状态转移矩阵性质

Use term-by-term differentiation of the Peano-Baker series to prove that

(t,)(t,)A() 

证明过程如下:

已知莱布尼兹法则为:

g(t)ddg(t)''A(t,)dA(t,)g(t)A(t,)f(t)A(t,)d f(t)dtdtf(t)

状态转移矩阵的Peano-Baker展开式为:

tt1

(t,)IA(1)d1A(1)A(2)d2d1



根据莱布尼兹法则对Peano-Baker展开式的每一项求导可得:

第1项为:

第2项为: dI0 d

d

dtA()d11

tdtddA()A()A(1)d1 ddd

0A()0

A()

第3项为:

11

将A(1)A(2)d2看成整体,令 f(1)A(1)A(2)d2 

d

dt112A()A(



t)d2d1ddf()d1

t1

0f()

tdf(1)d1d



tdf(1)d1d1dA(1)A(2)d2d1

d

dA(1)d

tt1A(2)d2d1

A(1)(A())d1

t

A(1)d1*A()

以此类推,Peano-Baker展开式的每一项在对求导后,都可以提出一项A(),提出此项之后得到如下:

1(t,)(IA(1)d1A(1)A(2)d2d1)*(A()) tt

即证:(t,)(t,)A() 

Use term-by-term differentiation of the Peano-Baker series to prove that

(t,)(t,)A() 

证明过程如下:

已知莱布尼兹法则为:

g(t)ddg(t)''A(t,)dA(t,)g(t)A(t,)f(t)A(t,)d f(t)dtdtf(t)

状态转移矩阵的Peano-Baker展开式为:

tt1

(t,)IA(1)d1A(1)A(2)d2d1



根据莱布尼兹法则对Peano-Baker展开式的每一项求导可得:

第1项为:

第2项为: dI0 d

d

dtA()d11

tdtddA()A()A(1)d1 ddd

0A()0

A()

第3项为:

11

将A(1)A(2)d2看成整体,令 f(1)A(1)A(2)d2 

d

dt112A()A(



t)d2d1ddf()d1

t1

0f()

tdf(1)d1d



tdf(1)d1d1dA(1)A(2)d2d1

d

dA(1)d

tt1A(2)d2d1

A(1)(A())d1

t

A(1)d1*A()

以此类推,Peano-Baker展开式的每一项在对求导后,都可以提出一项A(),提出此项之后得到如下:

1(t,)(IA(1)d1A(1)A(2)d2d1)*(A()) tt

即证:(t,)(t,)A() 


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