，再附加些什么条件可使其连续呢？这个问题在 14 . 2 节讨论．
5 ．在一点连续的性质 同一元函数．
（二）在区域上的连续性 1 ．定义
若函数f (x , y )在区域 D 上每一点都连续，则称f 在区域 D 上连续． 2 ．有界闭域上连续函数的性质
( 1 ）取最大（小）值性：若函数f (x , y )在有界闭域 D 上连续，则函数在 D 上必可取到最大值和最小值．
( 2 ）有界性：若函数f (x , y )在有界闭域 D 上连续．则函数在 D 上必有界． ( 3 ）介值定理：若函数f (x , y )在区域 D 卜连续，P 1, P 2为 D 中任意两点．若
f (P 1)
f (P 0)=μ
( 4 ）一致连续性：若函数f (x , y )在有界闭域D 上连续．则必致连续．
注： ① 二元函数f (x , y )在区域 D 卜致连续定义：对∀ε>0, ∃δ>0，对∀(x 1, y 1) ,
(x 2, y 2)∈D ，当x 1-x 2
② 二元函数在区域 D 上不一致连续定义：对∀δ>0, ∃(x 1, y 1), (x 2, y 2)∈D ．虽∃ε0>0，然x 1-x 2
1
在D =[0, 1)⨯(0, 1]上连续，但不一致连续． 1-xy
1
的定义域，而初等函数在定义域上都是连续 1-xy
证明：因为 D 属于初等函数f (x , y )=
的．下证它不一致连续：取ε0=
1δ>0，对∀δ>0(0
x 2=y 2=1-δ，则(x 1, y 1), (x 2, y 2)∈D ，且x 1-x 2=
δ
2
δ
2
f (x 1, y 1)-f (x 2, y 2)=
1
δ-
即f (x , y )=
δ2
4
-
12δ-δ2
31-δ1≥1∙1>1=ε ≥0δ2δ88
1
在D =[0, 1)⨯(0, 1]上不一致连续． 1-xy