近世代数复习思考题
一、基本概念与基本常识的记忆 （一）填空题
1. 剩余类加群Z 12有_________个生成元.
2、设群G 的元a 的阶是n ，则a 的阶是________. 3. 6阶循环群有_________个子群.
4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果a =e ，那么m 与n 存在整除关系为———。 5. 模8的剩余类环Z 8的子环有_________个. 6. 整数环Z 的理想有_________个. 7、n 次对称群Sn 的阶是——————。
n
k
⎛123456789⎫
8、9-置换 543961827⎪⎪分解为互不相交的循环之积是————。
⎝⎭
9. 剩余类环Z 6的子环S={［0］, ［2］, ［4］}，则S 的单位元是____________. 10. Z 24中的所有可逆元是：__________________________. 11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。
12. 设G =(a ) 为循环群，那么（1）若a 的阶为无限，则G 同构于___________，（2）若a 的阶为n ，则G 同构于____________。
13. 在整数环Z 中，2+3=__________________； 14、n 次对称群S n 的阶是_____.
15. 设A 1, A 2为群G 的子群，则A 1A 2是群G 的子群的充分必要条件为___________。 16、除环的理想共有____________个。 17. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________.
18、在整数环Z 中，由｛2，3｝生成的理想是_________. 19. 剩余类环Z 7的可逆元有__________个.
20、设Z 11是整数模11的剩余类环，则Z 11的特征是_________. 21. 整环I={所有复数a+bi(a,b是整数)}，则I 的单位是__________. 22. 剩余类环Z n 是域⇔n 是_________.
23、设Z 7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z 7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________.
8
24. 设G 为群，a ∈G ，若a =12，则a =_______________。
25、设群G=｛e ，a 1，a 2，…，a n-1｝，运算为乘法，e 为G 的单位元，则a 1=___. 26. 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个. 27、整数环Z 的商域是________.
n
28. 整数加群Z 有__________个生成元.
29、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么————————。 30. 已知σ=
是一个域当且仅当I 是
⎛12345⎫-1
⎪为S 5上的元素，则σ＝__________。31. 每一个有限群
⎝31254⎭
都与一个__________群同构。
32、设I 是唯一分解环，则I ［x ］与唯一分解环的关系是——————。 二、基本概念的理解与掌握。 （二）选择题
1. 设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A.2 C.7
B.5
D.10
2. 设A ＝B ＝R(实数集) ，如果A 到B 的映射
ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，
则ϕ是从A 到B 的（ ） A. 满射而非单射 C. 一一映射
B. 单射而非满射 D. 既非单射也非满射
3. 设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。
A.2 C.6
B.4 D.8
4、G 是12阶的有限群，H 是G 的子群，则H 的阶可能是( )
A 5； B 6； C 7； D 9. 5、下面的集合与运算构成群的是 ( )
A {0，1}，运算为普通的乘法； B {0，1}，运算为普通的加法; C {-1，1}，运算为普通的乘法； D {-1，1}，运算为普通的加法; 6、关于整环的叙述，下列正确的是 ( )
A 左、右消去律都成立； B 左、右消去律都不成立; C 每个非零元都有逆元； D 每个非零元都没有逆元; 7、关于理想的叙述，下列不正确的是 ( )
A 在环的同态满射下，理想的象是理想;
B 在环的同态满射下，理想的逆象是理想; C 除环只有两个理想，即零理想和单位理想 D 环的最大理想就是该环本身. 8. 整数环Z 中，可逆元的个数是( )。
A.1个 9. 设M 2(R)=⎨
B.2个
C.4个
D. 无限个
⎧⎫⎪⎛a b ⎫
⎪ a,b,c,d∈R ，R 为实数域⎬按矩阵的加法和 ⎪c d ⎪⎭⎭⎩⎝
乘法构成R 上的二阶方阵环，那么这个方阵环是( )。 A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环
⎧a
⎪2, 当a 为偶数时
10. 设Z 是整数集，σ(a)=⎨ ，a ∈Z ，则σ是R 的( ).
a +1⎪, 当a 为奇数时⎩2
A. 满射变换 C. 一一变换
B. 单射变换 D. 不是R 的变换
11、设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集 的
同态满射的是( ).
A 、x →10x B、x →2x C 、x →|x| D、x →-x .
12、设 是正整数集Z 上的二元运算，其中a b =max {a , b }（即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）
A 、不适合交换律 B、不适合结合律 C 、存在单位元 D、每个元都有逆元.
13. 设S 3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3 中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )
A 、1 B 、2 C 、3 D、4.
14、设(G , )为群，其中G 是实数集，而乘法 :a b =a +b +k ，这里k 为G 中固定的常数。那么群(G , )中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ） A 、0和-x ； B、1和0； C、k 和x -2k ； D、-k 和-(x +2k )
15、设H 是有限群G 的子群，且G 有左陪集分类{H , aH , bH , cH }。如果H =6, 那么
G 的阶G =（ ）
A 、6 B、24 C、10 D、12
16. 整数环Z 中，可逆元的个数是( ).
A 、1个 B、2个 C、4个 D 、无限个。
17、设f :R 1→R 2是环同态满射，f (a ) =b ，那么下列错误的结论为（ ）
A 、若a 是零元，则b 是零元 B、若a 是单位元，则b 是单位元
C 、若a 不是零因子，则b 不是零因子 D 、若R 2是不交换的，则R 1不交换 18、下列正确的命题是（ ）
A 、欧氏环一定是唯一分解环 B 、主理想环必是欧氏环 C 、唯一分解环必是主理想环 D 、唯一分解环必是欧氏环
19. 下列法则，哪个是集A 的代数运算( ).
A. A=N, a b=a+b-2 B. A=Z,a b=C. A=Q, a b=ab D. A=R, a
a b
b=a+b+ab
20. 设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是( ). A. x→-x C. x→-
B. x→
1
x
1
x
D. x→5x
21. 在3次对称群S 3中，阶为3的元有( ).
A. 0个 C. 2个
B. 1个 D. 3个
22．剩余类环Z 6的子环有( ).
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
23、设a , b , c 和x 都是群G 中的元素且x a =bxc , acx =xac ，那么x =（ ）
A. bc a ； B.c a ； C.a bc ； D.b ca 。 24、设f :G 1→G 2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
2-1
A. f 的同态核是G 1的不变子群; B.G 1的不变子群的象是G 2的不变子群。 C. G 1的子群的象是G 2的子群；
D. G 2的不变子群的逆象是G 1的不变子群；
25、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{H , aH , bH , cH }。如果H =6，那么G 的阶G =（ ）
A.6； B.24； C.10； D.12。 （三）判断题（每小题2分，共12分）
1、设A 、B 、D 都是非空集合，则A ⨯B 到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 2、除环中的每一个元都有逆元。（ ）
3、如果循环群G =(a )中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。（ ） 4、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。（ ） 5、域是交换的除环。（ ）
6、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子。（ ）
7、设f ：G →G 是群G 到群G 的同态满射，a ∈G ，则a 与f (a)的阶相同。（ ） 8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。（ ） 9、循环群的子群也是循环群。（ ）
10、整环I 中的两个元素a ，b 满足a 整除b 且b 整除a ，则a ＝b 。（ ） 11、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。（ ） 12、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射f 13、如果环R 的阶≥2，那么R 的单位元1≠0。（ ） 14、指数为2的子群不是不变子群。（ ）
15、在整数环Z 中，只有±1才是单位，因此在整数环Z 中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。（ ）
16、两个单位ε和ε'的乘积εε'也是一个单位。（ ）
17、环K 中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元。（ ）
18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元和单位都不能唯一分解。（ ）
19、整环必是唯一分解环。（ ）
20、在唯一分解环K 中，p 是K 中的素元当且仅当p 是K 中的不可约元。（ ）
-1
。（ ）
21、设K 是唯一分解环，则K 中任意二个元素的最大公因子都存在，且任意二个最大公因子相伴。（ ）
22、整数环Z 和环Q [x ]都是主理想环。（ ） 23、K 是主理想环当且仅当K 是唯一分解环。（ ）
24、整数环Z 、数域P 上的一元多项式环P [x ]和Gauss 整环Z [i ]都是欧氏环。（ ） 25、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。反之亦然。（ ） 26、欧氏环⊂主理想环⊂唯一分解环⊂有单位元的整环。（ ） 27、设环的加法群是循环群, 那么环R 必是交换环. （ ） 28、对于环R, 若a 是R 的左零因子, 则a 必同时是R 的右零因子. （ ） 29、剩余类Z m 是无零因子环的充分必要条件是m 为素数. （ ） 30、整数环是无零因子环，但它不是除环。（ ） 31、S 2=⎨
⎧⎛α0⎫⎫
⎪∀α∈C ⎬是M 2(C )的子域. （ ） ⎪
⎩⎝0α⎭⎭
32、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。（ ） 33、理想必是子环, 但子环未必是理想. （ ）
34、群G 的一个子群H 元素个数与H 的每一个左陪集aH 的个数相等. （ ）
35、有限群G 中每个元素a 的阶都整除群G 的阶。（ ） 三、基本方法与技能掌握。 （四）计算题 1．设
为整数加群,
, 求 [Z :H ]=?
解
在 Z中的陪集有
:
,
,
所以, [Z :H ]=5. 2、找出S 3的所有子群。
解：S 3显然有以下子群： 本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}； （（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}； （（123））={（123），（132），（1）} 若S 3的一个子群H 包含着两个循环置换，那么H 含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H 含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。同理，若是S 3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。这个子群也必然是S 3。 用完全类似的方法，可以算出，若是S 3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S 3。
,
,
,
3．求 Z 18的所有子群。 解 Z 18的子群有
4． 将
解
容易验证:
.
表为对换的乘积.
.
(4 2)(2 6)(1 2)(1 3)(2 7)(1 2).
;
;
;
;
;
5． 设按顺序排列的13张红心纸牌
A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K
经一次洗牌后牌的顺序变为
3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9
问: 再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?
解 每洗一次牌, 就相当于对牌的顺序进行一次新的置换. 由题意知, 第一次洗牌所对应的置换为
则3次同样方式的洗牌所对应的置换为
6． 在 Z 6中, 计算:(1) 解 (1)
(2) (3) (4)
; ; ; .
;(2)
; (3)
; (4)
.
7．试求高斯整环
解 设
, 于是
(
的单位。
) 为
的单位, 则存在
, 使得
因为
可能的单位只有
显然它们都是
的单位. 所以
恰有四个单位:
, 所以
. 从而
,
, 或
. 因此
8． 试求Z 12中的所有零因子与可逆元, 并确定每个可逆元的逆元素. 解 由定理可知:
(1)
(2)
为 Z 12的全部零因子.
为 Z 12的全部可逆元. 直接计算可知, 相应的逆元为
,
,
,
.
9、找出模6的剩余类环Z 6的所有理想。 解：R={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}。
若I 是R 的一个理想，那么I 一定是加群R 的一个子群。但加群R 是循环群，所以它的子群一定也是循环群， 我们有
G1=（[0]）={[0]} G2=（[1]）=（[5]）=R G3=（[2]）=（[4]）={[0]，[2]，[4]} G4=（[3]）={[0]，[3]}
易见，G 1，G 2，G 3，G 4都是R 的理想，因而是R 的所有理想。 10． 在 Z 12中, 解下列线性方程组
:
解:
⎛x ⎫⎛35⎫ y ⎪⎪= 2-1⎪⎪⎝⎭⎝⎭
-1
⎛6⎫1⎛-1-5⎫⎛6⎫⎛11⎫
⎪ =- 1⎪ -23⎪⎪ 1⎪⎪= 9⎪⎪ 13⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
即
, .
11．求 Z 18的所有子环.
解 设
为 Z 18的任一子环, 则
是 Z 18的子加群, 而
而
也是循环群, 且存在
,
, 使得
为有限阶循环群, 从. 的可能取值为1,
2, 3, 6, 9, 12。相应的子加群为
,
.
直接验证可知, 以上六个子加群都关于剩余类的乘法封闭, 所以它们都是 Z 18的子环. 于是 Z 18恰有6个子环
:
12. 试求
解 设
为
的所有理想. 的任意理想, 则 为
,
对任意的
,
的子环， 则
.
,
,
,
,
, 且
, 有
,
的全部理想为
从而由理想的定义知, 为
的理想. 由此知,
且
2
.
5
3
13、数域F 上的多项式环F [x ]的理想(x +1, x +x +1) 是怎样的一个主理想。
5332253
解 由于x +x +1-x x +1=1，所以1∈x +1, x +x +1，于是得
()()
()
(x
2
+1, x 5+x 3+1)=(1)=F [x ]。
14、在
中, 求
的全部根.
解
共有16个元素: , , , , 将它们分别代入
, 可知共有下列4个元素
, , ,
为
的根.
15．试举例说明，环R [x ]中的m 次与n 次多项式的乘积可能不是一个 m+n次多项式.
解 例如，环Z 6[x ]中多项式
f (x ) =2x 3+x 2-3x +5 与 g (x ) =3x 2+1 的乘积f (x ) g (x ) =3x 4-x 3+4x 2-3x +5就不是3+2次多项式. 16. 求出域Z 3上的所有2次不可约多项式.
解 经验算得知，Z 3上的2次不可约多项式有三个，它们是： x 2+1,
x 2+x -1, x 2-x -1.
17、指出下列哪些元素是给定的环的零因子.
(1) 在M 2(F ) 中. 设A =⎢(2) (3)
1⎤-1⎤2⎤⎡2 ⎡0 ⎡1 , B =，C =⎥⎢1 ⎥⎢4 ⎥. 0 002⎣⎦⎣⎦⎣⎦
在Z 12中, 它的全部零因子是哪些.
Z 11中有零因子吗?
解 (1) |A |=|C |=0⇒A , C 是零因子, 但B 不是. (2) Z 12中的零因子为[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10] (3) Z 11中没有零因子. 18. 求二阶方阵环M 2(R ) 的中心.
解 高等代数已经证明，n 阶方阵A 与任何n 阶方阵可交换⇔A 是纯量矩阵. 因此M 2(R )
⎧⎛10⎫⎫
的中心 C =⎨k 01⎪⎪k ∈R ⎬.
⎭⎩⎝⎭
19．举例说明，非零因子的象可能会是零因子.
解：设 ϕ:Z →Z 6是环同态满射, 其中:ϕ(n )=[n ]. 则显然Z 是整环， 所以Z 中没有零因子。但在 Z 6中, [2] 和 [3]、[4] 都是零因子. 即 2显然不是Z 中的零因子, 但
ϕ(2)=[2]却是Z 6中的零因子. 这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.
20. 设R 为偶数环. 证明：
N
问：
={4r r ∈R R .
N =4
是否成立？N 是由哪个偶数生成的主理想？
解： ∀4n , 4m ∈N , n , m ∈R ： 4n -4m =4(n -m ) ∈N , n -m ∈R 故(4n -4m ) ∈N , 另外∀n ∈R , ∀4r ∈N , r ∈R
(4r ) n =4(rn ) ∈N , rn ∈R
n (4r ) =(n 4) r =(4n ') r =4(n 'r ) ∈N , n '∈R ⇒n 'r ∈R ,
故n (4r ), (4r ) n ∈N . 总之有N
={4r r ∈R R . 另方面，由于
N ={4r r ∈R }={ , -16, -8, 0, 8, 16, },
且4∉N . 而且实际上N 是偶数环中由8生成的主理想，即
N ={4r r ∈R }=={8r +8n r ∈R , n ∈Z }={8n n ∈Z }，但是
} 4={4r +4n r ∈R , n ∈Z }={4n n ∈Z }={ , -8, -4, 0, 4, 8,
因此，
N ≠. 实际上是N =⊂4
21、举例说明，素理想不一定是极大理想。
解 例如Z [x ]是有单位元的交换环，容易证明(x )是它的一个素理想. 而理想(x , 2)真包含
(x )且(x , 2)≠Z [x ]. 从而知(x )是Z [x ]的素理想但不是极大理想.
22、设H ={(1),(12)}, 求S 3关于H 的所有左陪集以及右陪集.
解 S 3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},
H 的所有左陪集为:(1)H =(12)H ={(1),(12)}=H ;
(13)H =(123)H ={(13),(123)}; (23)H =(132)H ={(23),(132)}． H 的所有右陪集为:H (1)=H (12)={(1),(12)};
H （13）=H (132)={(13),(132)}; H (23)=H (123)={(23),(123)}.
四、综合应用能力。 （五）证明题 1．在群
中, 对任意
, 方程
与
都有唯一解.
证明 令
为
, 那么
的任一解, 即
, 则
, 故
为方程
的解。 又如
.
这就证明了唯一性.
同理可证另一方程也有唯一解. 2．全体可逆的 阶方阵的集合
个群的单位元是单位矩阵
(
) 关于矩阵的乘法构成一个非交换群. 这
.
每个元素(即可逆矩阵) 的逆元是
的逆矩阵
证明 (1) 设
所以
都是 阶可逆矩阵, 则
,
, 从而
的代数运算;
.
.
也是 阶可逆矩阵. 这说明矩阵的乘法是
(2) 因为矩阵的乘法满足结合律, 所以
(3) 设
为 阶单位矩阵, 则
, 有
所以, 是
(4) 设
的单位元. , 则
, 故
的乘法也满足结合律;
, 且对任意的
. 从而
可逆, 设
为
的逆矩阵, 则
, 故
为
在
时
3．
, 且
.. 所以
的逆矩阵
构成群. 由矩阵的乘法易知, 当
中的逆元. 因此,
是非交换群. ，
。那么H 是S 3的一个子群。
证明 I.H 对于G 的乘法来说是闭的，
(1)(1)=(1)，(1)(12)=(12)，(12)(1)=(12)，(12)(12)=(1)； II. 结合律对于所有G 的元都对，对于H 的元也对； IV.
；
V.(1)(1)=(1)，(12)(12)=(1)。
4．一个群G 的一个不空有限子集H 作成G
的一个子群的充分而且必要条件是：
证明 必要性。H 是G 的非空子集且H 的每一个元素的阶都有限。若H 是子群，则由子群的条件必有
∀a , b ∈H ⇒ab ∈H ;
∀a , b ∈H ⇒ab ∈H ; 又H 的每一个元素
充分性。由于H 是G 的非空子集，若的阶都有限
⇒∀a ∈H , ∃n ∈N , ∍a 综上知H 是G 的子群。 5． 设
n
=e ⇒aa n -1=e ⇒a -1=a n -1∈H ，
是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群.
是
的子群.
是所有行列式等
于1的 阶矩阵所组成的集合. 则
证明 首先, 单位矩阵
果
, 则
, 有
这说明
的行列式为 1, 所以
, 所以
可逆, 故
, 所以
. 从而由定理知,
非空. 又对任一 阶方阵
, 如是
的子集. 又对任意的
.
是
的子群.
6．群
的任何两个子群的交集也是
的子群. 证明 设
(1) (2) 任给
(3) 任给
, 那么
. 从而由定理2知, 为
的两个子群, 则
, 所以
, 则
, 因此
是
的子群. , 即
; , 因此
; , 所以
7． 设
为
的子群. 则
在
中左陪集的个数与右陪集的个数相同.
证明
设 , 分别表示
在
中的左、右陪集所组成的集合. 令
,
.
则 是 到 的双射. 事实上
(1) 如果
为
到
的映射. (2) 任给
(3) 如果
, 那么
, 故
, 所以, . 于是
,
, 有
, 那么
, 因此, 为满射. , 因此
, 从而得
为双射. 即
在
中左陪集的个数与右陪集的个数相同.
8．有限群
的任一元素的阶都是群
的阶数的因子.
证明 设G 的元a 的阶为n, 则a 生成一个阶是n 的子群，由以上定理，n 整除G 的阶。 9． 设
与
为群,
是 与
的同构映射, 则 为
的单位元;
为
的单位元.
的逆元. 所以,
.
(1) 如果
为 的单位元,
则
(2)
任给 证明 (1)
因为 (2)
任给 从而知
为
, ,
为
的逆元,
即
由消去律知,
10
．如果 是交换群,
则
的每个子群
都是 的正规子群. 证明
因为 为交换群,
所以
的每个左陪集
11．
设
为群 的子群.
若 证明
任给
,
如果
,
那么
, ,
所以
. ,
则
,
, 则
.
所以,
为 . 同理可证:
,
那么
也就是右陪集 . .
如果
,
那么
与
是
.
在 中的两个不同的左陪集, 所以同理,
.
从而
12．
设 证明 (1) 的子群. (2)
任给
,
,
则
, , .
因为
,
而 .
由此知
所以,
,
从而
.
13．群
的任何两个正规子群的交还是 的正规子群. 证明
设
与
为 的两个正规子群,
都是 的正规子群,
所以
所以,
.
故
.
,
则
为 的子群.
又任给
,
,
则因为
与
14． 设
与
是群, 是
到
的同态映射.
是
是
的单位元; 在
中的逆元. 即
(1)
如果 是 的单位元
, 则 (2)
对于任意的
,
证明
(1) 因为 是
的单位元,
设 是
的单位元
, 则
从而有消去律得:
(2) 因为 从而可知,
15． 设
与
的正规子群. 证明 由定理知,
, 使得
是
.
.
是群, 是
到
的满同态. 如果
是 的正规子群,
则 是
的子群. 又对任意的 , 因为 是满同态, 所以存在
. 从而
所以
, 是
的正规子群.
16． 设，的阶为，证明的阶是，其中。
证明：首先，； 其次，若，即，
因为的阶为
，所以17． 设
是循环群，G 与
同态，证明
，而
是循环群。
。
，故的阶是。
证明：设G ＝() ， 又 所以
。 ，存在
，使
，下证，
，
18． 证明循环群的子群也是循环群。 证明：设
，H 是G 的子群，又设
是属于H 且指数最小的正整数，下证
。
则
故
，设
，若
，
，这与的取法矛盾，
。
，又假定的阶是
，的阶是，
19． 假定和是一个群G 的两个元，并且
，证明：
证明：一方面，
同理，
；于是由
，有
的阶是
。
； 另一方面，若
；
，故，
的阶是
。
，则
20．假定H 是G 的子群，N 是G 的不变子群，证明HN 是G 的子群。 证明：
，
，
，
。
21．设 是一个环, 如果
有单位元, 则
的单位元是唯一的. 的单位元常记作
. 证明 设
都是
的单位元, 则
所以,
.
22、设R 为实数集，∀a , b ∈R , a ≠0，令f (a , b ) :R →R , x ax +b , ∀x ∈R ，将R 的所有这样的变换构成一个集合G =f (a , b ) ∀a , b ∈R , a ≠0，试证明：对于变换普通的乘法，G 作成一个群。
证明 (1)(封闭性) ∀ f (a , b ), f (c , d )∈G ∀x ∈R , 我们有:
{}
f (a , b )f (c , d )(x ) =f (a , b )(cx +d )=a (cx +d )+b =acx +(ad +b ) =f (ac , ad +b )(x ).
由于a ≠0, c ≠0⇒ac ≠0
∴ f (ac , ad +b )∈G ⇒G 中元素是封闭的.
(2)(结合律) 凡是映射的合成都满足结合律. 故 G 中的元素也满足结合律. (3)(单位元) 显然f (1, 0)∈G 是R 的恒等变换ε, 由定 义2知f (1, 0)必是G 的单位元.
(4)(左逆元) ∀ f (a , b )∈G 那么 a ≠0⇒
a
≠0
故f (1-b )∈G 并且f (a , b )f (-)=f (-b )f (a , b )=ε .
a a (这个等式可以验证) 故知
-1
f (a , b )=f (1-b )f (a , b ). a a
由上述(1)-(4)⇒G =f (a , b )∀a , b ∈R , a ≠0是一个R 的变换群. 23．全体偶数
环.
证明 (1) 任给
, 则
所以, 数的加法与乘法是
的代数运算.
关于通常的数的加法与乘法构成一个没有单位元的交换
{}
(2) 因为数的加法与乘法满足交换律, 结合律, 且乘法对加法满足分配律, 所以
的加法与乘法也满足这些运算律. (3) 因为
, 且对任意的
所以数零是
(4) 任给
的加法零元.
,
所以
的每个元都有负元, 且
构成交换环, 显然
,
.
无单位元. , 且对任意的
, 有
,
, 有
从而由环的定义知, 事实上， 如果
有单位元 , 则
，即
, 所以
, , 矛盾.
24、设群G 的每个元素x 都适合方程x = e，这里e 是G 的单位元，求证：G 是交换群。 证明：任意x 、y ∈G ，由x = e，y = e有x = x，y = y。又由(xy)= e有(xy)= xy。从而yx= y x= (xy)= xy．即G 是交换群． 25． 证明数集
成一个有单位元的交换环. 证明 (1) 任给
所以, 数的加法与乘法是
的代数运算.
,
, 则
关于数的加法与乘法构
-1
-1
-1
2
2
-1
-1
2
-1
2
(2) 因为数的加法与乘法满足交换律, 结合律, 且乘法对加法有分配律, 所以
的加法与乘法也满足这些运算律.
(3) 因为
, 且对任意的
所以数零为
(4) 任给
所以, 的零元.
,
的负元为
.
(5) 因为
, 且对任意的
所以数1为
的单位元.
,
, 如果
, 或
, 有
,
且
, 有
26． 在一个无零因子环中, 两个消去律成立. 即设
, 则
证明 设
而
. , 则
. 因为
无零因子, 且
, 所以
, 从
. 同理可证另一个消去律成立.
27、群G 的两个子群的交集还是G 的子群。
证明：设H 1、H 2为G 之子群，a 、b ∈H 1∩H 2，则
a 、b ∈H 1，且
a 、b ∈H 2．
又H 1、H 2为子群，故ab ∈H 1，ab ∈H 2，从而ab ∈H 1∩H 2．又显然e ∈H 1∩H 2，即H 1∩H 2非空，故H 1∩H 2是G 之子群． 28． 证明 证明 可先证
为域.
是有单位元的交换环. 下证,
的每个非零元都可逆.
-1
-1
-1
设
, 且
, . 故
, 则
为域.
. 令
, 则
29、设R 是阶大于1的交换环。证明：当R 不含零因子时，R[x]亦然。
证明：因为 R >1，故R[x]有非零多项式。 设R[x]有零因子，即存在非零多项式
f(x)，g(x)，f(x)g(x) ∈ g(x)，使f(x)g(x)=0。 (*)
令a ≠0，b ≠0分别是f(x)，g(x)的最高次项系数，则ab 为f(x)g(x)的最高次项系数。从而由(*)知，ab ≠0即是R 的零因子，这R 与无零因子矛盾。
因此，当R 无零因子时，R[x]也没有零因子。 30． 在一个没有零因子的环证明：如果元
里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。
的某一个
的每一个不等于零的元的阶都是无限大，那么定理是对的。假定
的
，可得
的阶。所以的阶
的阶。
的阶是有限整数，而是
另一个不等于零的元。由
阶；同样可得，的阶
，所以
的阶的
31、设f ：R →是环R 到环的同态满射，求证：f 是R 到的同构当且仅当f 的核是R 的零理想。
证明：由于f 为同态满射，故f 为同构当且仅当f 为单射，从而只须证明f 为单射当且仅当f 的核是R 的零理想．
若f 单射，则由f(0)＝0知f 的核是{0}。
反之，若f 的核是{0}，对任意x 、y ∈G ，若f(x)＝f (y)，则f(x-y)＝0即x-y ∈Kerf={0}，故x-y ＝0即x= y，f 为单射。 32． 如果无零因子环
的特征是有限整数，那么是一个素数。
证明：假设n 不是素数，
这与环R 无零因子矛盾。
，但
33、求证：若a 生成一个n 阶循环群G ，k 与n 互素，则a 也生成G 。 证明：只须证明a 的阶是n ．
设a 的阶是r ，e 是G 的单位元。由于a 的阶是n ，故 (a) =a =e，知r 整除n 。
k
k n
k n
k
k
又由a 的阶是r 知a =(a) =e，而a 的阶是n ，故n 整除kr ．但k 与n 互素，故n 整除r ，从而n 等于r ，即a 的阶是n ． 34． 设
为
使得
证明 (充分性) 设
(1)
(2)
从而由定理知, 为
(必要性) 设
为
的子环. 的子环, 则
为
的子群. 因
为无限循环
.
. 则任给
;
,
, 有
的非空子集. 证明: 为
的子环的充分必要条件时, 存在非负整数
,
k
k k rk r
群, 所以存在非负整数
, 使得
.
35、求证：一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环 。
证明：不妨设R={0，a 1，…，a n-1}，a 1，…，a n-1不为0，R 是一个没有零因子的有限环。由
2n -1
于R 没有零因子，故a 1，a 1，…，a 1是R 的n 非0元，但R 只有n-1个非0元，故必有i i i i
i i i j =i i
，a 1a k a 1j -i a 1=a k a 1a 1a k =a 1a k ．
又由于R 没有零因子，则a k a 1j -i =a k ，a 1j =i a k =a k ，知a 1j -i 是R 之单位元，且a 1是R 之单
t -s
位．同理，对任意的0≠a k ∈R 可有s
R 是一个除环．
36． 设
为环. 证明
的中心
是
的子环. 证明 (1) 因为对任意
(2) 对
,
,
,
所以
,
,
. 从而由定理2知,
为
的子环.
, 所以
. 故
.
37、设R 是主理想环，a ∈R ，a ≠0且(a)是R 的最大理想，求证：a 是R 的素元。
证明：由于(a)是R 的最大理想，故R (a )是域． 任意x 、y ∈R ，若a 整除xy ，则[x][y]=[0]，这里[x]表示x 所在的等价类，故[x] =[0]或[y]=[0]，即a 整除x 或a 整除y ，故a 是R 的素元．
38．
环
的两个理想
与
的和
证明 (1)
设
,
与交
,
都是 的理想.
.
则
且对任意的
,
所以,
(2)
设 以
为 的理想.
,
则 .
又对任意的 . 从而知,
, ,
有 为 的理想.
,
从而
,
且
,
且
.
故
, 所
39
、证明：Z ⎤是主理想环。
⎦
证明 令N
是Z ⎤的任意一个理想，a 是N 中绝对值最小的一个非零元素，下证
⎦
N =(a )。
任取β∈N ，显然
β/α∈Q [i ]={a +bi a , b ∈Q },
令β/α=r +si (r , s ∈Q ). 选取分别最接近r , s 的整数m , n ，即 0≤r -m ≤
1
, 21
0≤s -n ≤. （1）
2
令γ=m +niZ [i ].并由（1）得
β/α-γ=≤
=
θ=
β-αγ=αβ/α-γ
但α是N 中绝对值最小的非零元，故θ=0. 从而
β=αγ∈(α). ，因此N =(α) 。
40、证明：整数环上的多项式环Z [x ]是一个唯一分解环。
证明 Z [x ]的单位显然只有±1。又其不可约元为全体（正、负）素数以及次数大于零的本原不可约（在Z 上）多项式。今在Z [x ]中任取f (x ) ≠0, ±1，显然f (x ) 可唯一表示成 f (x ) =ag (x )
，（1） (a ∈Z , g (x ) 为本原多项式）
其中f (x ) 的最高系数为正整数。
若f (x ) 为本原的，则由高等代数知，f (x ) 可唯一分解成不可约多项式之积；若f (x ) 不是本原的，则由（1），a 可唯一分解成素数之积，而g (x ) 可唯一分解为Z 上不可约多项式之积（最多有符号差异）。从而f (x ) 可唯一分解成Z [x ]内不可约元之积。因此，Z [x ]是唯一分解成整环。
41
、试证在整环D =Z ]={a +|a , b ∈Z }中4不能唯一分解。 证明 为了证明4不是D 的唯一分解元，先证明两个事实。 （1）D 的一个元ε是单位当且仅当ε
2
=1。
设ε=a +是D 的一个单位，那么
εε'=1，ε'ε=1，
而ε
2
22
=a 2+3b 2是一个正整数，ε'亦为正整数，所以ε=1。
2
22
反之，假定ε=a 2+3b 2=1，则有b =0，a =±1，即ε=±1，故ε为单位。
2
（2）适合条件α当2
=4的元α一定是不可约元。
=4时，α≠0，且由（1）知α也不是单位。设β为α
的任一因子，则有
2
2
2
2
α=βγ，γ∈D ，那么βγ=α=4，这只有β=1, 2或4。β=a +，a , b ∈Z ，
但不论a , b 是什么整数，都有β因此只有β
若β若β
22
2
=a 2+3b 2≠2，
=1或4。
=1，则β为单位；
2
=4，γ
2
=1，则γ为单位，因而β=γ-1α，即β为α的相伴元。
故α只有平凡因子，所以α为不可约元。
现在我们看4在D 里的分解式
4=2⨯2=11，
因
(
)()
2=
4，=
4，=4，
由（2）知2
，1+
，1都是D
的不可约元。而且1
，1都不是2的相伴元，因此4有两种不同的分解式。
所以4在D
里的分解不唯一，D =Z ]不是唯一分解环。 42、数域P 上的一元多项式环P [x ]是一个欧氏环。 证明：显然P [x ]是一个有单位元的整环。
（1）令ϕ:f (x ) →f (x ) 的次数，则ϕ是非零多项式集P [x ]*到非负整数集的一个映射。
（2）由高等代数知在P [x ]中任取f (x ) 及g (x ) ≠0，存在q (x ), r (x )∈P [x ]满足
2
22
f (x ) =g (x ) q (x ) +r (x ) ，其中r (x ) =0或r (x ) 的次数=ϕ(r (x ))
因此P [x ]关于ϕ作成一个欧氏环。
43、证明 若K 为欧氏环，则对任意a , b ∈K ，a , b 存在最大公因子d 且有s , t ∈K ，使得
d =sa +tb 。
证明 设a 、b 均为0，则它们的最大公因子为0。
若a 、b 中至少有一个不为0，在欧氏环中，每一个非零元素α都有一个非负整数
ϕ(x )，令d 是集N ={xa +yb x , y ∈K }中对应的非负整数最小元素，因此d 能够写成
d =sa +tb （对某个s , t ∈K ），因此r =a -hd =a -h (sa +tb )=(1-hs )a -htb ∈N 。
因为d 是N 中元素对应的非负整数最小的元素，因此r =0，从而d a 同理d b 。如果
c |a ，c |b , 则a =kc , b =lc , d =sa +bt =skc +tlc =(sk +tl ) c , 从而c |d ，即d 为
a , b 的最大公因子。
44、若R 环的特征为素数p , 且R 可交换, 则有
(a +b )=a p +b b , ∀a , b ∈R .
p
证明 因R 是交换环, 所以
p -22p -1p -1p
(a +b )p =a p +c 1p a p -1b +c 2a b + +c ab +b p p
显然, 当1≤k ≤p -1时, 我们有(k !, p )=1, 又因
k k
p c k ! c k ! , 进而 ()()=p p -1 p -k +1⇒p k c p , p p
所以 c k p a =0.
于是 (a +b )=a p +b p .
p
45、证明Q [x ]是主理想环。
证明 设A 是Q [x ]的任意理想，若A ={0}，则A =(0)。若A ≠{0}，则在A 中取一个次数最低的多项式f (x ) ，对∀g (x ) ∈A ，有q (x ) ∈Q [x ]，r (x ) ∈Q [x ]使得
g (x ) =f (x ) q (x ) +r (x ) ，其中r (x ) =0或∂(r (x ))
以r (x ) ∈A ，故r (x ) =0。从而 g (x ) =f (x ) q (x ) ， 即A =(f (x )) ，因此Q [x ]是主理想环。
近世代数复习思考题
一、基本概念与基本常识的记忆 （一）填空题
1. 剩余类加群Z 12有_________个生成元.
2、设群G 的元a 的阶是n ，则a 的阶是________. 3. 6阶循环群有_________个子群.
4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果a =e ，那么m 与n 存在整除关系为———。 5. 模8的剩余类环Z 8的子环有_________个. 6. 整数环Z 的理想有_________个. 7、n 次对称群Sn 的阶是——————。
n
k
⎛123456789⎫
8、9-置换 543961827⎪⎪分解为互不相交的循环之积是————。
⎝⎭
9. 剩余类环Z 6的子环S={［0］, ［2］, ［4］}，则S 的单位元是____________. 10. Z 24中的所有可逆元是：__________________________. 11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。
12. 设G =(a ) 为循环群，那么（1）若a 的阶为无限，则G 同构于___________，（2）若a 的阶为n ，则G 同构于____________。
13. 在整数环Z 中，2+3=__________________； 14、n 次对称群S n 的阶是_____.
15. 设A 1, A 2为群G 的子群，则A 1A 2是群G 的子群的充分必要条件为___________。 16、除环的理想共有____________个。 17. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________.
18、在整数环Z 中，由｛2，3｝生成的理想是_________. 19. 剩余类环Z 7的可逆元有__________个.
20、设Z 11是整数模11的剩余类环，则Z 11的特征是_________. 21. 整环I={所有复数a+bi(a,b是整数)}，则I 的单位是__________. 22. 剩余类环Z n 是域⇔n 是_________.
23、设Z 7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z 7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________.
8
24. 设G 为群，a ∈G ，若a =12，则a =_______________。
25、设群G=｛e ，a 1，a 2，…，a n-1｝，运算为乘法，e 为G 的单位元，则a 1=___. 26. 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个. 27、整数环Z 的商域是________.
n
28. 整数加群Z 有__________个生成元.
29、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么————————。 30. 已知σ=
是一个域当且仅当I 是
⎛12345⎫-1
⎪为S 5上的元素，则σ＝__________。31. 每一个有限群
⎝31254⎭
都与一个__________群同构。
32、设I 是唯一分解环，则I ［x ］与唯一分解环的关系是——————。 二、基本概念的理解与掌握。 （二）选择题
1. 设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A.2 C.7
B.5
D.10
2. 设A ＝B ＝R(实数集) ，如果A 到B 的映射
ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，
则ϕ是从A 到B 的（ ） A. 满射而非单射 C. 一一映射
B. 单射而非满射 D. 既非单射也非满射
3. 设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。
A.2 C.6
B.4 D.8
4、G 是12阶的有限群，H 是G 的子群，则H 的阶可能是( )
A 5； B 6； C 7； D 9. 5、下面的集合与运算构成群的是 ( )
A {0，1}，运算为普通的乘法； B {0，1}，运算为普通的加法; C {-1，1}，运算为普通的乘法； D {-1，1}，运算为普通的加法; 6、关于整环的叙述，下列正确的是 ( )
A 左、右消去律都成立； B 左、右消去律都不成立; C 每个非零元都有逆元； D 每个非零元都没有逆元; 7、关于理想的叙述，下列不正确的是 ( )
A 在环的同态满射下，理想的象是理想;
B 在环的同态满射下，理想的逆象是理想; C 除环只有两个理想，即零理想和单位理想 D 环的最大理想就是该环本身. 8. 整数环Z 中，可逆元的个数是( )。
A.1个 9. 设M 2(R)=⎨
B.2个
C.4个
D. 无限个
⎧⎫⎪⎛a b ⎫
⎪ a,b,c,d∈R ，R 为实数域⎬按矩阵的加法和 ⎪c d ⎪⎭⎭⎩⎝
乘法构成R 上的二阶方阵环，那么这个方阵环是( )。 A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环
⎧a
⎪2, 当a 为偶数时
10. 设Z 是整数集，σ(a)=⎨ ，a ∈Z ，则σ是R 的( ).
a +1⎪, 当a 为奇数时⎩2
A. 满射变换 C. 一一变换
B. 单射变换 D. 不是R 的变换
11、设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集 的
同态满射的是( ).
A 、x →10x B、x →2x C 、x →|x| D、x →-x .
12、设 是正整数集Z 上的二元运算，其中a b =max {a , b }（即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）
A 、不适合交换律 B、不适合结合律 C 、存在单位元 D、每个元都有逆元.
13. 设S 3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3 中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )
A 、1 B 、2 C 、3 D、4.
14、设(G , )为群，其中G 是实数集，而乘法 :a b =a +b +k ，这里k 为G 中固定的常数。那么群(G , )中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ） A 、0和-x ； B、1和0； C、k 和x -2k ； D、-k 和-(x +2k )
15、设H 是有限群G 的子群，且G 有左陪集分类{H , aH , bH , cH }。如果H =6, 那么
G 的阶G =（ ）
A 、6 B、24 C、10 D、12
16. 整数环Z 中，可逆元的个数是( ).
A 、1个 B、2个 C、4个 D 、无限个。
17、设f :R 1→R 2是环同态满射，f (a ) =b ，那么下列错误的结论为（ ）
A 、若a 是零元，则b 是零元 B、若a 是单位元，则b 是单位元
C 、若a 不是零因子，则b 不是零因子 D 、若R 2是不交换的，则R 1不交换 18、下列正确的命题是（ ）
A 、欧氏环一定是唯一分解环 B 、主理想环必是欧氏环 C 、唯一分解环必是主理想环 D 、唯一分解环必是欧氏环
19. 下列法则，哪个是集A 的代数运算( ).
A. A=N, a b=a+b-2 B. A=Z,a b=C. A=Q, a b=ab D. A=R, a
a b
b=a+b+ab
20. 设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是( ). A. x→-x C. x→-
B. x→
1
x
1
x
D. x→5x
21. 在3次对称群S 3中，阶为3的元有( ).
A. 0个 C. 2个
B. 1个 D. 3个
22．剩余类环Z 6的子环有( ).
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
23、设a , b , c 和x 都是群G 中的元素且x a =bxc , acx =xac ，那么x =（ ）
A. bc a ； B.c a ； C.a bc ； D.b ca 。 24、设f :G 1→G 2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
2-1
A. f 的同态核是G 1的不变子群; B.G 1的不变子群的象是G 2的不变子群。 C. G 1的子群的象是G 2的子群；
D. G 2的不变子群的逆象是G 1的不变子群；
25、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{H , aH , bH , cH }。如果H =6，那么G 的阶G =（ ）
A.6； B.24； C.10； D.12。 （三）判断题（每小题2分，共12分）
1、设A 、B 、D 都是非空集合，则A ⨯B 到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 2、除环中的每一个元都有逆元。（ ）
3、如果循环群G =(a )中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。（ ） 4、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。（ ） 5、域是交换的除环。（ ）
6、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子。（ ）
7、设f ：G →G 是群G 到群G 的同态满射，a ∈G ，则a 与f (a)的阶相同。（ ） 8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。（ ） 9、循环群的子群也是循环群。（ ）
10、整环I 中的两个元素a ，b 满足a 整除b 且b 整除a ，则a ＝b 。（ ） 11、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。（ ） 12、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射f 13、如果环R 的阶≥2，那么R 的单位元1≠0。（ ） 14、指数为2的子群不是不变子群。（ ）
15、在整数环Z 中，只有±1才是单位，因此在整数环Z 中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。（ ）
16、两个单位ε和ε'的乘积εε'也是一个单位。（ ）
17、环K 中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元。（ ）
18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元和单位都不能唯一分解。（ ）
19、整环必是唯一分解环。（ ）
20、在唯一分解环K 中，p 是K 中的素元当且仅当p 是K 中的不可约元。（ ）
-1
。（ ）
21、设K 是唯一分解环，则K 中任意二个元素的最大公因子都存在，且任意二个最大公因子相伴。（ ）
22、整数环Z 和环Q [x ]都是主理想环。（ ） 23、K 是主理想环当且仅当K 是唯一分解环。（ ）
24、整数环Z 、数域P 上的一元多项式环P [x ]和Gauss 整环Z [i ]都是欧氏环。（ ） 25、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。反之亦然。（ ） 26、欧氏环⊂主理想环⊂唯一分解环⊂有单位元的整环。（ ） 27、设环的加法群是循环群, 那么环R 必是交换环. （ ） 28、对于环R, 若a 是R 的左零因子, 则a 必同时是R 的右零因子. （ ） 29、剩余类Z m 是无零因子环的充分必要条件是m 为素数. （ ） 30、整数环是无零因子环，但它不是除环。（ ） 31、S 2=⎨
⎧⎛α0⎫⎫
⎪∀α∈C ⎬是M 2(C )的子域. （ ） ⎪
⎩⎝0α⎭⎭
32、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。（ ） 33、理想必是子环, 但子环未必是理想. （ ）
34、群G 的一个子群H 元素个数与H 的每一个左陪集aH 的个数相等. （ ）
35、有限群G 中每个元素a 的阶都整除群G 的阶。（ ） 三、基本方法与技能掌握。 （四）计算题 1．设
为整数加群,
, 求 [Z :H ]=?
解
在 Z中的陪集有
:
,
,
所以, [Z :H ]=5. 2、找出S 3的所有子群。
解：S 3显然有以下子群： 本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}； （（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}； （（123））={（123），（132），（1）} 若S 3的一个子群H 包含着两个循环置换，那么H 含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H 含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。同理，若是S 3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。这个子群也必然是S 3。 用完全类似的方法，可以算出，若是S 3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S 3。
,
,
,
3．求 Z 18的所有子群。 解 Z 18的子群有
4． 将
解
容易验证:
.
表为对换的乘积.
.
(4 2)(2 6)(1 2)(1 3)(2 7)(1 2).
;
;
;
;
;
5． 设按顺序排列的13张红心纸牌
A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K
经一次洗牌后牌的顺序变为
3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9
问: 再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?
解 每洗一次牌, 就相当于对牌的顺序进行一次新的置换. 由题意知, 第一次洗牌所对应的置换为
则3次同样方式的洗牌所对应的置换为
6． 在 Z 6中, 计算:(1) 解 (1)
(2) (3) (4)
; ; ; .
;(2)
; (3)
; (4)
.
7．试求高斯整环
解 设
, 于是
(
的单位。
) 为
的单位, 则存在
, 使得
因为
可能的单位只有
显然它们都是
的单位. 所以
恰有四个单位:
, 所以
. 从而
,
, 或
. 因此
8． 试求Z 12中的所有零因子与可逆元, 并确定每个可逆元的逆元素. 解 由定理可知:
(1)
(2)
为 Z 12的全部零因子.
为 Z 12的全部可逆元. 直接计算可知, 相应的逆元为
,
,
,
.
9、找出模6的剩余类环Z 6的所有理想。 解：R={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}。
若I 是R 的一个理想，那么I 一定是加群R 的一个子群。但加群R 是循环群，所以它的子群一定也是循环群， 我们有
G1=（[0]）={[0]} G2=（[1]）=（[5]）=R G3=（[2]）=（[4]）={[0]，[2]，[4]} G4=（[3]）={[0]，[3]}
易见，G 1，G 2，G 3，G 4都是R 的理想，因而是R 的所有理想。 10． 在 Z 12中, 解下列线性方程组
:
解:
⎛x ⎫⎛35⎫ y ⎪⎪= 2-1⎪⎪⎝⎭⎝⎭
-1
⎛6⎫1⎛-1-5⎫⎛6⎫⎛11⎫
⎪ =- 1⎪ -23⎪⎪ 1⎪⎪= 9⎪⎪ 13⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
即
, .
11．求 Z 18的所有子环.
解 设
为 Z 18的任一子环, 则
是 Z 18的子加群, 而
而
也是循环群, 且存在
,
, 使得
为有限阶循环群, 从. 的可能取值为1,
2, 3, 6, 9, 12。相应的子加群为
,
.
直接验证可知, 以上六个子加群都关于剩余类的乘法封闭, 所以它们都是 Z 18的子环. 于是 Z 18恰有6个子环
:
12. 试求
解 设
为
的所有理想. 的任意理想, 则 为
,
对任意的
,
的子环， 则
.
,
,
,
,
, 且
, 有
,
的全部理想为
从而由理想的定义知, 为
的理想. 由此知,
且
2
.
5
3
13、数域F 上的多项式环F [x ]的理想(x +1, x +x +1) 是怎样的一个主理想。
5332253
解 由于x +x +1-x x +1=1，所以1∈x +1, x +x +1，于是得
()()
()
(x
2
+1, x 5+x 3+1)=(1)=F [x ]。
14、在
中, 求
的全部根.
解
共有16个元素: , , , , 将它们分别代入
, 可知共有下列4个元素
, , ,
为
的根.
15．试举例说明，环R [x ]中的m 次与n 次多项式的乘积可能不是一个 m+n次多项式.
解 例如，环Z 6[x ]中多项式
f (x ) =2x 3+x 2-3x +5 与 g (x ) =3x 2+1 的乘积f (x ) g (x ) =3x 4-x 3+4x 2-3x +5就不是3+2次多项式. 16. 求出域Z 3上的所有2次不可约多项式.
解 经验算得知，Z 3上的2次不可约多项式有三个，它们是： x 2+1,
x 2+x -1, x 2-x -1.
17、指出下列哪些元素是给定的环的零因子.
(1) 在M 2(F ) 中. 设A =⎢(2) (3)
1⎤-1⎤2⎤⎡2 ⎡0 ⎡1 , B =，C =⎥⎢1 ⎥⎢4 ⎥. 0 002⎣⎦⎣⎦⎣⎦
在Z 12中, 它的全部零因子是哪些.
Z 11中有零因子吗?
解 (1) |A |=|C |=0⇒A , C 是零因子, 但B 不是. (2) Z 12中的零因子为[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10] (3) Z 11中没有零因子. 18. 求二阶方阵环M 2(R ) 的中心.
解 高等代数已经证明，n 阶方阵A 与任何n 阶方阵可交换⇔A 是纯量矩阵. 因此M 2(R )
⎧⎛10⎫⎫
的中心 C =⎨k 01⎪⎪k ∈R ⎬.
⎭⎩⎝⎭
19．举例说明，非零因子的象可能会是零因子.
解：设 ϕ:Z →Z 6是环同态满射, 其中:ϕ(n )=[n ]. 则显然Z 是整环， 所以Z 中没有零因子。但在 Z 6中, [2] 和 [3]、[4] 都是零因子. 即 2显然不是Z 中的零因子, 但
ϕ(2)=[2]却是Z 6中的零因子. 这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.
20. 设R 为偶数环. 证明：
N
问：
={4r r ∈R R .
N =4
是否成立？N 是由哪个偶数生成的主理想？
解： ∀4n , 4m ∈N , n , m ∈R ： 4n -4m =4(n -m ) ∈N , n -m ∈R 故(4n -4m ) ∈N , 另外∀n ∈R , ∀4r ∈N , r ∈R
(4r ) n =4(rn ) ∈N , rn ∈R
n (4r ) =(n 4) r =(4n ') r =4(n 'r ) ∈N , n '∈R ⇒n 'r ∈R ,
故n (4r ), (4r ) n ∈N . 总之有N
={4r r ∈R R . 另方面，由于
N ={4r r ∈R }={ , -16, -8, 0, 8, 16, },
且4∉N . 而且实际上N 是偶数环中由8生成的主理想，即
N ={4r r ∈R }=={8r +8n r ∈R , n ∈Z }={8n n ∈Z }，但是
} 4={4r +4n r ∈R , n ∈Z }={4n n ∈Z }={ , -8, -4, 0, 4, 8,
因此，
N ≠. 实际上是N =⊂4
21、举例说明，素理想不一定是极大理想。
解 例如Z [x ]是有单位元的交换环，容易证明(x )是它的一个素理想. 而理想(x , 2)真包含
(x )且(x , 2)≠Z [x ]. 从而知(x )是Z [x ]的素理想但不是极大理想.
22、设H ={(1),(12)}, 求S 3关于H 的所有左陪集以及右陪集.
解 S 3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},
H 的所有左陪集为:(1)H =(12)H ={(1),(12)}=H ;
(13)H =(123)H ={(13),(123)}; (23)H =(132)H ={(23),(132)}． H 的所有右陪集为:H (1)=H (12)={(1),(12)};
H （13）=H (132)={(13),(132)}; H (23)=H (123)={(23),(123)}.
四、综合应用能力。 （五）证明题 1．在群
中, 对任意
, 方程
与
都有唯一解.
证明 令
为
, 那么
的任一解, 即
, 则
, 故
为方程
的解。 又如
.
这就证明了唯一性.
同理可证另一方程也有唯一解. 2．全体可逆的 阶方阵的集合
个群的单位元是单位矩阵
(
) 关于矩阵的乘法构成一个非交换群. 这
.
每个元素(即可逆矩阵) 的逆元是
的逆矩阵
证明 (1) 设
所以
都是 阶可逆矩阵, 则
,
, 从而
的代数运算;
.
.
也是 阶可逆矩阵. 这说明矩阵的乘法是
(2) 因为矩阵的乘法满足结合律, 所以
(3) 设
为 阶单位矩阵, 则
, 有
所以, 是
(4) 设
的单位元. , 则
, 故
的乘法也满足结合律;
, 且对任意的
. 从而
可逆, 设
为
的逆矩阵, 则
, 故
为
在
时
3．
, 且
.. 所以
的逆矩阵
构成群. 由矩阵的乘法易知, 当
中的逆元. 因此,
是非交换群. ，
。那么H 是S 3的一个子群。
证明 I.H 对于G 的乘法来说是闭的，
(1)(1)=(1)，(1)(12)=(12)，(12)(1)=(12)，(12)(12)=(1)； II. 结合律对于所有G 的元都对，对于H 的元也对； IV.
；
V.(1)(1)=(1)，(12)(12)=(1)。
4．一个群G 的一个不空有限子集H 作成G
的一个子群的充分而且必要条件是：
证明 必要性。H 是G 的非空子集且H 的每一个元素的阶都有限。若H 是子群，则由子群的条件必有
∀a , b ∈H ⇒ab ∈H ;
∀a , b ∈H ⇒ab ∈H ; 又H 的每一个元素
充分性。由于H 是G 的非空子集，若的阶都有限
⇒∀a ∈H , ∃n ∈N , ∍a 综上知H 是G 的子群。 5． 设
n
=e ⇒aa n -1=e ⇒a -1=a n -1∈H ，
是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群.
是
的子群.
是所有行列式等
于1的 阶矩阵所组成的集合. 则
证明 首先, 单位矩阵
果
, 则
, 有
这说明
的行列式为 1, 所以
, 所以
可逆, 故
, 所以
. 从而由定理知,
非空. 又对任一 阶方阵
, 如是
的子集. 又对任意的
.
是
的子群.
6．群
的任何两个子群的交集也是
的子群. 证明 设
(1) (2) 任给
(3) 任给
, 那么
. 从而由定理2知, 为
的两个子群, 则
, 所以
, 则
, 因此
是
的子群. , 即
; , 因此
; , 所以
7． 设
为
的子群. 则
在
中左陪集的个数与右陪集的个数相同.
证明
设 , 分别表示
在
中的左、右陪集所组成的集合. 令
,
.
则 是 到 的双射. 事实上
(1) 如果
为
到
的映射. (2) 任给
(3) 如果
, 那么
, 故
, 所以, . 于是
,
, 有
, 那么
, 因此, 为满射. , 因此
, 从而得
为双射. 即
在
中左陪集的个数与右陪集的个数相同.
8．有限群
的任一元素的阶都是群
的阶数的因子.
证明 设G 的元a 的阶为n, 则a 生成一个阶是n 的子群，由以上定理，n 整除G 的阶。 9． 设
与
为群,
是 与
的同构映射, 则 为
的单位元;
为
的单位元.
的逆元. 所以,
.
(1) 如果
为 的单位元,
则
(2)
任给 证明 (1)
因为 (2)
任给 从而知
为
, ,
为
的逆元,
即
由消去律知,
10
．如果 是交换群,
则
的每个子群
都是 的正规子群. 证明
因为 为交换群,
所以
的每个左陪集
11．
设
为群 的子群.
若 证明
任给
,
如果
,
那么
, ,
所以
. ,
则
,
, 则
.
所以,
为 . 同理可证:
,
那么
也就是右陪集 . .
如果
,
那么
与
是
.
在 中的两个不同的左陪集, 所以同理,
.
从而
12．
设 证明 (1) 的子群. (2)
任给
,
,
则
, , .
因为
,
而 .
由此知
所以,
,
从而
.
13．群
的任何两个正规子群的交还是 的正规子群. 证明
设
与
为 的两个正规子群,
都是 的正规子群,
所以
所以,
.
故
.
,
则
为 的子群.
又任给
,
,
则因为
与
14． 设
与
是群, 是
到
的同态映射.
是
是
的单位元; 在
中的逆元. 即
(1)
如果 是 的单位元
, 则 (2)
对于任意的
,
证明
(1) 因为 是
的单位元,
设 是
的单位元
, 则
从而有消去律得:
(2) 因为 从而可知,
15． 设
与
的正规子群. 证明 由定理知,
, 使得
是
.
.
是群, 是
到
的满同态. 如果
是 的正规子群,
则 是
的子群. 又对任意的 , 因为 是满同态, 所以存在
. 从而
所以
, 是
的正规子群.
16． 设，的阶为，证明的阶是，其中。
证明：首先，； 其次，若，即，
因为的阶为
，所以17． 设
是循环群，G 与
同态，证明
，而
是循环群。
。
，故的阶是。
证明：设G ＝() ， 又 所以
。 ，存在
，使
，下证，
，
18． 证明循环群的子群也是循环群。 证明：设
，H 是G 的子群，又设
是属于H 且指数最小的正整数，下证
。
则
故
，设
，若
，
，这与的取法矛盾，
。
，又假定的阶是
，的阶是，
19． 假定和是一个群G 的两个元，并且
，证明：
证明：一方面，
同理，
；于是由
，有
的阶是
。
； 另一方面，若
；
，故，
的阶是
。
，则
20．假定H 是G 的子群，N 是G 的不变子群，证明HN 是G 的子群。 证明：
，
，
，
。
21．设 是一个环, 如果
有单位元, 则
的单位元是唯一的. 的单位元常记作
. 证明 设
都是
的单位元, 则
所以,
.
22、设R 为实数集，∀a , b ∈R , a ≠0，令f (a , b ) :R →R , x ax +b , ∀x ∈R ，将R 的所有这样的变换构成一个集合G =f (a , b ) ∀a , b ∈R , a ≠0，试证明：对于变换普通的乘法，G 作成一个群。
证明 (1)(封闭性) ∀ f (a , b ), f (c , d )∈G ∀x ∈R , 我们有:
{}
f (a , b )f (c , d )(x ) =f (a , b )(cx +d )=a (cx +d )+b =acx +(ad +b ) =f (ac , ad +b )(x ).
由于a ≠0, c ≠0⇒ac ≠0
∴ f (ac , ad +b )∈G ⇒G 中元素是封闭的.
(2)(结合律) 凡是映射的合成都满足结合律. 故 G 中的元素也满足结合律. (3)(单位元) 显然f (1, 0)∈G 是R 的恒等变换ε, 由定 义2知f (1, 0)必是G 的单位元.
(4)(左逆元) ∀ f (a , b )∈G 那么 a ≠0⇒
a
≠0
故f (1-b )∈G 并且f (a , b )f (-)=f (-b )f (a , b )=ε .
a a (这个等式可以验证) 故知
-1
f (a , b )=f (1-b )f (a , b ). a a
由上述(1)-(4)⇒G =f (a , b )∀a , b ∈R , a ≠0是一个R 的变换群. 23．全体偶数
环.
证明 (1) 任给
, 则
所以, 数的加法与乘法是
的代数运算.
关于通常的数的加法与乘法构成一个没有单位元的交换
{}
(2) 因为数的加法与乘法满足交换律, 结合律, 且乘法对加法满足分配律, 所以
的加法与乘法也满足这些运算律. (3) 因为
, 且对任意的
所以数零是
(4) 任给
的加法零元.
,
所以
的每个元都有负元, 且
构成交换环, 显然
,
.
无单位元. , 且对任意的
, 有
,
, 有
从而由环的定义知, 事实上， 如果
有单位元 , 则
，即
, 所以
, , 矛盾.
24、设群G 的每个元素x 都适合方程x = e，这里e 是G 的单位元，求证：G 是交换群。 证明：任意x 、y ∈G ，由x = e，y = e有x = x，y = y。又由(xy)= e有(xy)= xy。从而yx= y x= (xy)= xy．即G 是交换群． 25． 证明数集
成一个有单位元的交换环. 证明 (1) 任给
所以, 数的加法与乘法是
的代数运算.
,
, 则
关于数的加法与乘法构
-1
-1
-1
2
2
-1
-1
2
-1
2
(2) 因为数的加法与乘法满足交换律, 结合律, 且乘法对加法有分配律, 所以
的加法与乘法也满足这些运算律.
(3) 因为
, 且对任意的
所以数零为
(4) 任给
所以, 的零元.
,
的负元为
.
(5) 因为
, 且对任意的
所以数1为
的单位元.
,
, 如果
, 或
, 有
,
且
, 有
26． 在一个无零因子环中, 两个消去律成立. 即设
, 则
证明 设
而
. , 则
. 因为
无零因子, 且
, 所以
, 从
. 同理可证另一个消去律成立.
27、群G 的两个子群的交集还是G 的子群。
证明：设H 1、H 2为G 之子群，a 、b ∈H 1∩H 2，则
a 、b ∈H 1，且
a 、b ∈H 2．
又H 1、H 2为子群，故ab ∈H 1，ab ∈H 2，从而ab ∈H 1∩H 2．又显然e ∈H 1∩H 2，即H 1∩H 2非空，故H 1∩H 2是G 之子群． 28． 证明 证明 可先证
为域.
是有单位元的交换环. 下证,
的每个非零元都可逆.
-1
-1
-1
设
, 且
, . 故
, 则
为域.
. 令
, 则
29、设R 是阶大于1的交换环。证明：当R 不含零因子时，R[x]亦然。
证明：因为 R >1，故R[x]有非零多项式。 设R[x]有零因子，即存在非零多项式
f(x)，g(x)，f(x)g(x) ∈ g(x)，使f(x)g(x)=0。 (*)
令a ≠0，b ≠0分别是f(x)，g(x)的最高次项系数，则ab 为f(x)g(x)的最高次项系数。从而由(*)知，ab ≠0即是R 的零因子，这R 与无零因子矛盾。
因此，当R 无零因子时，R[x]也没有零因子。 30． 在一个没有零因子的环证明：如果元
里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。
的某一个
的每一个不等于零的元的阶都是无限大，那么定理是对的。假定
的
，可得
的阶。所以的阶
的阶。
的阶是有限整数，而是
另一个不等于零的元。由
阶；同样可得，的阶
，所以
的阶的
31、设f ：R →是环R 到环的同态满射，求证：f 是R 到的同构当且仅当f 的核是R 的零理想。
证明：由于f 为同态满射，故f 为同构当且仅当f 为单射，从而只须证明f 为单射当且仅当f 的核是R 的零理想．
若f 单射，则由f(0)＝0知f 的核是{0}。
反之，若f 的核是{0}，对任意x 、y ∈G ，若f(x)＝f (y)，则f(x-y)＝0即x-y ∈Kerf={0}，故x-y ＝0即x= y，f 为单射。 32． 如果无零因子环
的特征是有限整数，那么是一个素数。
证明：假设n 不是素数，
这与环R 无零因子矛盾。
，但
33、求证：若a 生成一个n 阶循环群G ，k 与n 互素，则a 也生成G 。 证明：只须证明a 的阶是n ．
设a 的阶是r ，e 是G 的单位元。由于a 的阶是n ，故 (a) =a =e，知r 整除n 。
k
k n
k n
k
k
又由a 的阶是r 知a =(a) =e，而a 的阶是n ，故n 整除kr ．但k 与n 互素，故n 整除r ，从而n 等于r ，即a 的阶是n ． 34． 设
为
使得
证明 (充分性) 设
(1)
(2)
从而由定理知, 为
(必要性) 设
为
的子环. 的子环, 则
为
的子群. 因
为无限循环
.
. 则任给
;
,
, 有
的非空子集. 证明: 为
的子环的充分必要条件时, 存在非负整数
,
k
k k rk r
群, 所以存在非负整数
, 使得
.
35、求证：一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环 。
证明：不妨设R={0，a 1，…，a n-1}，a 1，…，a n-1不为0，R 是一个没有零因子的有限环。由
2n -1
于R 没有零因子，故a 1，a 1，…，a 1是R 的n 非0元，但R 只有n-1个非0元，故必有i i i i
i i i j =i i
，a 1a k a 1j -i a 1=a k a 1a 1a k =a 1a k ．
又由于R 没有零因子，则a k a 1j -i =a k ，a 1j =i a k =a k ，知a 1j -i 是R 之单位元，且a 1是R 之单
t -s
位．同理，对任意的0≠a k ∈R 可有s
R 是一个除环．
36． 设
为环. 证明
的中心
是
的子环. 证明 (1) 因为对任意
(2) 对
,
,
,
所以
,
,
. 从而由定理2知,
为
的子环.
, 所以
. 故
.
37、设R 是主理想环，a ∈R ，a ≠0且(a)是R 的最大理想，求证：a 是R 的素元。
证明：由于(a)是R 的最大理想，故R (a )是域． 任意x 、y ∈R ，若a 整除xy ，则[x][y]=[0]，这里[x]表示x 所在的等价类，故[x] =[0]或[y]=[0]，即a 整除x 或a 整除y ，故a 是R 的素元．
38．
环
的两个理想
与
的和
证明 (1)
设
,
与交
,
都是 的理想.
.
则
且对任意的
,
所以,
(2)
设 以
为 的理想.
,
则 .
又对任意的 . 从而知,
, ,
有 为 的理想.
,
从而
,
且
,
且
.
故
, 所
39
、证明：Z ⎤是主理想环。
⎦
证明 令N
是Z ⎤的任意一个理想，a 是N 中绝对值最小的一个非零元素，下证
⎦
N =(a )。
任取β∈N ，显然
β/α∈Q [i ]={a +bi a , b ∈Q },
令β/α=r +si (r , s ∈Q ). 选取分别最接近r , s 的整数m , n ，即 0≤r -m ≤
1
, 21
0≤s -n ≤. （1）
2
令γ=m +niZ [i ].并由（1）得
β/α-γ=≤
=
θ=
β-αγ=αβ/α-γ
但α是N 中绝对值最小的非零元，故θ=0. 从而
β=αγ∈(α). ，因此N =(α) 。
40、证明：整数环上的多项式环Z [x ]是一个唯一分解环。
证明 Z [x ]的单位显然只有±1。又其不可约元为全体（正、负）素数以及次数大于零的本原不可约（在Z 上）多项式。今在Z [x ]中任取f (x ) ≠0, ±1，显然f (x ) 可唯一表示成 f (x ) =ag (x )
，（1） (a ∈Z , g (x ) 为本原多项式）
其中f (x ) 的最高系数为正整数。
若f (x ) 为本原的，则由高等代数知，f (x ) 可唯一分解成不可约多项式之积；若f (x ) 不是本原的，则由（1），a 可唯一分解成素数之积，而g (x ) 可唯一分解为Z 上不可约多项式之积（最多有符号差异）。从而f (x ) 可唯一分解成Z [x ]内不可约元之积。因此，Z [x ]是唯一分解成整环。
41
、试证在整环D =Z ]={a +|a , b ∈Z }中4不能唯一分解。 证明 为了证明4不是D 的唯一分解元，先证明两个事实。 （1）D 的一个元ε是单位当且仅当ε
2
=1。
设ε=a +是D 的一个单位，那么
εε'=1，ε'ε=1，
而ε
2
22
=a 2+3b 2是一个正整数，ε'亦为正整数，所以ε=1。
2
22
反之，假定ε=a 2+3b 2=1，则有b =0，a =±1，即ε=±1，故ε为单位。
2
（2）适合条件α当2
=4的元α一定是不可约元。
=4时，α≠0，且由（1）知α也不是单位。设β为α
的任一因子，则有
2
2
2
2
α=βγ，γ∈D ，那么βγ=α=4，这只有β=1, 2或4。β=a +，a , b ∈Z ，
但不论a , b 是什么整数，都有β因此只有β
若β若β
22
2
=a 2+3b 2≠2，
=1或4。
=1，则β为单位；
2
=4，γ
2
=1，则γ为单位，因而β=γ-1α，即β为α的相伴元。
故α只有平凡因子，所以α为不可约元。
现在我们看4在D 里的分解式
4=2⨯2=11，
因
(
)()
2=
4，=
4，=4，
由（2）知2
，1+
，1都是D
的不可约元。而且1
，1都不是2的相伴元，因此4有两种不同的分解式。
所以4在D
里的分解不唯一，D =Z ]不是唯一分解环。 42、数域P 上的一元多项式环P [x ]是一个欧氏环。 证明：显然P [x ]是一个有单位元的整环。
（1）令ϕ:f (x ) →f (x ) 的次数，则ϕ是非零多项式集P [x ]*到非负整数集的一个映射。
（2）由高等代数知在P [x ]中任取f (x ) 及g (x ) ≠0，存在q (x ), r (x )∈P [x ]满足
2
22
f (x ) =g (x ) q (x ) +r (x ) ，其中r (x ) =0或r (x ) 的次数=ϕ(r (x ))
因此P [x ]关于ϕ作成一个欧氏环。
43、证明 若K 为欧氏环，则对任意a , b ∈K ，a , b 存在最大公因子d 且有s , t ∈K ，使得
d =sa +tb 。
证明 设a 、b 均为0，则它们的最大公因子为0。
若a 、b 中至少有一个不为0，在欧氏环中，每一个非零元素α都有一个非负整数
ϕ(x )，令d 是集N ={xa +yb x , y ∈K }中对应的非负整数最小元素，因此d 能够写成
d =sa +tb （对某个s , t ∈K ），因此r =a -hd =a -h (sa +tb )=(1-hs )a -htb ∈N 。
因为d 是N 中元素对应的非负整数最小的元素，因此r =0，从而d a 同理d b 。如果
c |a ，c |b , 则a =kc , b =lc , d =sa +bt =skc +tlc =(sk +tl ) c , 从而c |d ，即d 为
a , b 的最大公因子。
44、若R 环的特征为素数p , 且R 可交换, 则有
(a +b )=a p +b b , ∀a , b ∈R .
p
证明 因R 是交换环, 所以
p -22p -1p -1p
(a +b )p =a p +c 1p a p -1b +c 2a b + +c ab +b p p
显然, 当1≤k ≤p -1时, 我们有(k !, p )=1, 又因
k k
p c k ! c k ! , 进而 ()()=p p -1 p -k +1⇒p k c p , p p
所以 c k p a =0.
于是 (a +b )=a p +b p .
p
45、证明Q [x ]是主理想环。
证明 设A 是Q [x ]的任意理想，若A ={0}，则A =(0)。若A ≠{0}，则在A 中取一个次数最低的多项式f (x ) ，对∀g (x ) ∈A ，有q (x ) ∈Q [x ]，r (x ) ∈Q [x ]使得
g (x ) =f (x ) q (x ) +r (x ) ，其中r (x ) =0或∂(r (x ))
以r (x ) ∈A ，故r (x ) =0。从而 g (x ) =f (x ) q (x ) ， 即A =(f (x )) ，因此Q [x ]是主理想环。