000排列组合复习题

排列、组合专题复习

题型一、重复排列问题（即“谁选谁”问题）

应用乘法原理解题，关键在于分析理解题意。例如：a选b问题，则a只能选择一

个b,而同一个b却能被不同的a选择（也就是b可以被a重复选）。则以a为主分步考虑每一个a有几种选法，依次将每一个a选择b的方法种数相乘即可。例1：

（1）．5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是（）35

（2）．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动

队，不同报法的种数（）。若每个队只许一位学生参加，有（）种不同结果？

3;4

（3）．火车上有十名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（）种510 （4）．有4种不同溶液倒入5只不同的量杯，如果溶液足够多，每只量杯只能倒入一种溶液，

有（）种不同倒法。45

（5）．3封信进入三个不同的信箱,则进入A信箱中的信件个数X的数学期望是（）1

题型二、染色问题

方法有两种：一是分步计数原理，逐块涂每块区域（一般到第三或第四块区域会因为是否第一块同色而分类。）这是染色问题常用的方法；方法二是分类计数原理，以需要颜色的种数（最多几种颜色，最少几种颜色，划分出分类）进行分类，每一类中又需要分步。例2：

（1）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使用同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供选择，求不同的染色方法总数（）。420

（2）椭圆的长轴和短轴把椭圆分成4块，现在用5种不同的颜色给4块涂色，要求共边两块颜色互异，每块只涂一色，则一共有多少不同的涂色方案（）260

（3）将3种作物种植在如下图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种

植同一作物，不同的种植方法共有（）种

题型三、排列、组合概念及排列数、组合数公式

重点在于正确理解排列组合的概念，二者有区别也有联系。区别在于排列有序，组和

无序；联系在于，组合是排列的第一步。再次理解排列的概念即为：在n个不同元素中先取

mmm

出m个元素，然后按照一定的顺序排成一列（含有两步）故AnCnAm。

其中Ann(n1)(n2)n(m1)

n!(nm)!

。

例3：

（1）解不等式A9x6A6x2 答案3,4,5,6,7,8 （2）求证：Anm1AnmmAnm1

（3）优化设计第5页“经典例题”中的例1 （4）规定Cxm

x(x1)(xm1)

，其中xZ,m是正整数，且Cx01，这是组

合数Cnm（m ,n是正整数，且mn）的一种推广。

① 求C 15

② 组合数的两个性质：CnmCnnm，CnmCnm1Cnm1是否都能推广到Cxm(xR)的情

形，若能则给出证明，不能则说明理由；（略，报纸讲过）

③ 已知组合数Cnm是正整数，证明：当xZ,m是正整数时,CxmZ 当xm,有组合数Cn的定义知Cx当0xm有定义知Cx0当x0则CxCx(1)

Z

x(x1)(xm1)

m!m!

知（xm1）0,即分子每个因数提取一(1)Cxm1Z

个1得

(xm1)(x1)(x)

题型四、排列、组合应用问题

有限制条件的排列、组合应用问题常有以下方法可以求解，或可转化为以下几种模型

进行求解。

1．元素分析法（或位置分析法）

此法关键在于明确是元素选位置则特殊元素优先考虑；位置选元素则特殊位置优先考虑。如果有两个特殊元素或特殊位置有时会进行分类考虑。例4：

（1）从6名运动员中选出4人参加4100米接力赛。

① 若运动员乙、丙起跑不好，不跑第一棒，则有多少种参赛方案？240

② 若运动员甲不愿跑第四棒，乙不愿跑第一棒，则有多少种参赛方案？252 （2）用0、1、2、3、4、5则六个数字可组成（）个无重复数字且能被5整除的五位数216 （3）用0、1、2、3、4、5则六个数字可组成（）个无重复数字的五位偶数312 （4）用0、1、2、3、4、5则六个数字可组成（）个无重复数字且能被3整除的三位数40 （5）有8张卡片分别标有数字1、2、3、4、5、6、7、8，从中取出6张卡片排成3行2列，

421要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）种8

（6）从集合1,2,3,20中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数

列可以有（）个？等比数列可以有（）个？180;?

（7）甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次。甲、

乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说

“你当然不会是最差的”。从回答分析，5人的名次排列可能有（）种不同情况？54

2．相邻问题捆绑法

此类问题关键在于相邻则捆绑，捆绑后看成一个元素于剩余元素一起排列，但排列完之后一定要松绑（即捆在一起的元素内部也要排列）

例5：用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4

相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，则这样的八位数有（）个516

3．不相邻问题插空法

根据题目的特点，首先排完某些元素，再用不相邻的元素进行插空，这样处理有关排列组合问题，往往能收到很好的效果例6：

（1）马路上有9盏路灯，为了节约用电，可以关掉其中的三盏灯，要求关掉的路灯不能相

邻，且不在马路的两头，那么不同的关灯方案共有（）种？C510

（2）有9个座位排成一排，若3人坐在座位上，每人左右都有空座位，则不同的坐法有（）

种？A560

（3）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站在两端，3位女生中有且只有

两位女生相邻，则不同排法有（）种？24 （4）集合1,2,,20的四元子集中，任何两个元素的差的绝对值都不为1，这样的四元子

集的个数为（）个？C172380

4．间接法（排除法）

间接法是求解排列组合问题的常用方法。带有限制条件的排列组合问题，用直接法考虑对象较为复杂（正面情况较多），可用逆向思维，使用间接法求解。即先不考虑约束条件，求出所有排列组合总数，然后减去不符合条件的排列|、组合种数。例7：

（1）6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有（）种不同的

去法？2163

（2）以一个正方体的顶点为顶点的四面体有（）个？C86658

（3）以一个正方体的顶点为端点可连成（）对异面直线？3(C866)174

（4）四面体的顶点和各棱的中点共10点，在其中取出4个不共面的点有（）中不同取法？

C10(4C636)141

112

（5）n棱柱有（）条对角线，有（）对角面？CnCn(n2n)n3n;

Cnn

n(n3)

5．有固定顺序问题留后法

在有固定顺序的n个不同元素的排列中插入m个不同元素，则这n+m个元素的不同排列数为Anmm。因为这n+m个元素的排列需要占n+m个位置，先在这n+m个不同位置中选出m个位置把m个元素排进去，剩下n个元素有固定顺序，按原有顺序将这n个元素放入余下的n个位置即可。例8：

（1）某班新年联欢会原定的5个节目已经排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果

将这两个新节目插入原节目单中，那么不同的插法有（）种？A7242

（2）7名高二学生和5名高一学生排成一排，要求高一学生从左到右的高矮顺序不变，不

同的排法（）种？A12

6．隔板法

将n个相同元素放置m个不同位置一般采用隔板法，有两个模型：一是位置不可空有

Cn1种不同放法（将n个相同元素分成m堆，每堆至少一个元素，则需要m-1个板子。这

m1

n个元素之间产生n-1个空当，在这n-1个空当中选m-1个空当把板子插进去即可）；二是位置不可空有Cnm1种不同放法（将n个相同元素分成m堆，需要m-1个板子，位置可空相当于n个元素和m-1个板子在排队。它们一共需要占n+m-1个位置，则在这不同的n+m-1个位置中选m-1个位置把m-1个板子放进去，剩下n个位置放入n个元素即可）。以下重点介绍几个可转化为隔板法模型的题型。例9：

（1）高二年级要从3个班级抽取10人参加数学竞赛，每班至少1人，一共有（）种不

同的安排方法？C9

（2）某地有9所学校，现有先进教师名额11个，要求每所学校至少有一个名额，共有（）

种不同的分配方法？C10

（3）已知方程xyz10，则这个方程的正整数解得个数有（）个？这个方程的

非负整数解的个数有（）个？C9； C12（把10看成10个1，放到x,y,z三个不同位置。）

（4）已知两个实数集Aa1,a2,,a50,Bb1,b2,,b25，若从A到B的映射f使

得B中的每个元素都有原像，且f(a1)f(a2)f(a50)，则这样的映射有

m1

（）个？C49（把ai看成相同元素放入从大到小排列的bi的25个不同位置且位

置不可空）

（5） 12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小

于其编号数，则不同的放法有（）种？10

注意：将不同元素放入不同位置属于排列问题仍然有两个模型一是：位置不可空，做法先分堆后分配

二是：位置可空，做法应用乘法原理，属于“元素在选位置” 例10：

（1）4个不同小球随机放入3个不同的盒子，有（）种不同放法？若每个盒子至少一个

球，有（）种不同放法？34； C42A33

（2）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一

个班，不同的安排方法共有（）种？C52A44

（3）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级上的人不区

322

分位置，则不同的站法共有（）种？737336；或A7C3A7336

以下是排列组合问题中典型的几个题

1．甲、乙、丙、丁4人各写了1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？（分步乘法原理解题33119）

2．一个有十级台阶的楼梯，每步可上一级或两级，共有多少种上楼梯的方法？

C10C9C8C7C6C5?

3．如图将一个矩形分成24个全等的矩形，则从A沿矩形的边走到B的最短走法有多少种？(A、B分别为大矩形的对角线端点)C10

5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷。现从这11人中选出4人排版，4人印刷，有多少种不同的选法？185

5.将标号为1、2、3、4、5、6的6张卡片放入3个不同的信封中。若每个信封放2张，其中标号为1、2的卡片放入同一信封，则不同放法共有（）种？18 （2010高考）

二项式的考察重点放在二项展开式的特殊项的求解以及系数的相关问题。求解思路利用通项及赋值法。以下给几个2010年各省高考题以做练习：

a

1.若x的展开式中x3的系数是84，则a（）a1 （2010高考）

x

3

2. 。 15 展开式中，x的系数等于（）

3.(1xx2)(x4.

在(x

。5 )的展开式中的常数项为（）

)

展开式中，系数为有理数的项共有（）项.6

以下是二项式中几个比较典型的证明问题：

123nn15.求证：Cn2Cn3CnnCnn2

证明一、利用公式kCnknCnk11转化求和

证明二、倒序求和法

注：此题在优化设计16页能力提升第三小题。由此题引申改编为另一题（在报纸第一章水平测试B卷）

012nn

是否存在等差数列an，使a1Cna2Cna3Cnan1Cnn2对任意nN都成

立？若存在，求出数列an；若不存在请说明理由。



6.若nN，求证：

C2n2

n2n

证明一、2(11)

C2nC2nC2nC2nC2n

又2(11)

C2nC2nC2nC2n2C2nC2nC2n

01n2n122n1

1、2、2n) 且C2nC2n(r0、

所以2

2C2nC2nC2n

122n1

2nC2n(当n1时取等)

所以

2n2

C2n

综上知

C2n2

n2n

C

n2n



2n!n!n!



2n(2n1)(2n2)21

n!n!n1



2(2n1)(2n3)31

证明二、

2

2n12(n1)1n

2



3121

对于

2k1k

2(k1,2,3n) 3121

2

2n12(n1)1n

n1



C2nn22n

n2n

C

2n!n!n!2



2n(2n1)(2n2)21

n!n!n2

311



2(2n1)(2n3)31

2n12(n1)1n1

对于

2k1

k1k2n12(n1)13n1

12

n1n21

2

2(k1,2,3n)

C

2

n1



当n=1时

C2n

C

n2n



对nN



C2n2

以上两种解法是类似这类题的主要证明思路，以供参考

有关答案后续，请同学们关注（若题目有明显错误请勿深究，原谅老人家年事已高。）希望同学们能把2010年第20题（概率题）在考试之前做一下，最新的信息往往时出题老师关注的点。下面再附上2008—2009排列组合题。（答案明天揭晓，今天没时间了）

排列、组合专题复习

题型一、重复排列问题（即“谁选谁”问题）

应用乘法原理解题，关键在于分析理解题意。例如：a选b问题，则a只能选择一

个b,而同一个b却能被不同的a选择（也就是b可以被a重复选）。则以a为主分步考虑每一个a有几种选法，依次将每一个a选择b的方法种数相乘即可。例1：

（1）．5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是（）35

（2）．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动

队，不同报法的种数（）。若每个队只许一位学生参加，有（）种不同结果？

3;4

有（）种不同倒法。45

（5）．3封信进入三个不同的信箱,则进入A信箱中的信件个数X的数学期望是（）1

题型二、染色问题

（1）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使用同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供选择，求不同的染色方法总数（）。420

（2）椭圆的长轴和短轴把椭圆分成4块，现在用5种不同的颜色给4块涂色，要求共边两块颜色互异，每块只涂一色，则一共有多少不同的涂色方案（）260

（3）将3种作物种植在如下图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种

植同一作物，不同的种植方法共有（）种

题型三、排列、组合概念及排列数、组合数公式

重点在于正确理解排列组合的概念，二者有区别也有联系。区别在于排列有序，组和

无序；联系在于，组合是排列的第一步。再次理解排列的概念即为：在n个不同元素中先取

mmm

出m个元素，然后按照一定的顺序排成一列（含有两步）故AnCnAm。

其中Ann(n1)(n2)n(m1)

n!(nm)!

。

例3：

（1）解不等式A9x6A6x2 答案3,4,5,6,7,8 （2）求证：Anm1AnmmAnm1

（3）优化设计第5页“经典例题”中的例1 （4）规定Cxm

x(x1)(xm1)

，其中xZ,m是正整数，且Cx01，这是组

合数Cnm（m ,n是正整数，且mn）的一种推广。

① 求C 15

② 组合数的两个性质：CnmCnnm，CnmCnm1Cnm1是否都能推广到Cxm(xR)的情

形，若能则给出证明，不能则说明理由；（略，报纸讲过）

③ 已知组合数Cnm是正整数，证明：当xZ,m是正整数时,CxmZ 当xm,有组合数Cn的定义知Cx当0xm有定义知Cx0当x0则CxCx(1)

Z

x(x1)(xm1)

m!m!

知（xm1）0,即分子每个因数提取一(1)Cxm1Z

个1得

(xm1)(x1)(x)

题型四、排列、组合应用问题

有限制条件的排列、组合应用问题常有以下方法可以求解，或可转化为以下几种模型

进行求解。

1．元素分析法（或位置分析法）

此法关键在于明确是元素选位置则特殊元素优先考虑；位置选元素则特殊位置优先考虑。如果有两个特殊元素或特殊位置有时会进行分类考虑。例4：

（1）从6名运动员中选出4人参加4100米接力赛。

① 若运动员乙、丙起跑不好，不跑第一棒，则有多少种参赛方案？240

421要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）种8

（6）从集合1,2,3,20中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数

列可以有（）个？等比数列可以有（）个？180;?

（7）甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次。甲、

乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说

“你当然不会是最差的”。从回答分析，5人的名次排列可能有（）种不同情况？54

2．相邻问题捆绑法

此类问题关键在于相邻则捆绑，捆绑后看成一个元素于剩余元素一起排列，但排列完之后一定要松绑（即捆在一起的元素内部也要排列）

例5：用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4

相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，则这样的八位数有（）个516

3．不相邻问题插空法

根据题目的特点，首先排完某些元素，再用不相邻的元素进行插空，这样处理有关排列组合问题，往往能收到很好的效果例6：

（1）马路上有9盏路灯，为了节约用电，可以关掉其中的三盏灯，要求关掉的路灯不能相

邻，且不在马路的两头，那么不同的关灯方案共有（）种？C510

（2）有9个座位排成一排，若3人坐在座位上，每人左右都有空座位，则不同的坐法有（）

种？A560

（3）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站在两端，3位女生中有且只有

两位女生相邻，则不同排法有（）种？24 （4）集合1,2,,20的四元子集中，任何两个元素的差的绝对值都不为1，这样的四元子

集的个数为（）个？C172380

4．间接法（排除法）

（1）6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有（）种不同的

去法？2163

（2）以一个正方体的顶点为顶点的四面体有（）个？C86658

（3）以一个正方体的顶点为端点可连成（）对异面直线？3(C866)174

（4）四面体的顶点和各棱的中点共10点，在其中取出4个不共面的点有（）中不同取法？

C10(4C636)141

112

（5）n棱柱有（）条对角线，有（）对角面？CnCn(n2n)n3n;

Cnn

n(n3)

5．有固定顺序问题留后法

（1）某班新年联欢会原定的5个节目已经排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果

将这两个新节目插入原节目单中，那么不同的插法有（）种？A7242

（2）7名高二学生和5名高一学生排成一排，要求高一学生从左到右的高矮顺序不变，不

同的排法（）种？A12

6．隔板法

将n个相同元素放置m个不同位置一般采用隔板法，有两个模型：一是位置不可空有

Cn1种不同放法（将n个相同元素分成m堆，每堆至少一个元素，则需要m-1个板子。这

m1

（1）高二年级要从3个班级抽取10人参加数学竞赛，每班至少1人，一共有（）种不

同的安排方法？C9

（2）某地有9所学校，现有先进教师名额11个，要求每所学校至少有一个名额，共有（）

种不同的分配方法？C10

（3）已知方程xyz10，则这个方程的正整数解得个数有（）个？这个方程的

非负整数解的个数有（）个？C9； C12（把10看成10个1，放到x,y,z三个不同位置。）

（4）已知两个实数集Aa1,a2,,a50,Bb1,b2,,b25，若从A到B的映射f使

得B中的每个元素都有原像，且f(a1)f(a2)f(a50)，则这样的映射有

m1

（）个？C49（把ai看成相同元素放入从大到小排列的bi的25个不同位置且位

置不可空）

（5） 12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小

于其编号数，则不同的放法有（）种？10

注意：将不同元素放入不同位置属于排列问题仍然有两个模型一是：位置不可空，做法先分堆后分配

二是：位置可空，做法应用乘法原理，属于“元素在选位置” 例10：

（1）4个不同小球随机放入3个不同的盒子，有（）种不同放法？若每个盒子至少一个

球，有（）种不同放法？34； C42A33

（2）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一

个班，不同的安排方法共有（）种？C52A44

（3）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级上的人不区

322

分位置，则不同的站法共有（）种？737336；或A7C3A7336

以下是排列组合问题中典型的几个题

1．甲、乙、丙、丁4人各写了1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？（分步乘法原理解题33119）

2．一个有十级台阶的楼梯，每步可上一级或两级，共有多少种上楼梯的方法？

C10C9C8C7C6C5?

3．如图将一个矩形分成24个全等的矩形，则从A沿矩形的边走到B的最短走法有多少种？(A、B分别为大矩形的对角线端点)C10

5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷。现从这11人中选出4人排版，4人印刷，有多少种不同的选法？185

二项式的考察重点放在二项展开式的特殊项的求解以及系数的相关问题。求解思路利用通项及赋值法。以下给几个2010年各省高考题以做练习：

a

1.若x的展开式中x3的系数是84，则a（）a1 （2010高考）

x

3

2. 。 15 展开式中，x的系数等于（）

3.(1xx2)(x4.

在(x

。5 )的展开式中的常数项为（）

)

展开式中，系数为有理数的项共有（）项.6

以下是二项式中几个比较典型的证明问题：

123nn15.求证：Cn2Cn3CnnCnn2

证明一、利用公式kCnknCnk11转化求和

证明二、倒序求和法

注：此题在优化设计16页能力提升第三小题。由此题引申改编为另一题（在报纸第一章水平测试B卷）

012nn

是否存在等差数列an，使a1Cna2Cna3Cnan1Cnn2对任意nN都成

立？若存在，求出数列an；若不存在请说明理由。



6.若nN，求证：

C2n2

n2n

证明一、2(11)

C2nC2nC2nC2nC2n

又2(11)

C2nC2nC2nC2n2C2nC2nC2n

01n2n122n1

1、2、2n) 且C2nC2n(r0、

所以2

2C2nC2nC2n

122n1

2nC2n(当n1时取等)

所以

2n2

C2n

综上知

C2n2

n2n

C

n2n



2n!n!n!



2n(2n1)(2n2)21

n!n!n1



2(2n1)(2n3)31

证明二、

2

2n12(n1)1n

2



3121

对于

2k1k

2(k1,2,3n) 3121

2

2n12(n1)1n

n1



C2nn22n

n2n

C

2n!n!n!2



2n(2n1)(2n2)21

n!n!n2

311



2(2n1)(2n3)31

2n12(n1)1n1

对于

2k1

k1k2n12(n1)13n1

12

n1n21

2

2(k1,2,3n)

C

2

n1



当n=1时

C2n

C

n2n



对nN



C2n2

以上两种解法是类似这类题的主要证明思路，以供参考

000排列组合复习题

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