谈谈几何平均数在计算平均发展速度中的应用

谈谈几何平均数在计算平均发展速度中的应用

几何平均数(Geometric mean),也称几何均值,它是n个变量值乘积的n次方根,计算公式为:

Gx1x2x3xnx

i1ni (1)

式中:G为几何平均数,连乘符号。

几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数,它主要用于计算比率或速度平均。当所掌握的变量值本身是比率的形式,而且各比率的乘积等于总的比率时,就应采用几何平均法计算平均比率。在实际应用中,几何平均数主要用于计算社会经济现象的年平均发展速度。 当各个变量值出现的次数不同时,计算几何平均数应采用权数的形式。几何平均数权数型的计算公式为:

n

G

f1f2fnxxxf11f22fnn

nfii1xi1nf (2)

式中:f表示各变量值的次数(或权数),fi1i表示次数(或权数)的总和。

平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数,用于描述现象在整个观察期内平均发展变化的程度。计算平均发展速度的方法主要有水平法和累计法,其中水平法是最常用的方法。

计算平均发展速度的水平法,又称几何平均法,它是根据各期的环比发展速度采用几何平均法计算出来的。下面对此方法的计算公式和应用作一剖析。

a1为第1期发展水平,a2 假定时间数列为a0,a1,a2,a3,,an。其中a0为最初水平,

为第2期发展水平,其它依次类推,an为末期发展水平。

报告期发展水平环比发展速前一期发展水 平

aaa1ax22x33xnn

a0,a1,a2,„„,an1。 则有:

上述x1,x2,x3,,xn分别代表各期环比发展速度。 x1 另外,我们知道定基发展速度等于相对应的各期环比发展速度的连乘积,即

ana1a2a3anaa0a1a2an1 (3) 0

将x1,x2,x3,,xn分别代入式(3),得

anx1x2x3xn a 0

a0x1x2x3xnan (4)

在式(4)中,假定各期环比发展速度均相等,且都为x,则式(4)化为:

=a0 n

na(x)an (5) 0则得到

式(5)中的x实际上就是平均发展速度,对式(5)继续简化得:

x ana0 (6)

把式(3)代入式(6),也可得出:

xx1x2x3xn (7)

式(6)和式(7)都是平均发展速度的常用计算公式。

实际上,式(7)就是式(1)即几何平均数的计算公式。上述的演算过程,事实上就是几何平均数的推导过程。

计算平均发展速度的水平法,其计算思路是:设最初水平为a0,以后每期均以x的环比发展速度发展,则到n期后达到的理论水平等于其实际水平(an)。所以,该方法称其谓“水平法”。

按水平法计算的平均发展速度只取决于最初水平和最末水平,而与中间各期的水平无关,所以不能据此来推算中间各期的水平。实际应用中,如果现象发展在一定时期内是持续上涨或下降,且不是大起大落,目的是考核末期的水平,如GDP的变化,人口规模的变化,可用此方法来计算。另外,水平法同样有几何平均数的局限性,不能处理发展水平出现0或负数的情况。

例一、某学院近几年来的招生规模不断扩大,2000年比1999年增长10%,2001年比2000年增长15%,2002年比2001年增长20%,2003年比2002年增长18%,试计算该学院近四年来平均每年的发展速度和平均每年的增长速度。

解:该题告知的是连续四年的环比增长速度,应先化为环比发展速度,然后利用水平法计算平均发展速度,再计算平均增长速度。做类似的题目要用多功能的计算器,否则非常困难。采用“x”或“x”的功能键进行演算。 y1

y

xx1x2x3xn

x%115%120%118%=115.69%

平均增长速度=平均发展速度-100%=115.69%-100%=15.69%

所以,该学院近四年来平均每年的发展速度为115.69%,平均每年的增长速度为15.69%。

例二、某县1980年年初人口数为32万,当时计划到本世纪末(1999年末) 的人口总数控制在45万人之内,实际到1996年5月15日的人口总数就达到45万人。问:

⑴按原计划,1980年初到1996年5月15日的人口年平均增长速度为多少?

⑵按原计划,到1996年5月15日止,该县人口数应该是多少?

⑶实际1980年初到1996年5月15日止的人口年平均增长速度为多少?

⑷按照1980年初到1996年5月15日的实际增长速度增长,到2000年初,该县人口数将达到多少万?

解:⑴要计算平均增长速度,则先要计算平均发展速度。做类似的题目,一定要弄清楚时期数n,否则多算一年或少算一年都达不到预定的结果。该小题尽管问的是1980年初到1996年5月15日,但要计算的还是按原计划,即1980年年初到1999年末的人口发展速度。人口数是时点指标,从1980年年初到1999年末间隔20年,所以n=20。利用式(6)计算如下:

x an45a032=1.0172或101.72%

该期内人口年平均增长速度为:101.72%-100%=1.72%

⑵要计算到1996年5月15日止该县的人口数,当然它的平均发展速度是上小题的101.72%,本小题的关键是测算1980年年初到1996年5月15日止间隔了多少时间,我们这里仍以年为单位,1980年年初到1995年年底跨了16年,再1996年初到同年5月15日止又有4.5/12年,所以n=16+4.5/12=16.375。利用式(5)计算:

a0(x)nan

.72%)到1996年5月15日止的人口数=32(101

an4516.a032=102.10% 16.375= 42.3086(万人) ⑶1980年初到1996年5月15日止跨16.375年,即n=16.375,利用式(6)计算。 x

实际平均增长速度=102.10%-100%=2.10%

⑷按照1980年初到1996年5月15日的实际增长速度,即2.10%,则发展速度为102.10%,可用公式计算:

naa(x)n0

2000年初的人口数=32(1.021)20 =48.49(万人)

例三、某煤矿1995年煤炭产量为25万吨。

⑴规定“九五” 期间(1996年至2000年) 每年平均增长4%,以后每年平均增长5%,问到2003年煤炭产量将达到什么水平?

⑵如果规定2003年煤炭产量是1995年产量的4倍,且“九五”期间每年平均增长速度为5%,问以后需要每年平均增长速度多少才能达到预定的产量水平?

解:⑴本小题分两个阶段,且有不同的平均增长速度。这里也要计算n,1996年至2000年有5年,n1=5;2001年至2003年有3年,n2=3。

ana0(x1)n1(x2)n2

an=25×1.045 ×1.053=35.21(万吨)

⑵设后三年的平均增长速度为x,则

4=(1.05)5×(1+x)3 411.463415x=1.05=46.34% 所以后三年平均增长速度要46.34%才能达到预定的产量水平。

例四、某地区1998年底人口数为2000万人,假定以后每年以9‰的增长率增长;又假定该地区1998年粮食量为120亿斤,要求2003年平均每人粮食达到800斤,试计算2003年粮食产量应达到多少?粮食产量每年平均增长速度如何?

解:先计算该地区2003年人口将达到什么水平

)2091.6(万人) 2003年该地区人口数=a0(x)2000(1.009

该地区要求粮食产量=2091.6×800=167.33(亿斤) n5

an167.3311106.88%16.88%120粮食产量平均增长速度=a0 所以,2003年粮食产量应达到167.33(亿斤),粮食产量每年平均增长速度为6.88%。

(注:该题中假定人均粮食产量以期末人口数计算)

谈谈几何平均数在计算平均发展速度中的应用

几何平均数(Geometric mean),也称几何均值,它是n个变量值乘积的n次方根,计算公式为:

Gx1x2x3xnx

i1ni (1)

式中:G为几何平均数,连乘符号。

几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数,它主要用于计算比率或速度平均。当所掌握的变量值本身是比率的形式,而且各比率的乘积等于总的比率时,就应采用几何平均法计算平均比率。在实际应用中,几何平均数主要用于计算社会经济现象的年平均发展速度。 当各个变量值出现的次数不同时,计算几何平均数应采用权数的形式。几何平均数权数型的计算公式为:

n

G

f1f2fnxxxf11f22fnn

nfii1xi1nf (2)

式中:f表示各变量值的次数(或权数),fi1i表示次数(或权数)的总和。

平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数,用于描述现象在整个观察期内平均发展变化的程度。计算平均发展速度的方法主要有水平法和累计法,其中水平法是最常用的方法。

计算平均发展速度的水平法,又称几何平均法,它是根据各期的环比发展速度采用几何平均法计算出来的。下面对此方法的计算公式和应用作一剖析。

a1为第1期发展水平,a2 假定时间数列为a0,a1,a2,a3,,an。其中a0为最初水平,

为第2期发展水平,其它依次类推,an为末期发展水平。

报告期发展水平环比发展速前一期发展水 平

aaa1ax22x33xnn

a0,a1,a2,„„,an1。 则有:

上述x1,x2,x3,,xn分别代表各期环比发展速度。 x1 另外,我们知道定基发展速度等于相对应的各期环比发展速度的连乘积,即

ana1a2a3anaa0a1a2an1 (3) 0

将x1,x2,x3,,xn分别代入式(3),得

anx1x2x3xn a 0

a0x1x2x3xnan (4)

在式(4)中,假定各期环比发展速度均相等,且都为x,则式(4)化为:

=a0 n

na(x)an (5) 0则得到

式(5)中的x实际上就是平均发展速度,对式(5)继续简化得:

x ana0 (6)

把式(3)代入式(6),也可得出:

xx1x2x3xn (7)

式(6)和式(7)都是平均发展速度的常用计算公式。

实际上,式(7)就是式(1)即几何平均数的计算公式。上述的演算过程,事实上就是几何平均数的推导过程。

计算平均发展速度的水平法,其计算思路是:设最初水平为a0,以后每期均以x的环比发展速度发展,则到n期后达到的理论水平等于其实际水平(an)。所以,该方法称其谓“水平法”。

按水平法计算的平均发展速度只取决于最初水平和最末水平,而与中间各期的水平无关,所以不能据此来推算中间各期的水平。实际应用中,如果现象发展在一定时期内是持续上涨或下降,且不是大起大落,目的是考核末期的水平,如GDP的变化,人口规模的变化,可用此方法来计算。另外,水平法同样有几何平均数的局限性,不能处理发展水平出现0或负数的情况。

例一、某学院近几年来的招生规模不断扩大,2000年比1999年增长10%,2001年比2000年增长15%,2002年比2001年增长20%,2003年比2002年增长18%,试计算该学院近四年来平均每年的发展速度和平均每年的增长速度。

解:该题告知的是连续四年的环比增长速度,应先化为环比发展速度,然后利用水平法计算平均发展速度,再计算平均增长速度。做类似的题目要用多功能的计算器,否则非常困难。采用“x”或“x”的功能键进行演算。 y1

y

xx1x2x3xn

x%115%120%118%=115.69%

平均增长速度=平均发展速度-100%=115.69%-100%=15.69%

所以,该学院近四年来平均每年的发展速度为115.69%,平均每年的增长速度为15.69%。

例二、某县1980年年初人口数为32万,当时计划到本世纪末(1999年末) 的人口总数控制在45万人之内,实际到1996年5月15日的人口总数就达到45万人。问:

⑴按原计划,1980年初到1996年5月15日的人口年平均增长速度为多少?

⑵按原计划,到1996年5月15日止,该县人口数应该是多少?

⑶实际1980年初到1996年5月15日止的人口年平均增长速度为多少?

⑷按照1980年初到1996年5月15日的实际增长速度增长,到2000年初,该县人口数将达到多少万?

解:⑴要计算平均增长速度,则先要计算平均发展速度。做类似的题目,一定要弄清楚时期数n,否则多算一年或少算一年都达不到预定的结果。该小题尽管问的是1980年初到1996年5月15日,但要计算的还是按原计划,即1980年年初到1999年末的人口发展速度。人口数是时点指标,从1980年年初到1999年末间隔20年,所以n=20。利用式(6)计算如下:

x an45a032=1.0172或101.72%

该期内人口年平均增长速度为:101.72%-100%=1.72%

⑵要计算到1996年5月15日止该县的人口数,当然它的平均发展速度是上小题的101.72%,本小题的关键是测算1980年年初到1996年5月15日止间隔了多少时间,我们这里仍以年为单位,1980年年初到1995年年底跨了16年,再1996年初到同年5月15日止又有4.5/12年,所以n=16+4.5/12=16.375。利用式(5)计算:

a0(x)nan

.72%)到1996年5月15日止的人口数=32(101

an4516.a032=102.10% 16.375= 42.3086(万人) ⑶1980年初到1996年5月15日止跨16.375年,即n=16.375,利用式(6)计算。 x

实际平均增长速度=102.10%-100%=2.10%

⑷按照1980年初到1996年5月15日的实际增长速度,即2.10%,则发展速度为102.10%,可用公式计算:

naa(x)n0

2000年初的人口数=32(1.021)20 =48.49(万人)

例三、某煤矿1995年煤炭产量为25万吨。

⑴规定“九五” 期间(1996年至2000年) 每年平均增长4%,以后每年平均增长5%,问到2003年煤炭产量将达到什么水平?

⑵如果规定2003年煤炭产量是1995年产量的4倍,且“九五”期间每年平均增长速度为5%,问以后需要每年平均增长速度多少才能达到预定的产量水平?

解:⑴本小题分两个阶段,且有不同的平均增长速度。这里也要计算n,1996年至2000年有5年,n1=5;2001年至2003年有3年,n2=3。

ana0(x1)n1(x2)n2

an=25×1.045 ×1.053=35.21(万吨)

⑵设后三年的平均增长速度为x,则

4=(1.05)5×(1+x)3 411.463415x=1.05=46.34% 所以后三年平均增长速度要46.34%才能达到预定的产量水平。

例四、某地区1998年底人口数为2000万人,假定以后每年以9‰的增长率增长;又假定该地区1998年粮食量为120亿斤,要求2003年平均每人粮食达到800斤,试计算2003年粮食产量应达到多少?粮食产量每年平均增长速度如何?

解:先计算该地区2003年人口将达到什么水平

)2091.6(万人) 2003年该地区人口数=a0(x)2000(1.009

该地区要求粮食产量=2091.6×800=167.33(亿斤) n5

an167.3311106.88%16.88%120粮食产量平均增长速度=a0 所以,2003年粮食产量应达到167.33(亿斤),粮食产量每年平均增长速度为6.88%。

(注:该题中假定人均粮食产量以期末人口数计算)


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