数学教学基本功
小学数学教学基本功（提纲）
第一部分 小学数学教学基本功训练的内容、意义和训练途径
一、小学数学教学基本功训练的内容
（一）基本功的概念
基本功，按照人们通常的见解，是指从事某项工作所必需具备的基础知识和基本技能。 基本功具有下列特性：
(1)习得性．任何一项基本功通过学习和训练，都可以做到人人能学，个个都会。
(2)专业性．由于工作不同，各专业的基本功要求也不同，不同的专业有其不同的基本功要求。
(3)基础性．基本功并不是专业工作技能的全部，基本功通常是指那些完成专业任务的基本的技能，是那些人人都必须具备的、经常运用的、不再分解的技能。
（二）小学数学教学基本功的内容
教师是传播人类文明、开发人类智慧、塑造人类灵魂、影响人类未来的工程师．现代教育的发展，迫切要求教师必须加强教学基本功的训练。
小学数学教学基本功主要包括三个方面：一是小学数学基本功；二是小学数学教学基本功，包括掌握小学数学课程标准、熟悉小学数学教材和熟练的课堂教学技能等方面；三是教 育质量评价基本功。
1．小学教师的数学基本功
数学与文明同生并存，数学对物质文明和精神文明的建设都具有重要的作用。从90年代起，全球都认识到高技术是保持国家竞争力的关键因素，高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础则是数学。因此，从小培养学生具有良好的数学素质基础，是素质教育的需要，是人才培养的需要。小学教师理所当然应具备教学所必备的数学基本功，小学教师的数学基本功主要是数学语言基本功、计算基本功、识图画图基本功、逻辑思维基本功、解题基本功等。
2．小学数学教学基本功
教学是一门科学，又是一门艺术。课堂教学是一个可以控制的过程，具有科学性、形象性、情感性和创造性等特点。教师要根据国家确定的教学目的任务，以教育学、心理学和现代教学论等科学理论为指导，完成教学大纲和教材规定的教学任务，就必须具有过硬的教学基本功。
小学数学教学基本功包括教师对数学课程标准的掌握，教材分析和把握(备课)的基本功，组织教学(新课导人技能、课堂教与学的技能)基本功，教学板书基本功，教具演示基本功等．
3．教育质量评价基本功
教育质量评价是教学工作的重要组成部分。教育质量评价是根据国家规定的教学目的任务，采取一定的教育测量手段或评估方法，对学生掌握知识的水平和
能力水平的评价。随着小学数学教育的不断发展和提高，从定性到定量的科学地、客观地、相对准确地评价小学数学教学的质量，已越来越显示出它的重要性和迫切性。因此，小学数学教师应不断提高自己的教育质量评价基本功。
由于教育质量评价的对象(比如记忆能力、运算能力、想像能力、思维能力等)都是难于客观量化的，不能直接测量．因此，教育评价工作是有一定难度的．为保证科学、合理和相 对准确地评价学生学习的成绩，分析和研究教学经验和教训，促进教学水平的不断提高，小学数学教师应掌握好考核命题基本功和考核结果的整理、分析和使用基本功。
二、教学基本功训练的意义
（一）教学基本功训练是素质教育的需要
（二）教学基本功训练是深化教学改革的需要
（三）教学基本功训练是终身教育的需要
三、基本功训练的过程和途径
基本功训练是一个长期的逐步提高的过程。多数小学教师在职前的中师或高师教育阶段，已经有过某些方面的基本功训练，但是，要成为一个好的小学教师，还需要在从事教学工作的同时，进一步加强基本功的训练，努力提高自身基本功的水平。
为提高基本功训练的效果，应对基本功训练的过程和途径有所了解，并从自己已有的功底出发，结合教学实际进行有计划、有步骤地、刻苦地、持之以恒地训练。
（一）基本功形成的过程
基本功的形成是有阶段性的，在不同的阶段表现出不同的特征。一般而言，基本功形成过程大致可以分为三个阶段。
1．认知阶段
练习者通过学习或观察别人的示范，认知技能的基本要求，并通过自己的初步尝试和练习，掌握基本功的局部知识或单个的动作．在这一阶段，许多局部的知识相互干扰，动作不 协调，准确性和稳定性差，缺乏思维的敏捷性和灵活性．
2．形成阶段
练习者经过一定时间的训练，在熟练掌握单个动作和局部技能的基础上，许多局部的技能逐步协调，形成完整的、连贯的技能系统。在这一阶段，动作的协调性有所增强，多余动作的干扰有所减少，准确性和灵敏性都有明显地提高。
3．“自动化”阶段
在这一阶段，连贯的动作和技能已达到协调、准确、稳定、灵活的程度，心智活动熟练化，神经劳动的消耗减少，思维的敏捷性和灵活性已接近“自动化”的程度．许多技能或动 作的完成已经不再需要想一想，而是成为一种脱口而出、得心应手的技能。
（二）基本功形成的基本途径
基本功的形成，一靠学习，二靠训练，这是基本功形成的基本途径。
训练基本功不能是简单的动作技能重复练习，而应是有目的、有计划、有步骤的动作技能和心智技能的训练．在学习和训练基本功过程中，动作或心智的结
构都要发生变化，因而完成活动的方法也要做必要的改变．学习和训练基本功时，应注意以下几点。
1．明确训练目标
明确训练目标是基本功训练的基础．训练者应根据自身工作的性质，确定基本功训练的内容，明确训练的目标要求和训练的意义，从而充分调动自身的主观能动性，积极自觉地刻苦训练。
2．选择正确方法
掌握正确的训练方法是提高训练效果，保证基本功训练质量的关键。
在基本功形成的认知阶段，一定要选择正确的动作或技能作为自己训练的示范和样板，以形成正确的视觉形象．有了正确的视觉形象，才能根据一定的标准要求，通过逐步的模仿训练和实践运作，去掉多余的动作，排除无关技能的干扰，促进视觉形象与动觉表象的有机结合，逐步过渡到基本功的形成阶段．
3．坚持有计划地训练
训练必须有计划、有步骤地进行，要坚持循序渐进的原则，科学地分解训练步骤，合理地分配训练时间。
一般而言，复杂的动作和技能应进行必要的科学分解，从简单动作或技能人手，经过一
定的练习后再做综合训练．
在训练速度和时间分配方面，初始训练速度宜慢，应及时注意纠正不规范的动作和技能．训练时间以分散练习为主．每次练习时间过长，容易疲劳，进而产生消极态度，兴趣减退，训练效果降低。
另外，多数情况下，对同一项基本功，适当的分散训练比过度集中练习优越．它可以使每次练习的效果较好，时间也较经济，基本功的保持巩固和提高也较好。
4．训练方式要多样化
适当地使基本功训练方式多样化，不仅能提高大脑皮层的兴奋性，提高训练者的练习兴趣，而且能使练习的技能适用于多种情况，提高基本功运用的水平。
【作业题】
1. 什么是基本功，基本功有哪些特征？
2. 小学数学教学基本功主要指哪些项目的基本功？
3. 小学数学教学基本功训练的主要意义有哪些？
4. 基本功形成一般有哪几个阶段？训练中应该注意哪些问题？
第二部分 小学教师的数学基本功
小学教师要教学好小学数学，必须具备以下数学专业知识：(1)掌握小学数学的教学目的、要求；(2)小学数学课的教学内容和小学数学思想方法；(3)通晓中学数学乃至高等数 学的有关知识；(4)掌握小学数学基本功。
小学教师的数学基本功是小学教师的专业性技能，主要包括小学数学语言基本功、计算基本功、识图画图基本功、逻辑思维基本功、解题基本功等。下面着重介绍和论述这五项基本功训练的意义、训练目标和主要训练内容。
一、 数学语言基本功
语言是人类特有的用以表达情感、交流思想、传递信息的工具．良好的语言基本功不仅是公民必备的基本素质，更是教师最重要的职业基本功之一。
（一）数学语言基本功的意义
1．有利于学生掌握数学基础知识
2．有利于发展学生的思维能力
3．有利于学生良好数学语言的形成
（二）数学语言基本功的训练目标要求
1．数学语言必须准确精练
2．数学语言必须科学严谨
3．数学语言应富启发性
（三）数学口头语言
1．语音适度
2．节奏鲜明
3．形象生动
（四）数学文字语言
1．题文要一致
2．叙述要精练
3．层次要分明
（五）数学符号语言
1．元素符号
2．运算符号
3．关系符号
4．结合符号
5．性质符号
6．约定符号
（六）数学图形语言
1．线段图
在小学数学中，利用框图表达解题的思路通常比用语言叙述更为简洁、明白．另外，利
2．框图
3．集合图
【作业题】
1.叙述下列小学数学中的概念、性质和运算法则，要求用普通话，语言准确、简洁、严谨、有节奏感．
自然数 分数 循环小数 整除 最大公约数 最小公倍数 质数 多位数的读法法
则 多位数加法法则 加法交换律 乘法交换律 垂线 等腰三角形 图形的周长 面积 方程 解方程 方程的解
2. 改正下面错误的读法．
4321读作四三二一；
300280读作三十万二百八十；
12×(3+4) 读作十二乘三加四；
(35—5)÷5读作三十五减去五除以五：
28×3—6读作二十八乘三减去六．
3. 正确读出下面的数和式子．
1 280030 20．32 3— 12．03％ 2
a×(b+C)÷d 35—16÷4+5×7
4. 用文字语言叙述下列运算性质．
⑴ a一(b+C)=a一b—c
⑵ a÷(b×c)=a÷b÷c
⑶ (a×b)÷c=(a÷c)×b
5. 将下列错误说法用数学语言重新正确地表述．
⑴ 分子和分母没有公约数的分数叫做最简分数．
⑵ 分子大于分母的分数叫做假分数．
⑶ 0除以任何数都得0．
⑷ 含有未知数的式子叫做方程．
6. 正确、规范地书写下列数字(五遍)．
⑴ 十个阿拉伯数字．
⑵ 十五个中国数字．
0、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万、亿． ⑶ 十一个中国大写数字．
零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾．
7. 正确读写26个英文字母(大、小写)．
8. 正确读写教材中常用的希腊字母(大、小写)．
9. 画线段图，表示下列简单应用题的数量关系．
⑴ 甲比乙多几或少几．
⑵ 甲比乙的几倍多几或少几．
⑶ 甲是乙的几倍．
10. 画下列应用题的线段图．
⑴ 两个工程队，从甲队调130人去乙队，则两队人数相等，如果从乙队调50人去甲队，则乙队人数是甲队的专，两队原来各有多少人?
⑵ 甲乙两人各从西村、东村同时向东而行，甲骑自行车每小时行l4千米，乙步行每小时行5千米，2小时后甲追上乙，求两村的距离．
⑶ 一个年级女生的人数比男生人数的{少6人，已知女生比男生少16人，这个年级中女生有多少人?
11. 用框图表示下列应用题的解题思路．
⑴ 某服装厂做8件大衣和若干套制服，共用布52米．每件大衣用布3米，比每套制服少用布l米，这个厂做了多少套制服?
⑵ 工程队用18天修好东村一条长828米的路，如果用同样的工作效率修西村的路，需要25天．实际修西村的路时，每天多修4米，修西村的路实际用了多少天? ⑶ 某工厂计划全年生产机床480台，实际提前3个月完成了全年计划的1．2倍．照这样计算，这个厂全年实际生产机床多少台?
12. 用集合图表示四边形、平行四边形、长方形、正方形、梯形之间的关系．
二、计算基本功
（一）数学计算基本功的意义
1．有利于发展逻辑思维能力
2．有利于增强注意力和记忆力
3．有利于提高运用数学的能力
（二）计算基本功的训练目标
小学数学教师计算基本功训练目标是：
(1)熟练掌握基本口算(20以内的加减法、表内乘除法、百以内的乘加、乘减、除加、除减两步计算)，一般口算(万以内的整数四则计算及简单的小数、分数计算)，特殊口算
(利用运算定律和性质及特殊法则的速算)和其他口算基本功，能明确算理，科学地、准确地进行口算和口算教学．
(2)掌握常用速算和估算的科学理论，能灵活、巧妙地运用运算性质、法则和数的特征进行速算和估算．
(3)熟练掌握四则混合运算性质、法则，能科学地、准确地进行四则混合运算和教学．
(4)较熟练地掌握珠算加减法，会使用函数计算器，了解计算机的初步知识．
三、口算
1．10以内的口算加法和减法
2. 20以内的口算加法和减法
3．百以内的口算加法和减法
4．口算乘除法
一位数乘以一位数和相应的除法是按照乘法口诀进行口算的，所以又称表内乘法和相应的除法．
一位数乘整十、整百、整千数是先看做表内乘法，计算出积后，被乘数末尾有几个零，就在积的末尾添几个零．
一位数乘两位数、几百几十数的口算方法，实际上是应用了乘法分配律，先把被乘数分成整百、整十和几个一，分别乘以乘数后再相加．
口算除法的试商方法与笔算除法的试商方法基本上是一致的．
四、速算
1．凑整法 (1)分组凑整；(2)分解凑整．在计算时，根据数的特点对数进行分；(3)求补凑整．；(4)因数凑整．；2．分解法；(1)分解加数直加法；(2)分解减数直减法；(3)因数分解连乘法；(4)除数分解连除法；3．几种特殊方法；(1)一个数乘以11；(2)求首同尾补的两个两位数的积；(3)求尾同首补的两个两位数的积．；
(4)折半求商和翻番求商法；【作业题】；1.口算
(1)分组凑整
(2)分解凑整．在计算时，根据数的特点对数进行分解，使它产生整十、整百??的数，
(3)求补凑整．
(4)因数凑整．
2．分解法
(1)分解加数直加法
(2)分解减数直减法
(3)因数分解连乘法
(4)除数分解连除法
3．几种特殊方法
(1)一个数乘以11
(2)求首同尾补的两个两位数的积
(3)求尾同首补的两个两位数的积．
(4)折半求商和翻番求商法
【作业题】
1. 口算下面各题，并说明口算思路．
⑴ 8+5= 6+8= 9+6=
13—5= 14—6= 15—9=
⑵ 53+19= 47+35= 66+27=
71—53= 82—47= 93—66=
⑶ 520+80= 4700+600= 5300+1900=
600—520= 5300—600= 7200—1900=
2. 直接说出下面各题的得数．
⑴ 79+18+21= 56+65+35+44=
545+452+455+548=
⑵ 156 4-29= 3528—299=
6235—307=
⑶ 145+69= 289+93= 788-I-982=
⑷ 321×101= 321×201= 321×99=
3. 计算下面各题，列出速算式子．
⑴ 356+235= 812+769= 448+526=
⑵ 356—28= 812—77= 448—369=
⑶ 356×5= 812×25= 448×125=
⑷ 3444÷28= 4305÷35=
4. 直接说出下面各题的得数．
⑴ 446×11= 7685×11= 445533×11=
⑵ 42×48= 57×53= 64×66=
⑶ 84×24= 75×35= 46×66=
⑷ 2016÷4= 2125÷125=
5. 用计算器计算一、二、三、四题，检验口算、速算的结果．
6. 有26名学生的考分为98、75、81、80、91、78、63、82、80、79、66、90、92、85、83、94、70、82、76、93、88、69、84、85、79、86，求总分、平均分、标准差、标准偏差．
三、识图画图基本功
（一）识图画图基本功的意义
1．能有效地培养和提高空间想像能力
2．能提高分析问题、解决问题的能力
3．能深刻揭示数学美，提高学生学习数学的兴趣
（二）识图画图基本功的训练目标要求
小学数学教师识图画图基本功的训练目标是：
(1)能熟练地使用常用绘图工具画常见的平面图形，做到规范、简练、准确．
(2)掌握空间直线、平面及相互位置的画法，能形象、直观、规范地画简单多面体、旋转体及其组合体的直观图．
(3)能熟练地分解、割补、拼摆图形和分析图形中各元素问的相互关系，准确地获取数与形的各种信息．
训练识图、画图基本功，必须以几何基础知识为理论根据，由浅入深，由简到繁，由标准图形到变式图形，循序渐进，切忌想当然，随意地画图、识图．
训练识图、画图基本功，还必须认真地对形体进行多方位的观察、识别、比较、对照，增加感性认识，加强识记表象．
训练画图基本功，要从点、线、面等基本元素的规范画法练起，直线要直，平面要符合规范．要熟练掌握常用的基本作图方法，要准确地确定各元素间的关系．
（三）平面图形的常用画法
根据小学数学教学的需要，教师应熟练掌握下述基本平面图形的常用画法．
1．直线和角的画法
2.正多边形的画法
3．直线与圆弧、圆弧与圆连接的画法
4．椭圆的画法
（四）立体图形的画法
1．画立体图形的基本要求
画立体图形，必须做到规范、简练、准确、直观，使立体图形有很强的立体感． 规范：即所画立体图形符合投影原理，通常运用斜二测画法或正等测画法．
简练：画图方法力求简便，尽可能减少画图步骤．
准确：所画立体图能正确地反映形体各部分的位置关系，能揭示形体各元素的数量关系． 直观：所画立体图富立体感．通常可用虚实衬托法、粗细衬托法、平面衬托法、明暗衬托法及阴影衬托法等辅助手段增强立体感．
2．斜二测画法与正等测画法
3．水平放置的平面图形的直观图
4．空间线、面位置关系的画法
5．多面体的直观图画法
6．旋转体和球体的直观图画法
【作业题】
1. 用一付三角板(两块三角板)熟练地在黑板上画互相垂直
的两条直线、互相平行的两条直线．
2. 用一付三角板熟练地在黑板上画出15°、30°、45°、60°、75°、90°、l05°、l20°、l35°、l50°、l65°、l80°等角，要求画图步骤尽可能少．
3. 画出十种方向不同的直角．
4. 用尺规画边长为a的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形和正五角星形．
5. 已知长轴和短轴长，用焦点法画出椭圆．
6. 画出水平放置的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形的直观图．
7. 画出水平放置的圆的直观图，并能用硬纸板制作大小不同的几个椭圆板备用．
8. 画图表示直线和平面的各种位置关系的直观图．
9. 画图表示两个平面互相平行、相交、垂直等位置关系的直观图．
10.在黑板上熟练地画长方体、正方体、正三棱锥、正四棱台、圆柱、圆锥、圆台和球体的直观图．
四、逻辑思维基本功
逻辑思维，又称抽象思维，它是人们借助于概念、判断、推理等思维形式反映客观现实的过程．逻辑思维能力是指人们根据正确的思维规律和形式，对客观事物的属性进行分析综合、抽象概括、归纳类比、推理论证的能力．因此，逻辑思维能力是数学思维能力的核心，如果离开了逻辑思维能力的培养，那么要教好、学好数学都是不可能的．所以，小学数学大 纲明确提出，要“培养初步的逻辑思维能力”，“培养学生进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括，对简单的问题进行判断、推理，逐步学会有条理、有根据地思考问题，同时注意思维的敏捷和灵活”．
（一）逻辑思维基本功的意义
1．有助于认识客观事物的本质
2．有助于提高和发展数学能力
（二）逻辑思维基本功的训练目标要求
1．掌握好逻辑初步知识
2．熟悉学生获取知识的思维过程
3．具有良好地逻辑思维示范能力
（三）分析与综合
分析与综合是人们对客观世界从感性认识上升到理性认识的最基本的方法，是思维活动的基本过程．
分析与综合是两种相反的思维过程，两者相互依赖，相互渗透．
1．分析
分析是指人们在头脑中把事物的整体分解为部分，或者把复杂的事物分解为个别的特征、个别的要素，或者把动态的对象暂时凝固为静态对象，然后分别逐个加以考察研究的一种思维方法．
在数学和数学教学中，常见的分析类型有：
(1)定性分析
(2)定量分析
(3)因果分析
(4)可逆分析
(5)系统分析
综合是指人们在头脑中把已有的关于研究对象的各个部分、各个方面和各种因素、各种层次的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法．
关于对象的整体认识称做模型．从模型的角度对综合进行分类，主要有：
(1)直观模型综合
(2)原理模型综合
(3)数学模型综合
3．分析法与综合法
分析与综合是认识客观事物的思维方法，属哲学思维方法的范畴．在数学和数学教学中广泛使用的是由哲学上的分析和综合演化而成的分析法和综合法，它们属于数学推理论证的思维方法．
分析法是从需要论证的结果出发，追溯到产生这一结果的原因的思维方
法．分析法通称为“执果索因”，常用来寻找解题思路，特别是用以解应用题．
综合法是从已知的条件出发推导出由此产生的结果的思维方法．综合法通称为“由因导果”，它既可以用于寻求解题的思路，也可以作为证明的方法．
显然，分析法与综合法是推导方向完全相反的两种不同的推理论证方法
（四）比较与分类
比较与分类都是数学学习和研究中的重要思维过程和思想方法，它有助于人们认知客观世界，有助于人们总结和发现客观规律．
比较的类型一般可分为：
(1)求同比较和求异比较，这是按目标的指向分类．
(2)单项比较和综合比较，这是按事物属性的部分或整体分类．
(3)横向比较和纵向比较，这是按事物时空的区别分类．
运用比较应注意下述原则：
(1)比较应在彼此之间有确定的联系和同一属性的对象中比较才有意义．例如，对于多
(2)比较必须按统一的标准
(3)对于数学对象的同一性质所做的比较应当是完整、彻底的．
2．分类
分类是根据研究对象的共同点和差异点，把具有相同属性的事物归纳为一类，具有另一属性的事物归纳为另一类的科学思想方法．分类以比较为基础，通过对研究对象的比较和整 理，把事物分成不同等级或层次的系统．
分类的规则是：
(1)在同一次分类中，标准必须同一
(2)分类必须不重不漏
(3)分类必须互不相容．
（五）抽象与概括
1．抽象
抽象是人们在感性认识的基础上，离开研究事物的具体形象，通过分析、比较和概括，舍弃事物的非本质属性，抽取出本质属性，形成关于事物的本质和规律性认识的思维活动．
(1)同一性抽象
(2)理想化抽象
(3)强抽象与弱抽象
(4)存在性抽象
2．概括
概括和抽象是互相联系的．
概括是指把仅仅属于某一类的对象或关系的某些共同的本质属性区分出来的思维过程和方法．概括也可以理解为运用逻辑思维的属种概念中的内涵和外延的反变关系，由给定的种概念(一定的对象集合)通过减少其内涵而扩大其外延得到它的属概念(包含前者的更大的对象集合)的逻辑过程和方法．换句话说，概括是一种由个别到一般的认识方式． 从科学的角度看，概括的类型主要有：
(1)外推性概括
(2)上升性概括
(3)复合性概括
（六）归纳与类比
1．归纳
归纳是推理和认识客观现实的科学研究方法．归纳是由特殊推到一般，从局部到全体的思维方法．这种方法具有较强的发现、创造因素，从而对人们认识新事物、发现新规律具有特殊的作用．
(1)不完全归纳推理
(2)完全归纳推理
2．类比
类比是从特殊到特殊，或从一般到一般，由此类及彼类的一种逻辑推理方法．这种方法通过对某两个或两类研究对象的比较，根据它们在某些属性上有相同点或相似点，推测它们的其他属性也可能有相同或相似的结论．
（七）推理与论证
1．推理
推理是抽象思维、逻辑思维以及数学思维的基本形式之一，推理是由一个或几个已知的判断导出一个新的判断的思维形式．推理所根据的已知判断叫做推理的前提，而推得的那个 新判断叫做推理的结论．
常见的推理有演绎推理、归纳推理和类比推理．
2．证明
证明是根据一些真判断，经过推理确定某个判断的真实性的思维过程思考题。
【作业题】
1. 简述分析、综合、分析法、综合法的区别和联系．
2. 分析并综合下列教材的结构体系．
⑴ 整除的概念体系．
⑵ 整数乘法的概念体系．
3. 画框图表示下列各题解题的思路．
⑴ 某村派车到县城运化肥58吨．每辆东风车可装运6吨，每辆农用车可装运2吨，现在已经派出8辆农用车，问还需要派出几辆东风车?
⑵ 一辆汽车5小时行180千米，一辆拖拉机6小时行108千米，问汽车的速度是拖拉机速度的几倍?
4. 试就教材中“找规律”的作业题中选择一题，写出分析思路．
5. 简述比较和分类的意义．
6. 试比较除式、分数和比的相同点和不同点．
7. 试设计用比较的方法教学“等分与包含”的教学程序．
8. 在小学，“整数的除法”是如何分类研究和逐步教学的．
9. 如何帮助小学生分清等腰三角形和等边三角形的关系．
10.简述抽象和概括的意义．
11.下列概念、方法、公式是如何形成的，简述形成步骤．
⑴ 自然数“8”的概念．
⑵ 20以内进位加的“凑十法”．
⑶ 长方体体积公式．
⑷ 工作总量÷工作效率=工作时间．
12.简述归纳和类比的意义．
13.在小学数学教学中，怎样得出百以内加法法则． 14.简述乘法交换律的归纳过程． 15.简述推理和论证的意义．
16.下面的三段论推理对吗?如果不对，错在哪里． 偶数是合数 2是偶数 所以，2是合数 17.下面的说法错在哪里． ⑴ 直线比射线长．
⑵ 在自然数中，除了质数以外都是合数． ⑶ 自然数的个数比奇数的个数多． 五、解题基本功
（一）数学解题基本功的意义
训练和提高数学解题基本功的意义主要有下述几方面： 1．有利于发展数学知识结构
2．有利于形成和增进数学思维能力 3．有利于培养和造就创造性
（二）数学解题基本功训练的目标要求
解题正确。是指在解题过程中，列式运算、分析推理、作图画表和所得的结果都必须准确无误，这是最基本的．
解题合理。是指列式、运算、推理、作图等的依据必须可靠、真实，做到言必有据，理由充足、符合逻辑．
解题完整。是指对问题的各种情况都应该认真地分析讨论，求出全部结果，不缺不漏．该检验的要检验，该说明的要说明．
解题简捷。是指解题方法要简单，叙述要简明，解题方法巧，解题速度快． 解题清楚。是指解题思路清楚，书写格式规范，文字表述有条理，绘图制表工整清晰． （三）数学题的分类和解题步骤
小学数学题的分类比较简单．如果按知识内容分类，主要有算术题、代数题和几何题，其中后两类比较简单．如果按知识内容的训练目的分类，可分为例题、口答题、练习题、习题、复习题以及思考题等．
如果按问题的外部形式特征分类，小学数学题主要是算术计算题、几何计算题和应用题三大类，到高年级还有一些解简易方程题和绘制简单统计图表的题． 如果按评分的客观性分类，小学数学题主要有客观性题(如填空题、判断题)和主观性题(如计算题、简答问答题)．
解数学题的步骤一般分为四步，即：审题、分析、解题和检验．
（四）解计算题
小学数学教师解计算题的基本技能主要包括两个方面：一是要熟悉和了解小学生计算中常见的错误及其原因；二是要熟练掌握小学生解计算题的训练要点．
1．小学生计算中常见错误及其出现的原因
小学数学教师解计算题的基本技能主要包括两个方面：一是要熟悉和了解小学生计算中常见的错误及其原因；二是要熟练掌握小学生解计算题的训练要点．
2．解计算题能力的训练
要提高解计算题的能力，受整数相同数位对齐中“数位对齐”四字定势的干扰．必须加强解计算题的训练，努力做到熟能生巧，逐步形成牢固的技能．解计算题能力训练的重点是：
(1)明确题意，弄清算理 (2)循序渐进，勤练巧练．
（五）解应用题
1．应用题的分类 (1)简单应用题． (2)复合应用题． (3)典型应用题
2．应用题常用解题方法 (1)分析——综合法 (2)化归法 (3)假设法 (4)图解法
【作业题】
1. 简述数学解题基本功的意义．
2. 简述数学解题技能训练的主要目标． 3. 简述数学解题的基本步骤．
4. 举例分析小学生解计算题时的常见错误，逐步形成资料供教学使用．
5. 分别对和、差、积、商的十种情况各编三个简单应用题(尽可能与课本上的题不同)． 6. 自编两步应用题、三步应用题和四步应用题各三个．
7. 简述分析——综合法、化归法、假设法、图解法的解题思路，并就自编应用题各举
一例进行分析求解．
以下各题，要求规范地写出分析、解题过程、解题结果．能一题多解的，尽可能给
出多种解法． 8. 修一条公路原计划l5天完成，实际每天修300米，结果提前3天完工，实际每天比
计划多修多少米?(60米) 9. 一批l95吨重的货物，用载重6吨和7．5吨的两种汽车一次运走，已知6吨车比7．5
吨车多一辆，问两种汽车各多少辆?(14辆，l5辆)
10.两根绳子共长27米，如果从第一根绳子剪下等，从第二根绳子剪下3米，这时两根绳子剩下的长度相等，两根绳子原来各长多少米?(15米，l2米)
11.一项工程，甲独做l0天完成，乙独做l5天完成，丙独做20天完成．现在三人合做，中途甲因病休息，这样到第六天才完成任务，问甲中途休息了几天?(3天)
12.小张和小李买同样的练习本，小张买5本用钱1．8元，小李买练习本用钱2．88元，问小李比小张多买了几本练习本?(要求解法不少于四种．答：3本)
13.王师傅加工一批零件，原计划每天加工40个，因任务紧，需12．5天完成，所以每
天要比原计划多加工零件20％，问原计划几天完成任务?(要求解法不少于三种．答：
l5天)
第三部分 小学数学教学基本功 一、备课基本功 （一）备课的基本要求
1．认真学习小学数学教学大纲 2．认真钻研教材
(1)知识的内部结构和前后联系．
(2)确定教学目的要求，教学重点、难点和关键点 (3)明确渗透在教材中的数学思想方法． (4)挖掘教材中的思想教育因素． 3．认真了解学生 (二)授课计划的拟定 1．学期教学进度计划 2．单元教学进度计划
3．课时计划(教案)
教学方案一般包括下述项目和内容： (1)教学内容 (2)目的要求 (3)重点难点 (4)学具教具 (5)教学过程 【作业题】
1. 试对现行小学数学教材中的“空间与图形”进行系统的教材分析． 2. 试对下列课时进行课时教材分析． ⑴ 20以内的退位减法． ⑵ 乘法的初步认识． ⑶ 角的初步认识．
⑷ 分数的基本性质．
⑸ 长方体和正方体的体积．
3. 试对题2的教学内容分别编写一份详细的教案．
第四部分 教育质量评价基本功
考试命题与试卷分析基本功 考试命题
（一）数学试题的命题原则 （二）数学试题的命题步骤 1．确定测验的目的 2．编制命题计划
3．具体拟定试题
（三）小学数学试卷命题方法 1．变更条件法 2．变更题型法 3．因果互换法 4．分解法 5．组合法 6．推广引伸法 试卷分析
（一）考试分数的统计整理
小学数学考试分数的统计，通常有全距、分数分布、及格率、平均分等，还有得分率统计．
（二）考试分数的定量分析 1．标准差 2．标准分数 3．难度 4．区分度
【作业题】
1. 简述成绩考查和评定的意义和作用． 2. 简述成绩考查有哪些类型． 3. 简述数学试题的命题原则． 4. 简述数学试题的命题步骤．
5. 简述小学数学常用命题方法，并各举一命题实例．
6. 试拟一份小学数学第八册期末测验的命题计划，编拟一份试题，给出参考答案和评分标准．
7. 试拟一份小学五年级数学竞赛的命题计划，编拟一份试题，给出参考答案和评分标准．
8. 试卷分析的主要内容有哪些?
9. 如何进行数学考试分数的统计整理，试以实例进行实用的统计整理． 10.什么是标准差、标准分，它们的计算公式．
11.什么是难度、区分度，它们的计算公式．它们的意义和作用是什么?写它们的意义和作用是什么?写出
12.下面是某班30名学生的一次数学考试成绩和第8题得分情况(第8题满分为5分)，试计算第8题的难度与区分度．
(答案：P=0．59，D=0．375) 13.根据上题数据，试填写试卷分析统计表中的“成绩统计”栏(即按分数段统计得分人数，填最高分、最低分，计算总分、平均分、及格率和标准差)． 14.实际拟定一份期末考试的试卷分析．
数学教学基本功
小学数学教学基本功（提纲）
第一部分 小学数学教学基本功训练的内容、意义和训练途径
一、小学数学教学基本功训练的内容
（一）基本功的概念
基本功，按照人们通常的见解，是指从事某项工作所必需具备的基础知识和基本技能。 基本功具有下列特性：
(1)习得性．任何一项基本功通过学习和训练，都可以做到人人能学，个个都会。
(2)专业性．由于工作不同，各专业的基本功要求也不同，不同的专业有其不同的基本功要求。
(3)基础性．基本功并不是专业工作技能的全部，基本功通常是指那些完成专业任务的基本的技能，是那些人人都必须具备的、经常运用的、不再分解的技能。
（二）小学数学教学基本功的内容
教师是传播人类文明、开发人类智慧、塑造人类灵魂、影响人类未来的工程师．现代教育的发展，迫切要求教师必须加强教学基本功的训练。
小学数学教学基本功主要包括三个方面：一是小学数学基本功；二是小学数学教学基本功，包括掌握小学数学课程标准、熟悉小学数学教材和熟练的课堂教学技能等方面；三是教 育质量评价基本功。
1．小学教师的数学基本功
数学与文明同生并存，数学对物质文明和精神文明的建设都具有重要的作用。从90年代起，全球都认识到高技术是保持国家竞争力的关键因素，高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础则是数学。因此，从小培养学生具有良好的数学素质基础，是素质教育的需要，是人才培养的需要。小学教师理所当然应具备教学所必备的数学基本功，小学教师的数学基本功主要是数学语言基本功、计算基本功、识图画图基本功、逻辑思维基本功、解题基本功等。
2．小学数学教学基本功
教学是一门科学，又是一门艺术。课堂教学是一个可以控制的过程，具有科学性、形象性、情感性和创造性等特点。教师要根据国家确定的教学目的任务，以教育学、心理学和现代教学论等科学理论为指导，完成教学大纲和教材规定的教学任务，就必须具有过硬的教学基本功。
小学数学教学基本功包括教师对数学课程标准的掌握，教材分析和把握(备课)的基本功，组织教学(新课导人技能、课堂教与学的技能)基本功，教学板书基本功，教具演示基本功等．
3．教育质量评价基本功
教育质量评价是教学工作的重要组成部分。教育质量评价是根据国家规定的教学目的任务，采取一定的教育测量手段或评估方法，对学生掌握知识的水平和
能力水平的评价。随着小学数学教育的不断发展和提高，从定性到定量的科学地、客观地、相对准确地评价小学数学教学的质量，已越来越显示出它的重要性和迫切性。因此，小学数学教师应不断提高自己的教育质量评价基本功。
由于教育质量评价的对象(比如记忆能力、运算能力、想像能力、思维能力等)都是难于客观量化的，不能直接测量．因此，教育评价工作是有一定难度的．为保证科学、合理和相 对准确地评价学生学习的成绩，分析和研究教学经验和教训，促进教学水平的不断提高，小学数学教师应掌握好考核命题基本功和考核结果的整理、分析和使用基本功。
二、教学基本功训练的意义
（一）教学基本功训练是素质教育的需要
（二）教学基本功训练是深化教学改革的需要
（三）教学基本功训练是终身教育的需要
三、基本功训练的过程和途径
基本功训练是一个长期的逐步提高的过程。多数小学教师在职前的中师或高师教育阶段，已经有过某些方面的基本功训练，但是，要成为一个好的小学教师，还需要在从事教学工作的同时，进一步加强基本功的训练，努力提高自身基本功的水平。
为提高基本功训练的效果，应对基本功训练的过程和途径有所了解，并从自己已有的功底出发，结合教学实际进行有计划、有步骤地、刻苦地、持之以恒地训练。
（一）基本功形成的过程
基本功的形成是有阶段性的，在不同的阶段表现出不同的特征。一般而言，基本功形成过程大致可以分为三个阶段。
1．认知阶段
练习者通过学习或观察别人的示范，认知技能的基本要求，并通过自己的初步尝试和练习，掌握基本功的局部知识或单个的动作．在这一阶段，许多局部的知识相互干扰，动作不 协调，准确性和稳定性差，缺乏思维的敏捷性和灵活性．
2．形成阶段
练习者经过一定时间的训练，在熟练掌握单个动作和局部技能的基础上，许多局部的技能逐步协调，形成完整的、连贯的技能系统。在这一阶段，动作的协调性有所增强，多余动作的干扰有所减少，准确性和灵敏性都有明显地提高。
3．“自动化”阶段
在这一阶段，连贯的动作和技能已达到协调、准确、稳定、灵活的程度，心智活动熟练化，神经劳动的消耗减少，思维的敏捷性和灵活性已接近“自动化”的程度．许多技能或动 作的完成已经不再需要想一想，而是成为一种脱口而出、得心应手的技能。
（二）基本功形成的基本途径
基本功的形成，一靠学习，二靠训练，这是基本功形成的基本途径。
训练基本功不能是简单的动作技能重复练习，而应是有目的、有计划、有步骤的动作技能和心智技能的训练．在学习和训练基本功过程中，动作或心智的结
构都要发生变化，因而完成活动的方法也要做必要的改变．学习和训练基本功时，应注意以下几点。
1．明确训练目标
明确训练目标是基本功训练的基础．训练者应根据自身工作的性质，确定基本功训练的内容，明确训练的目标要求和训练的意义，从而充分调动自身的主观能动性，积极自觉地刻苦训练。
2．选择正确方法
掌握正确的训练方法是提高训练效果，保证基本功训练质量的关键。
在基本功形成的认知阶段，一定要选择正确的动作或技能作为自己训练的示范和样板，以形成正确的视觉形象．有了正确的视觉形象，才能根据一定的标准要求，通过逐步的模仿训练和实践运作，去掉多余的动作，排除无关技能的干扰，促进视觉形象与动觉表象的有机结合，逐步过渡到基本功的形成阶段．
3．坚持有计划地训练
训练必须有计划、有步骤地进行，要坚持循序渐进的原则，科学地分解训练步骤，合理地分配训练时间。
一般而言，复杂的动作和技能应进行必要的科学分解，从简单动作或技能人手，经过一
定的练习后再做综合训练．
在训练速度和时间分配方面，初始训练速度宜慢，应及时注意纠正不规范的动作和技能．训练时间以分散练习为主．每次练习时间过长，容易疲劳，进而产生消极态度，兴趣减退，训练效果降低。
另外，多数情况下，对同一项基本功，适当的分散训练比过度集中练习优越．它可以使每次练习的效果较好，时间也较经济，基本功的保持巩固和提高也较好。
4．训练方式要多样化
适当地使基本功训练方式多样化，不仅能提高大脑皮层的兴奋性，提高训练者的练习兴趣，而且能使练习的技能适用于多种情况，提高基本功运用的水平。
【作业题】
1. 什么是基本功，基本功有哪些特征？
2. 小学数学教学基本功主要指哪些项目的基本功？
3. 小学数学教学基本功训练的主要意义有哪些？
4. 基本功形成一般有哪几个阶段？训练中应该注意哪些问题？
第二部分 小学教师的数学基本功
小学教师要教学好小学数学，必须具备以下数学专业知识：(1)掌握小学数学的教学目的、要求；(2)小学数学课的教学内容和小学数学思想方法；(3)通晓中学数学乃至高等数 学的有关知识；(4)掌握小学数学基本功。
小学教师的数学基本功是小学教师的专业性技能，主要包括小学数学语言基本功、计算基本功、识图画图基本功、逻辑思维基本功、解题基本功等。下面着重介绍和论述这五项基本功训练的意义、训练目标和主要训练内容。
一、 数学语言基本功
语言是人类特有的用以表达情感、交流思想、传递信息的工具．良好的语言基本功不仅是公民必备的基本素质，更是教师最重要的职业基本功之一。
（一）数学语言基本功的意义
1．有利于学生掌握数学基础知识
2．有利于发展学生的思维能力
3．有利于学生良好数学语言的形成
（二）数学语言基本功的训练目标要求
1．数学语言必须准确精练
2．数学语言必须科学严谨
3．数学语言应富启发性
（三）数学口头语言
1．语音适度
2．节奏鲜明
3．形象生动
（四）数学文字语言
1．题文要一致
2．叙述要精练
3．层次要分明
（五）数学符号语言
1．元素符号
2．运算符号
3．关系符号
4．结合符号
5．性质符号
6．约定符号
（六）数学图形语言
1．线段图
在小学数学中，利用框图表达解题的思路通常比用语言叙述更为简洁、明白．另外，利
2．框图
3．集合图
【作业题】
1.叙述下列小学数学中的概念、性质和运算法则，要求用普通话，语言准确、简洁、严谨、有节奏感．
自然数 分数 循环小数 整除 最大公约数 最小公倍数 质数 多位数的读法法
则 多位数加法法则 加法交换律 乘法交换律 垂线 等腰三角形 图形的周长 面积 方程 解方程 方程的解
2. 改正下面错误的读法．
4321读作四三二一；
300280读作三十万二百八十；
12×(3+4) 读作十二乘三加四；
(35—5)÷5读作三十五减去五除以五：
28×3—6读作二十八乘三减去六．
3. 正确读出下面的数和式子．
1 280030 20．32 3— 12．03％ 2
a×(b+C)÷d 35—16÷4+5×7
4. 用文字语言叙述下列运算性质．
⑴ a一(b+C)=a一b—c
⑵ a÷(b×c)=a÷b÷c
⑶ (a×b)÷c=(a÷c)×b
5. 将下列错误说法用数学语言重新正确地表述．
⑴ 分子和分母没有公约数的分数叫做最简分数．
⑵ 分子大于分母的分数叫做假分数．
⑶ 0除以任何数都得0．
⑷ 含有未知数的式子叫做方程．
6. 正确、规范地书写下列数字(五遍)．
⑴ 十个阿拉伯数字．
⑵ 十五个中国数字．
0、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万、亿． ⑶ 十一个中国大写数字．
零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾．
7. 正确读写26个英文字母(大、小写)．
8. 正确读写教材中常用的希腊字母(大、小写)．
9. 画线段图，表示下列简单应用题的数量关系．
⑴ 甲比乙多几或少几．
⑵ 甲比乙的几倍多几或少几．
⑶ 甲是乙的几倍．
10. 画下列应用题的线段图．
⑴ 两个工程队，从甲队调130人去乙队，则两队人数相等，如果从乙队调50人去甲队，则乙队人数是甲队的专，两队原来各有多少人?
⑵ 甲乙两人各从西村、东村同时向东而行，甲骑自行车每小时行l4千米，乙步行每小时行5千米，2小时后甲追上乙，求两村的距离．
⑶ 一个年级女生的人数比男生人数的{少6人，已知女生比男生少16人，这个年级中女生有多少人?
11. 用框图表示下列应用题的解题思路．
⑴ 某服装厂做8件大衣和若干套制服，共用布52米．每件大衣用布3米，比每套制服少用布l米，这个厂做了多少套制服?
⑵ 工程队用18天修好东村一条长828米的路，如果用同样的工作效率修西村的路，需要25天．实际修西村的路时，每天多修4米，修西村的路实际用了多少天? ⑶ 某工厂计划全年生产机床480台，实际提前3个月完成了全年计划的1．2倍．照这样计算，这个厂全年实际生产机床多少台?
12. 用集合图表示四边形、平行四边形、长方形、正方形、梯形之间的关系．
二、计算基本功
（一）数学计算基本功的意义
1．有利于发展逻辑思维能力
2．有利于增强注意力和记忆力
3．有利于提高运用数学的能力
（二）计算基本功的训练目标
小学数学教师计算基本功训练目标是：
(1)熟练掌握基本口算(20以内的加减法、表内乘除法、百以内的乘加、乘减、除加、除减两步计算)，一般口算(万以内的整数四则计算及简单的小数、分数计算)，特殊口算
(利用运算定律和性质及特殊法则的速算)和其他口算基本功，能明确算理，科学地、准确地进行口算和口算教学．
(2)掌握常用速算和估算的科学理论，能灵活、巧妙地运用运算性质、法则和数的特征进行速算和估算．
(3)熟练掌握四则混合运算性质、法则，能科学地、准确地进行四则混合运算和教学．
(4)较熟练地掌握珠算加减法，会使用函数计算器，了解计算机的初步知识．
三、口算
1．10以内的口算加法和减法
2. 20以内的口算加法和减法
3．百以内的口算加法和减法
4．口算乘除法
一位数乘以一位数和相应的除法是按照乘法口诀进行口算的，所以又称表内乘法和相应的除法．
一位数乘整十、整百、整千数是先看做表内乘法，计算出积后，被乘数末尾有几个零，就在积的末尾添几个零．
一位数乘两位数、几百几十数的口算方法，实际上是应用了乘法分配律，先把被乘数分成整百、整十和几个一，分别乘以乘数后再相加．
口算除法的试商方法与笔算除法的试商方法基本上是一致的．
四、速算
1．凑整法 (1)分组凑整；(2)分解凑整．在计算时，根据数的特点对数进行分；(3)求补凑整．；(4)因数凑整．；2．分解法；(1)分解加数直加法；(2)分解减数直减法；(3)因数分解连乘法；(4)除数分解连除法；3．几种特殊方法；(1)一个数乘以11；(2)求首同尾补的两个两位数的积；(3)求尾同首补的两个两位数的积．；
(4)折半求商和翻番求商法；【作业题】；1.口算
(1)分组凑整
(2)分解凑整．在计算时，根据数的特点对数进行分解，使它产生整十、整百??的数，
(3)求补凑整．
(4)因数凑整．
2．分解法
(1)分解加数直加法
(2)分解减数直减法
(3)因数分解连乘法
(4)除数分解连除法
3．几种特殊方法
(1)一个数乘以11
(2)求首同尾补的两个两位数的积
(3)求尾同首补的两个两位数的积．
(4)折半求商和翻番求商法
【作业题】
1. 口算下面各题，并说明口算思路．
⑴ 8+5= 6+8= 9+6=
13—5= 14—6= 15—9=
⑵ 53+19= 47+35= 66+27=
71—53= 82—47= 93—66=
⑶ 520+80= 4700+600= 5300+1900=
600—520= 5300—600= 7200—1900=
2. 直接说出下面各题的得数．
⑴ 79+18+21= 56+65+35+44=
545+452+455+548=
⑵ 156 4-29= 3528—299=
6235—307=
⑶ 145+69= 289+93= 788-I-982=
⑷ 321×101= 321×201= 321×99=
3. 计算下面各题，列出速算式子．
⑴ 356+235= 812+769= 448+526=
⑵ 356—28= 812—77= 448—369=
⑶ 356×5= 812×25= 448×125=
⑷ 3444÷28= 4305÷35=
4. 直接说出下面各题的得数．
⑴ 446×11= 7685×11= 445533×11=
⑵ 42×48= 57×53= 64×66=
⑶ 84×24= 75×35= 46×66=
⑷ 2016÷4= 2125÷125=
5. 用计算器计算一、二、三、四题，检验口算、速算的结果．
6. 有26名学生的考分为98、75、81、80、91、78、63、82、80、79、66、90、92、85、83、94、70、82、76、93、88、69、84、85、79、86，求总分、平均分、标准差、标准偏差．
三、识图画图基本功
（一）识图画图基本功的意义
1．能有效地培养和提高空间想像能力
2．能提高分析问题、解决问题的能力
3．能深刻揭示数学美，提高学生学习数学的兴趣
（二）识图画图基本功的训练目标要求
小学数学教师识图画图基本功的训练目标是：
(1)能熟练地使用常用绘图工具画常见的平面图形，做到规范、简练、准确．
(2)掌握空间直线、平面及相互位置的画法，能形象、直观、规范地画简单多面体、旋转体及其组合体的直观图．
(3)能熟练地分解、割补、拼摆图形和分析图形中各元素问的相互关系，准确地获取数与形的各种信息．
训练识图、画图基本功，必须以几何基础知识为理论根据，由浅入深，由简到繁，由标准图形到变式图形，循序渐进，切忌想当然，随意地画图、识图．
训练识图、画图基本功，还必须认真地对形体进行多方位的观察、识别、比较、对照，增加感性认识，加强识记表象．
训练画图基本功，要从点、线、面等基本元素的规范画法练起，直线要直，平面要符合规范．要熟练掌握常用的基本作图方法，要准确地确定各元素间的关系．
（三）平面图形的常用画法
根据小学数学教学的需要，教师应熟练掌握下述基本平面图形的常用画法．
1．直线和角的画法
2.正多边形的画法
3．直线与圆弧、圆弧与圆连接的画法
4．椭圆的画法
（四）立体图形的画法
1．画立体图形的基本要求
画立体图形，必须做到规范、简练、准确、直观，使立体图形有很强的立体感． 规范：即所画立体图形符合投影原理，通常运用斜二测画法或正等测画法．
简练：画图方法力求简便，尽可能减少画图步骤．
准确：所画立体图能正确地反映形体各部分的位置关系，能揭示形体各元素的数量关系． 直观：所画立体图富立体感．通常可用虚实衬托法、粗细衬托法、平面衬托法、明暗衬托法及阴影衬托法等辅助手段增强立体感．
2．斜二测画法与正等测画法
3．水平放置的平面图形的直观图
4．空间线、面位置关系的画法
5．多面体的直观图画法
6．旋转体和球体的直观图画法
【作业题】
1. 用一付三角板(两块三角板)熟练地在黑板上画互相垂直
的两条直线、互相平行的两条直线．
2. 用一付三角板熟练地在黑板上画出15°、30°、45°、60°、75°、90°、l05°、l20°、l35°、l50°、l65°、l80°等角，要求画图步骤尽可能少．
3. 画出十种方向不同的直角．
4. 用尺规画边长为a的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形和正五角星形．
5. 已知长轴和短轴长，用焦点法画出椭圆．
6. 画出水平放置的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形的直观图．
7. 画出水平放置的圆的直观图，并能用硬纸板制作大小不同的几个椭圆板备用．
8. 画图表示直线和平面的各种位置关系的直观图．
9. 画图表示两个平面互相平行、相交、垂直等位置关系的直观图．
10.在黑板上熟练地画长方体、正方体、正三棱锥、正四棱台、圆柱、圆锥、圆台和球体的直观图．
四、逻辑思维基本功
逻辑思维，又称抽象思维，它是人们借助于概念、判断、推理等思维形式反映客观现实的过程．逻辑思维能力是指人们根据正确的思维规律和形式，对客观事物的属性进行分析综合、抽象概括、归纳类比、推理论证的能力．因此，逻辑思维能力是数学思维能力的核心，如果离开了逻辑思维能力的培养，那么要教好、学好数学都是不可能的．所以，小学数学大 纲明确提出，要“培养初步的逻辑思维能力”，“培养学生进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括，对简单的问题进行判断、推理，逐步学会有条理、有根据地思考问题，同时注意思维的敏捷和灵活”．
（一）逻辑思维基本功的意义
1．有助于认识客观事物的本质
2．有助于提高和发展数学能力
（二）逻辑思维基本功的训练目标要求
1．掌握好逻辑初步知识
2．熟悉学生获取知识的思维过程
3．具有良好地逻辑思维示范能力
（三）分析与综合
分析与综合是人们对客观世界从感性认识上升到理性认识的最基本的方法，是思维活动的基本过程．
分析与综合是两种相反的思维过程，两者相互依赖，相互渗透．
1．分析
分析是指人们在头脑中把事物的整体分解为部分，或者把复杂的事物分解为个别的特征、个别的要素，或者把动态的对象暂时凝固为静态对象，然后分别逐个加以考察研究的一种思维方法．
在数学和数学教学中，常见的分析类型有：
(1)定性分析
(2)定量分析
(3)因果分析
(4)可逆分析
(5)系统分析
综合是指人们在头脑中把已有的关于研究对象的各个部分、各个方面和各种因素、各种层次的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法．
关于对象的整体认识称做模型．从模型的角度对综合进行分类，主要有：
(1)直观模型综合
(2)原理模型综合
(3)数学模型综合
3．分析法与综合法
分析与综合是认识客观事物的思维方法，属哲学思维方法的范畴．在数学和数学教学中广泛使用的是由哲学上的分析和综合演化而成的分析法和综合法，它们属于数学推理论证的思维方法．
分析法是从需要论证的结果出发，追溯到产生这一结果的原因的思维方
法．分析法通称为“执果索因”，常用来寻找解题思路，特别是用以解应用题．
综合法是从已知的条件出发推导出由此产生的结果的思维方法．综合法通称为“由因导果”，它既可以用于寻求解题的思路，也可以作为证明的方法．
显然，分析法与综合法是推导方向完全相反的两种不同的推理论证方法
（四）比较与分类
比较与分类都是数学学习和研究中的重要思维过程和思想方法，它有助于人们认知客观世界，有助于人们总结和发现客观规律．
比较的类型一般可分为：
(1)求同比较和求异比较，这是按目标的指向分类．
(2)单项比较和综合比较，这是按事物属性的部分或整体分类．
(3)横向比较和纵向比较，这是按事物时空的区别分类．
运用比较应注意下述原则：
(1)比较应在彼此之间有确定的联系和同一属性的对象中比较才有意义．例如，对于多
(2)比较必须按统一的标准
(3)对于数学对象的同一性质所做的比较应当是完整、彻底的．
2．分类
分类是根据研究对象的共同点和差异点，把具有相同属性的事物归纳为一类，具有另一属性的事物归纳为另一类的科学思想方法．分类以比较为基础，通过对研究对象的比较和整 理，把事物分成不同等级或层次的系统．
分类的规则是：
(1)在同一次分类中，标准必须同一
(2)分类必须不重不漏
(3)分类必须互不相容．
（五）抽象与概括
1．抽象
抽象是人们在感性认识的基础上，离开研究事物的具体形象，通过分析、比较和概括，舍弃事物的非本质属性，抽取出本质属性，形成关于事物的本质和规律性认识的思维活动．
(1)同一性抽象
(2)理想化抽象
(3)强抽象与弱抽象
(4)存在性抽象
2．概括
概括和抽象是互相联系的．
概括是指把仅仅属于某一类的对象或关系的某些共同的本质属性区分出来的思维过程和方法．概括也可以理解为运用逻辑思维的属种概念中的内涵和外延的反变关系，由给定的种概念(一定的对象集合)通过减少其内涵而扩大其外延得到它的属概念(包含前者的更大的对象集合)的逻辑过程和方法．换句话说，概括是一种由个别到一般的认识方式． 从科学的角度看，概括的类型主要有：
(1)外推性概括
(2)上升性概括
(3)复合性概括
（六）归纳与类比
1．归纳
归纳是推理和认识客观现实的科学研究方法．归纳是由特殊推到一般，从局部到全体的思维方法．这种方法具有较强的发现、创造因素，从而对人们认识新事物、发现新规律具有特殊的作用．
(1)不完全归纳推理
(2)完全归纳推理
2．类比
类比是从特殊到特殊，或从一般到一般，由此类及彼类的一种逻辑推理方法．这种方法通过对某两个或两类研究对象的比较，根据它们在某些属性上有相同点或相似点，推测它们的其他属性也可能有相同或相似的结论．
（七）推理与论证
1．推理
推理是抽象思维、逻辑思维以及数学思维的基本形式之一，推理是由一个或几个已知的判断导出一个新的判断的思维形式．推理所根据的已知判断叫做推理的前提，而推得的那个 新判断叫做推理的结论．
常见的推理有演绎推理、归纳推理和类比推理．
2．证明
证明是根据一些真判断，经过推理确定某个判断的真实性的思维过程思考题。
【作业题】
1. 简述分析、综合、分析法、综合法的区别和联系．
2. 分析并综合下列教材的结构体系．
⑴ 整除的概念体系．
⑵ 整数乘法的概念体系．
3. 画框图表示下列各题解题的思路．
⑴ 某村派车到县城运化肥58吨．每辆东风车可装运6吨，每辆农用车可装运2吨，现在已经派出8辆农用车，问还需要派出几辆东风车?
⑵ 一辆汽车5小时行180千米，一辆拖拉机6小时行108千米，问汽车的速度是拖拉机速度的几倍?
4. 试就教材中“找规律”的作业题中选择一题，写出分析思路．
5. 简述比较和分类的意义．
6. 试比较除式、分数和比的相同点和不同点．
7. 试设计用比较的方法教学“等分与包含”的教学程序．
8. 在小学，“整数的除法”是如何分类研究和逐步教学的．
9. 如何帮助小学生分清等腰三角形和等边三角形的关系．
10.简述抽象和概括的意义．
11.下列概念、方法、公式是如何形成的，简述形成步骤．
⑴ 自然数“8”的概念．
⑵ 20以内进位加的“凑十法”．
⑶ 长方体体积公式．
⑷ 工作总量÷工作效率=工作时间．
12.简述归纳和类比的意义．
13.在小学数学教学中，怎样得出百以内加法法则． 14.简述乘法交换律的归纳过程． 15.简述推理和论证的意义．
16.下面的三段论推理对吗?如果不对，错在哪里． 偶数是合数 2是偶数 所以，2是合数 17.下面的说法错在哪里． ⑴ 直线比射线长．
⑵ 在自然数中，除了质数以外都是合数． ⑶ 自然数的个数比奇数的个数多． 五、解题基本功
（一）数学解题基本功的意义
训练和提高数学解题基本功的意义主要有下述几方面： 1．有利于发展数学知识结构
2．有利于形成和增进数学思维能力 3．有利于培养和造就创造性
（二）数学解题基本功训练的目标要求
解题正确。是指在解题过程中，列式运算、分析推理、作图画表和所得的结果都必须准确无误，这是最基本的．
解题合理。是指列式、运算、推理、作图等的依据必须可靠、真实，做到言必有据，理由充足、符合逻辑．
解题完整。是指对问题的各种情况都应该认真地分析讨论，求出全部结果，不缺不漏．该检验的要检验，该说明的要说明．
解题简捷。是指解题方法要简单，叙述要简明，解题方法巧，解题速度快． 解题清楚。是指解题思路清楚，书写格式规范，文字表述有条理，绘图制表工整清晰． （三）数学题的分类和解题步骤
小学数学题的分类比较简单．如果按知识内容分类，主要有算术题、代数题和几何题，其中后两类比较简单．如果按知识内容的训练目的分类，可分为例题、口答题、练习题、习题、复习题以及思考题等．
如果按问题的外部形式特征分类，小学数学题主要是算术计算题、几何计算题和应用题三大类，到高年级还有一些解简易方程题和绘制简单统计图表的题． 如果按评分的客观性分类，小学数学题主要有客观性题(如填空题、判断题)和主观性题(如计算题、简答问答题)．
解数学题的步骤一般分为四步，即：审题、分析、解题和检验．
（四）解计算题
小学数学教师解计算题的基本技能主要包括两个方面：一是要熟悉和了解小学生计算中常见的错误及其原因；二是要熟练掌握小学生解计算题的训练要点．
1．小学生计算中常见错误及其出现的原因
小学数学教师解计算题的基本技能主要包括两个方面：一是要熟悉和了解小学生计算中常见的错误及其原因；二是要熟练掌握小学生解计算题的训练要点．
2．解计算题能力的训练
要提高解计算题的能力，受整数相同数位对齐中“数位对齐”四字定势的干扰．必须加强解计算题的训练，努力做到熟能生巧，逐步形成牢固的技能．解计算题能力训练的重点是：
(1)明确题意，弄清算理 (2)循序渐进，勤练巧练．
（五）解应用题
1．应用题的分类 (1)简单应用题． (2)复合应用题． (3)典型应用题
2．应用题常用解题方法 (1)分析——综合法 (2)化归法 (3)假设法 (4)图解法
【作业题】
1. 简述数学解题基本功的意义．
2. 简述数学解题技能训练的主要目标． 3. 简述数学解题的基本步骤．
4. 举例分析小学生解计算题时的常见错误，逐步形成资料供教学使用．
5. 分别对和、差、积、商的十种情况各编三个简单应用题(尽可能与课本上的题不同)． 6. 自编两步应用题、三步应用题和四步应用题各三个．
7. 简述分析——综合法、化归法、假设法、图解法的解题思路，并就自编应用题各举
一例进行分析求解．
以下各题，要求规范地写出分析、解题过程、解题结果．能一题多解的，尽可能给
出多种解法． 8. 修一条公路原计划l5天完成，实际每天修300米，结果提前3天完工，实际每天比
计划多修多少米?(60米) 9. 一批l95吨重的货物，用载重6吨和7．5吨的两种汽车一次运走，已知6吨车比7．5
吨车多一辆，问两种汽车各多少辆?(14辆，l5辆)
10.两根绳子共长27米，如果从第一根绳子剪下等，从第二根绳子剪下3米，这时两根绳子剩下的长度相等，两根绳子原来各长多少米?(15米，l2米)
11.一项工程，甲独做l0天完成，乙独做l5天完成，丙独做20天完成．现在三人合做，中途甲因病休息，这样到第六天才完成任务，问甲中途休息了几天?(3天)
12.小张和小李买同样的练习本，小张买5本用钱1．8元，小李买练习本用钱2．88元，问小李比小张多买了几本练习本?(要求解法不少于四种．答：3本)
13.王师傅加工一批零件，原计划每天加工40个，因任务紧，需12．5天完成，所以每
天要比原计划多加工零件20％，问原计划几天完成任务?(要求解法不少于三种．答：
l5天)
第三部分 小学数学教学基本功 一、备课基本功 （一）备课的基本要求
1．认真学习小学数学教学大纲 2．认真钻研教材
(1)知识的内部结构和前后联系．
(2)确定教学目的要求，教学重点、难点和关键点 (3)明确渗透在教材中的数学思想方法． (4)挖掘教材中的思想教育因素． 3．认真了解学生 (二)授课计划的拟定 1．学期教学进度计划 2．单元教学进度计划
3．课时计划(教案)
教学方案一般包括下述项目和内容： (1)教学内容 (2)目的要求 (3)重点难点 (4)学具教具 (5)教学过程 【作业题】
1. 试对现行小学数学教材中的“空间与图形”进行系统的教材分析． 2. 试对下列课时进行课时教材分析． ⑴ 20以内的退位减法． ⑵ 乘法的初步认识． ⑶ 角的初步认识．
⑷ 分数的基本性质．
⑸ 长方体和正方体的体积．
3. 试对题2的教学内容分别编写一份详细的教案．
第四部分 教育质量评价基本功
考试命题与试卷分析基本功 考试命题
（一）数学试题的命题原则 （二）数学试题的命题步骤 1．确定测验的目的 2．编制命题计划
3．具体拟定试题
（三）小学数学试卷命题方法 1．变更条件法 2．变更题型法 3．因果互换法 4．分解法 5．组合法 6．推广引伸法 试卷分析
（一）考试分数的统计整理
小学数学考试分数的统计，通常有全距、分数分布、及格率、平均分等，还有得分率统计．
（二）考试分数的定量分析 1．标准差 2．标准分数 3．难度 4．区分度
【作业题】
1. 简述成绩考查和评定的意义和作用． 2. 简述成绩考查有哪些类型． 3. 简述数学试题的命题原则． 4. 简述数学试题的命题步骤．
5. 简述小学数学常用命题方法，并各举一命题实例．
6. 试拟一份小学数学第八册期末测验的命题计划，编拟一份试题，给出参考答案和评分标准．
7. 试拟一份小学五年级数学竞赛的命题计划，编拟一份试题，给出参考答案和评分标准．
8. 试卷分析的主要内容有哪些?
9. 如何进行数学考试分数的统计整理，试以实例进行实用的统计整理． 10.什么是标准差、标准分，它们的计算公式．
11.什么是难度、区分度，它们的计算公式．它们的意义和作用是什么?写它们的意义和作用是什么?写出
12.下面是某班30名学生的一次数学考试成绩和第8题得分情况(第8题满分为5分)，试计算第8题的难度与区分度．
(答案：P=0．59，D=0．375) 13.根据上题数据，试填写试卷分析统计表中的“成绩统计”栏(即按分数段统计得分人数，填最高分、最低分，计算总分、平均分、及格率和标准差)． 14.实际拟定一份期末考试的试卷分析．