三年级奥数--第四讲 消去法解题

第四讲 消去法解题

2007-07-31 14:02:22| 分类: 字号 订阅

有这样一个问题,小朋友你能不能很快回答出来?

张老师给李明5元钱,让他去买10支铅笔,5本练习本。李明听错了,买回来4支铅笔,5本练习本,并找给老师2.4元。求铅笔和练习本的单价。 在这一类的问题中,常常会同时出现两个或两个以上的未知的数量,并给出不同情形下数量间的关系。解决这一类问题,通常采用“消去法”——即通过分析比较,去同求异,设法消去一个未知数量,从而将问题简化。

【例题解析】

例1 小华买了3把小刀和4块擦皮,共用去1元。小芳买了同样的6把小刀和4块擦皮,共用去1.6元。小刀和擦皮单价分别是多少元?

分析 题目给出了两种不同的买法,列举如下:

3把小刀+4块擦皮=1元

6把小刀+4块擦皮=1.6元

对比发现:两种买法中,擦皮的块数是一样的,而小刀的个数不一样。多买3把小刀,就要多用去1.6-1=0.6元,所以1把小刀的价钱是:0.6÷3=0.2元,从而可计算出1块擦皮的价钱应是:(1-0.2×3)÷4=0.1元。

解:(1.6-1)÷(6-3)=0.2(元)……小刀单价

(1-0.2×3)÷4=0.4÷4=0.1(元)……擦皮单价

答:每把小刀0.2元,每把擦皮0.1元。

【边学边练】

已知:3A +7B =101,9A +7B =149。那么10A-5B =( )。

例2 食堂第一次运进大米5袋,面粉9袋,共重850千克。第二次运进大米7袋,面粉3袋,共重710千克。大米和面粉每袋各重多少千克?

分析 对比两种情况,大米和面粉的袋数都不相同,该怎样消去其中一个数量呢? 可以先转化条件:既然7袋大米+3袋面粉=710千克,那么再继续运进7袋大米和3袋面粉,又运进710千克。

即:14袋大米+6袋面粉=1420千克;

同理:21袋大米+9袋面粉=2130千克;

对比:5袋大米+9袋面粉=850千克;

可得:1袋大米=(2130-850)÷(21-5)=1280÷16=80千克。

所以:1袋面粉= (710-7×80)÷3=50千克。

解:(710×3-850)÷(3×7-5)

=1280÷16

=80(千克)……每袋大米重

(710-7×80)÷3

=150÷3

=50(千克)……每袋面粉重

【相关链接】

在等式的两边同时乘以或除以同一个数(0除外),等式仍然成立。这是等式的一个重要性质,我们可以根据这个性质来转化题目中所给的条件,设法使题中某一个数量前后两次保持一样,从而达到消去这个数量的目的。这种转化条件的解题方法是解题时常用的一种技巧。“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”,通过转化条件,往往能为我们解决问题提供一个新的途径。

想一想:若使得大米的袋数相同,该如何转化已知条件?

【边学边练】

已知:3A +7B =57,2A +3B =28。那么A +B =( )。

例3 5头牛、6匹马每天吃草139千克,6头牛、5匹马每天吃草125千克。1头牛、1匹马每天各吃草多少千克?

分析 本题当然可以参照例2的解法来解,但如果注意到这道题本身的特点,还可以找出一种更加简便的解法。

若将第一群(5头牛、6匹马)与第二群(6头牛、5匹马)赶到一起来合并,则可以得出:11头牛11匹马的吃草量=139+125=264千克,所以1头牛1匹马的吃草量=264÷11=24千克,进而得到5头牛5匹马的吃草量=24×5=120千克。从而容易得出1头牛的吃草量为:125-120=5千克,1匹马的吃草量为:139-120=19千克。

解:(139+125)÷(5+6)=24(千克)……1牛1马1天吃草量

125-24×5=5(千克)……1牛1天吃草量

24-5=19(千克)……1马1天吃草量

答:1头每天各吃草5千克牛,1匹马每天各吃草19千克。

【相关链接】

数学问题是千变万化的,各有各的特点,所以在解题中应仔细观察题目中的条件,根据题目本身的特点选择最佳解法。

【边学边练】

1、已知:3A +7B =45,5A +9B =67。那么A-B =( )。

2、8千克豆角、9千克西红柿共值16.8元,9千克豆角、8千克西红柿共值17.2元,求豆角和西红柿的单价各是多少?

例4 甲有5盒水果糖,乙有4盒奶糖共值22元,如果甲乙两人对换一盒,则每人手中的糖果价值就相等。一盒水果糖、一盒奶糖分别值多少元?

分析 “对换一盒,价值相等”能告诉我们什么样的信息呢?这句话其实就是说,甲手中有4盒水果糖+1盒奶糖=11元,乙手中有1盒水果糖+3盒奶糖=11元。这样就把原题转化为一般性的问题了。

解: (11×3-11)÷(4×3-1) =2(元)……水果糖单价

11-2×4=3(元) ……奶糖单价

答:一盒水果糖值2元,一盒奶糖值3元。

例5 5头牛、6匹马、2只羊每天吃草143千克;6头牛、5匹马、4只羊每天吃草133千克;3头牛、2匹马、1只羊每天吃草55千克,1头牛、1匹马、1只羊每天吃草各多少千克?

分析与解 首先将题目中的数量关系表示出来(为了说明方便,给每个数量关系式分别编号):

5牛+6马+2羊=143千克 …………①

6牛+5马+4羊=133千克 …………②

3牛+2马+1羊=55千克 ………③

①式×2得:10牛+12马+4羊=286千克 …………④

④式-②式得:4牛+7马=153千克 …………⑤

③式×4得:12牛+8马+4羊=220千克 …………⑥

⑥式-②式得:6牛+3马=87千克 …………⑦

⑤式×3得:12牛+21马=459千克 …………⑧

⑦式×2得:12牛+6马=174千克 …………⑨

⑧式-⑨式得:15马=285千克

1匹马的吃草量:285÷15=19千克;

1头牛的吃草量:(87-19×3)÷6=5千克;

1只羊的吃草量:55-5×3-19×2=2千克。

【相关链接】

对于含有3个及3个以上未知数量的题目,解题时应采取“逐步消元”的思路,如本题中是先消去羊,得出的⑤、⑦两式中,都不含羊,这样就将三个未知数的

问题转化为两个未知数的问题;再消去牛,从而求出马的吃草量,进而求出牛、羊的吃草量。

【边学边练】

5本语文书、2本数学书、1本自然书共值8.01元,2本语文书、1本数学书、3本自然书共值5.36元,4本语文书、3本数学书、2本自然书共值8.58元,求每本书的单价。

【课外拓展】

1、3只热水瓶与8只玻璃杯共值27.6元,5只热水瓶与6只玻璃杯共值35元,一只热水瓶与一只玻璃杯各多少元?

2、孙悟空化斋得到了10盒巧克力,猪八戒化斋得到了7个人参果,一共价值52元。悟空对八戒说:“我拿2盒巧克力换你3个人参果,行不?”八戒说:“那我们的价值就一样了,我才不换呢。不过要是你愿意补给我差价,我就换。”你知道巧克力和人参果的单价分别是多少吗?悟空应补多少差价,八戒才愿意换呢?

3、某天公园里早锻炼的人,有15人不是老年人,有18人不是青年人,有23人不是儿童。这天公园里参加早锻炼的人中,老年人、青年人、儿童各有多少人?

4、有红、黄、蓝三种笔,1支红笔、3支黄笔、2支蓝笔共17元;2支红笔、4支黄笔、3支蓝笔共26元;3支红笔、2支黄笔、1支蓝笔共20元。每种颜色的笔的单价各是多少元?

【走进赛题】

1、甲乙两人加工零件。甲做4小时,乙做6小时,则共加工零件196个;甲做7小时,乙做3小时,则共加工零件208个。甲乙两人每小时各加工多少个零件?(第七届《小学生数学报》数学竞赛初赛题)

2、某文具店将铅笔、彩色笔、圆珠笔用三种方式搭配装在文具盒内出售,文具盒内装4支铅笔售4元;在同一种文具盒内装4支彩色笔和2支圆珠笔售8元;仍在这种文具盒内装4支彩色笔和2支圆珠笔,再加2支铅笔售9元。如果在

这个文具盒内装3支铅笔、2支彩色笔和1支圆珠笔,那么售价应该是多少元?(上海市第六届小学数学竞赛题)

3、有3个箱子,如果两箱两箱地称它们的重量,分别是83千克、85千克和86千克。问其中最轻的箱子重多少千克?(第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛题)

第四讲 消去法解题

2007-07-31 14:02:22| 分类: 字号 订阅

有这样一个问题,小朋友你能不能很快回答出来?

张老师给李明5元钱,让他去买10支铅笔,5本练习本。李明听错了,买回来4支铅笔,5本练习本,并找给老师2.4元。求铅笔和练习本的单价。 在这一类的问题中,常常会同时出现两个或两个以上的未知的数量,并给出不同情形下数量间的关系。解决这一类问题,通常采用“消去法”——即通过分析比较,去同求异,设法消去一个未知数量,从而将问题简化。

【例题解析】

例1 小华买了3把小刀和4块擦皮,共用去1元。小芳买了同样的6把小刀和4块擦皮,共用去1.6元。小刀和擦皮单价分别是多少元?

分析 题目给出了两种不同的买法,列举如下:

3把小刀+4块擦皮=1元

6把小刀+4块擦皮=1.6元

对比发现:两种买法中,擦皮的块数是一样的,而小刀的个数不一样。多买3把小刀,就要多用去1.6-1=0.6元,所以1把小刀的价钱是:0.6÷3=0.2元,从而可计算出1块擦皮的价钱应是:(1-0.2×3)÷4=0.1元。

解:(1.6-1)÷(6-3)=0.2(元)……小刀单价

(1-0.2×3)÷4=0.4÷4=0.1(元)……擦皮单价

答:每把小刀0.2元,每把擦皮0.1元。

【边学边练】

已知:3A +7B =101,9A +7B =149。那么10A-5B =( )。

例2 食堂第一次运进大米5袋,面粉9袋,共重850千克。第二次运进大米7袋,面粉3袋,共重710千克。大米和面粉每袋各重多少千克?

分析 对比两种情况,大米和面粉的袋数都不相同,该怎样消去其中一个数量呢? 可以先转化条件:既然7袋大米+3袋面粉=710千克,那么再继续运进7袋大米和3袋面粉,又运进710千克。

即:14袋大米+6袋面粉=1420千克;

同理:21袋大米+9袋面粉=2130千克;

对比:5袋大米+9袋面粉=850千克;

可得:1袋大米=(2130-850)÷(21-5)=1280÷16=80千克。

所以:1袋面粉= (710-7×80)÷3=50千克。

解:(710×3-850)÷(3×7-5)

=1280÷16

=80(千克)……每袋大米重

(710-7×80)÷3

=150÷3

=50(千克)……每袋面粉重

【相关链接】

在等式的两边同时乘以或除以同一个数(0除外),等式仍然成立。这是等式的一个重要性质,我们可以根据这个性质来转化题目中所给的条件,设法使题中某一个数量前后两次保持一样,从而达到消去这个数量的目的。这种转化条件的解题方法是解题时常用的一种技巧。“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”,通过转化条件,往往能为我们解决问题提供一个新的途径。

想一想:若使得大米的袋数相同,该如何转化已知条件?

【边学边练】

已知:3A +7B =57,2A +3B =28。那么A +B =( )。

例3 5头牛、6匹马每天吃草139千克,6头牛、5匹马每天吃草125千克。1头牛、1匹马每天各吃草多少千克?

分析 本题当然可以参照例2的解法来解,但如果注意到这道题本身的特点,还可以找出一种更加简便的解法。

若将第一群(5头牛、6匹马)与第二群(6头牛、5匹马)赶到一起来合并,则可以得出:11头牛11匹马的吃草量=139+125=264千克,所以1头牛1匹马的吃草量=264÷11=24千克,进而得到5头牛5匹马的吃草量=24×5=120千克。从而容易得出1头牛的吃草量为:125-120=5千克,1匹马的吃草量为:139-120=19千克。

解:(139+125)÷(5+6)=24(千克)……1牛1马1天吃草量

125-24×5=5(千克)……1牛1天吃草量

24-5=19(千克)……1马1天吃草量

答:1头每天各吃草5千克牛,1匹马每天各吃草19千克。

【相关链接】

数学问题是千变万化的,各有各的特点,所以在解题中应仔细观察题目中的条件,根据题目本身的特点选择最佳解法。

【边学边练】

1、已知:3A +7B =45,5A +9B =67。那么A-B =( )。

2、8千克豆角、9千克西红柿共值16.8元,9千克豆角、8千克西红柿共值17.2元,求豆角和西红柿的单价各是多少?

例4 甲有5盒水果糖,乙有4盒奶糖共值22元,如果甲乙两人对换一盒,则每人手中的糖果价值就相等。一盒水果糖、一盒奶糖分别值多少元?

分析 “对换一盒,价值相等”能告诉我们什么样的信息呢?这句话其实就是说,甲手中有4盒水果糖+1盒奶糖=11元,乙手中有1盒水果糖+3盒奶糖=11元。这样就把原题转化为一般性的问题了。

解: (11×3-11)÷(4×3-1) =2(元)……水果糖单价

11-2×4=3(元) ……奶糖单价

答:一盒水果糖值2元,一盒奶糖值3元。

例5 5头牛、6匹马、2只羊每天吃草143千克;6头牛、5匹马、4只羊每天吃草133千克;3头牛、2匹马、1只羊每天吃草55千克,1头牛、1匹马、1只羊每天吃草各多少千克?

分析与解 首先将题目中的数量关系表示出来(为了说明方便,给每个数量关系式分别编号):

5牛+6马+2羊=143千克 …………①

6牛+5马+4羊=133千克 …………②

3牛+2马+1羊=55千克 ………③

①式×2得:10牛+12马+4羊=286千克 …………④

④式-②式得:4牛+7马=153千克 …………⑤

③式×4得:12牛+8马+4羊=220千克 …………⑥

⑥式-②式得:6牛+3马=87千克 …………⑦

⑤式×3得:12牛+21马=459千克 …………⑧

⑦式×2得:12牛+6马=174千克 …………⑨

⑧式-⑨式得:15马=285千克

1匹马的吃草量:285÷15=19千克;

1头牛的吃草量:(87-19×3)÷6=5千克;

1只羊的吃草量:55-5×3-19×2=2千克。

【相关链接】

对于含有3个及3个以上未知数量的题目,解题时应采取“逐步消元”的思路,如本题中是先消去羊,得出的⑤、⑦两式中,都不含羊,这样就将三个未知数的

问题转化为两个未知数的问题;再消去牛,从而求出马的吃草量,进而求出牛、羊的吃草量。

【边学边练】

5本语文书、2本数学书、1本自然书共值8.01元,2本语文书、1本数学书、3本自然书共值5.36元,4本语文书、3本数学书、2本自然书共值8.58元,求每本书的单价。

【课外拓展】

1、3只热水瓶与8只玻璃杯共值27.6元,5只热水瓶与6只玻璃杯共值35元,一只热水瓶与一只玻璃杯各多少元?

2、孙悟空化斋得到了10盒巧克力,猪八戒化斋得到了7个人参果,一共价值52元。悟空对八戒说:“我拿2盒巧克力换你3个人参果,行不?”八戒说:“那我们的价值就一样了,我才不换呢。不过要是你愿意补给我差价,我就换。”你知道巧克力和人参果的单价分别是多少吗?悟空应补多少差价,八戒才愿意换呢?

3、某天公园里早锻炼的人,有15人不是老年人,有18人不是青年人,有23人不是儿童。这天公园里参加早锻炼的人中,老年人、青年人、儿童各有多少人?

4、有红、黄、蓝三种笔,1支红笔、3支黄笔、2支蓝笔共17元;2支红笔、4支黄笔、3支蓝笔共26元;3支红笔、2支黄笔、1支蓝笔共20元。每种颜色的笔的单价各是多少元?

【走进赛题】

1、甲乙两人加工零件。甲做4小时,乙做6小时,则共加工零件196个;甲做7小时,乙做3小时,则共加工零件208个。甲乙两人每小时各加工多少个零件?(第七届《小学生数学报》数学竞赛初赛题)

2、某文具店将铅笔、彩色笔、圆珠笔用三种方式搭配装在文具盒内出售,文具盒内装4支铅笔售4元;在同一种文具盒内装4支彩色笔和2支圆珠笔售8元;仍在这种文具盒内装4支彩色笔和2支圆珠笔,再加2支铅笔售9元。如果在

这个文具盒内装3支铅笔、2支彩色笔和1支圆珠笔,那么售价应该是多少元?(上海市第六届小学数学竞赛题)

3、有3个箱子,如果两箱两箱地称它们的重量,分别是83千克、85千克和86千克。问其中最轻的箱子重多少千克?(第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛题)


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