追击和相遇问题

追击和相遇问题

1. 相遇和追击问题的实质

研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 2. 解相遇和追击问题的关键

画出物体运动的情景图，理清三大关系 （1）时间关系 ：tAtBt0

（2）位移关系：xAxBx0

（3）速度关系：

两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 3. 相遇和追击问题剖析： (一)追及问题

1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。

甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离 。若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离 。若开始甲的速度小于乙的速度过一段时间后两者速度相等，则两者之间的距离 （填最大或最小）。 2、追及问题的特征及处理方法：

“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：

⑴ 初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上，追

上前有最大距离的条件：两物体速度 ，即v甲v乙。

⑵ 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。

①当甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。 ②当甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上，此情况还存在乙再次追上甲。 ③当甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。

解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。

⑶ 匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟⑵类似。 3、分析追及问题的注意点：

⑴ 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。

⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 ⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意vt图象的应用。 (二)、相遇

⑴ 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。

⑵ 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。 4.相遇和追击问题的常用解题方法

画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。 （1）基本公式法——根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解。 （2）图像法——正确画出物体运动的v--t图像，根据图像的斜率、截距、面积的物理意义

结合三大关系求解。

（3）相对运动法——巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式求

解。

（4）数学方法——根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解

典型例题分析：

例1. A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？ 解1：（公式法）

两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。 由A、B 速度关系： v1atv2 由A、B位移关系： v1t

（包含了时间关系）

12

atv2tx0 2

(v1v2)2(2010)2am/s20.5m/s2

2x02100

a0.5m/s2

解2：（图像法）

在同一个v-t图中画出A车和B车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100 .

1

(2010)t0100 2

t020s

atan

2010

0.5 20

a0.5m/s2

解3：（相对运动法） 以B车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0。

2

vt2v02ax0

物体的v-t图像的斜率表示

加速度,面积表示位移。

2

vt2v00102am/s20.5m/s2

2x02100

（由于不涉及时间，所以选用速

度位移公式。 ）

a0.5m/s2

备注：以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号。 解4：（二次函数极值法）

若两车不相撞，其位移关系应为

1

v1tat2v2tx0

2

12

代入数据得：at10t1000

2

其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有

1

4a100(10)2

0 a0.5m/s2

4a2

把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。

2

例2.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 解1：（公式法）

当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则

v汽

v自6

atv自 ts2s

a3

11

xmx自x汽v自tat262m322m6m

22

解2：（图像法）

在同一个v-t图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。 v-t图像的斜率表示物体的加速度

6

tan3 t02s t0

当t=2s时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积

1

xm26m6m

2

动态分析随着时间的推移,矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律 解3：（相对运动法） 选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对自行车沿反方向做匀减

2

速运动v0=-6m/s，a=3m/s，两车相距最远时vt=0

对汽车由公式 vtv0at （由于不涉及位移，所以选用速度公式。 ）

t

vtv00(6)

s2s a3

2

对汽车由公式 ：vt2v0，所以选用速度位移公式。 ） 2as （由于不涉及“时间”2

vt2v00(6)2

xm6m

2a23

表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位移为向后6m.

解4：（二次函数极值法）

设经过时间t汽车和自行车之间的距离Δx，则

xv自t

当t

62()

2

123at6tt2 22

2s时，xm

623

4()

2

6m

思考：汽车经过多少时间能追上摩托车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？

31

x6tt20 T4s v汽aT12m/s x汽aT2＝24m

22

【针对训练】

1、一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以8m/s的速度匀速行驶的货车有违章

2

行为时，决定前去追赶，经2.5s，警车发动起来，以加速度2m/s做匀加速运动。 试问：（1）警车要多长时间才能追上货车？

（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多少？

2、汽车正以v1=12 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，突然发现正前方相距x处有一辆

2

自行车以v2 = 4 m/s的速度同方向匀速行驶，汽车立即以加速度大小a = 2 m/s做匀减速直线运动，结果汽车恰好未追上自行车，求x的大小．

3、小球1从高H处自由落下,同时球2从其正下方以速度v0竖直上抛,两球可在空中相遇.试就下列两种情况速度v0的取值范围. ⑴ 在小球2上升过程两球在空中相遇; ⑵ 小球2下降过程两球在空中相遇.

4、在地面上以2v0竖直上抛一物体后,又以初速度v0在同一地点竖直上抛另一物体,若要使两物体在空中相遇,则两物体抛出的时间间隔必须满足什么条件?(不计空气阻力)

5、甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 mis的速度跑完全程：乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记，在某次练习中，甲在接力区前S0-13.5 m处作了标记，并以V-9 m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒，已知接力区的长度为L=20m. 求：(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a.

(2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离.

6、在平直公路上,一辆摩托车从静止出发,追赶在正前方100m处正以v0=10m/s的速度匀速前进的卡车.若摩托车的最大速度为vm=20m/s,现要求摩托车在120s内追上卡车,求摩托车的加速度应满足什么

7、为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离.已知某高速公路的最高限速v=120 km/h.假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时间）t=0.50 s，刹车时汽车受到阻力的大小f为汽车重的0.4

2

倍，该高速公路上汽车间的距离S至少应为多少？（取重力加速度g=10 m/s）

8、 A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当 B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，

2

且正以2 m/s的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12 s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？

9、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度v1向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路。汽车司机发现游客途经D处时，经过0.7s作出反应紧急刹车，但仍将正步行至B处的游客撞伤，该汽车最终在C处停下，如图所示。为了判断汽车司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速度是否过快，警方派一警车以法定最高速度vm＝14.0m/s行驶在同一马路的同一地段，在肇事汽车的起始制动点A紧急刹车，经14.0ｍ后停下来。在事故现场测得AB＝17.5ｍ，BC＝14.0ｍ，BD＝2.6ｍ．肇事汽车的刹车性能良好，问： （1）该肇事汽车的初速度 vA是多大? （2）游客横过马路的速度是多大?

追击和相遇问题

1. 相遇和追击问题的实质

研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 2. 解相遇和追击问题的关键

画出物体运动的情景图，理清三大关系 （1）时间关系 ：tAtBt0

（2）位移关系：xAxBx0

（3）速度关系：

两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 3. 相遇和追击问题剖析： (一)追及问题

1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。

甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离 。若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离 。若开始甲的速度小于乙的速度过一段时间后两者速度相等，则两者之间的距离 （填最大或最小）。 2、追及问题的特征及处理方法：

“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：

⑴ 初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上，追

上前有最大距离的条件：两物体速度 ，即v甲v乙。

⑵ 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。

①当甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。 ②当甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上，此情况还存在乙再次追上甲。 ③当甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。

解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。

⑶ 匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟⑵类似。 3、分析追及问题的注意点：

⑴ 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。

⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 ⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意vt图象的应用。 (二)、相遇

⑴ 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。

⑵ 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。 4.相遇和追击问题的常用解题方法

画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。 （1）基本公式法——根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解。 （2）图像法——正确画出物体运动的v--t图像，根据图像的斜率、截距、面积的物理意义

结合三大关系求解。

（3）相对运动法——巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式求

解。

（4）数学方法——根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解

典型例题分析：

例1. A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？ 解1：（公式法）

两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。 由A、B 速度关系： v1atv2 由A、B位移关系： v1t

（包含了时间关系）

12

atv2tx0 2

(v1v2)2(2010)2am/s20.5m/s2

2x02100

a0.5m/s2

解2：（图像法）

在同一个v-t图中画出A车和B车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100 .

1

(2010)t0100 2

t020s

atan

2010

0.5 20

a0.5m/s2

解3：（相对运动法） 以B车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0。

2

vt2v02ax0

物体的v-t图像的斜率表示

加速度,面积表示位移。

2

vt2v00102am/s20.5m/s2

2x02100

（由于不涉及时间，所以选用速

度位移公式。 ）

a0.5m/s2

备注：以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号。 解4：（二次函数极值法）

若两车不相撞，其位移关系应为

1

v1tat2v2tx0

2

12

代入数据得：at10t1000

2

其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有

1

4a100(10)2

0 a0.5m/s2

4a2

把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。

2

例2.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 解1：（公式法）

当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则

v汽

v自6

atv自 ts2s

a3

11

xmx自x汽v自tat262m322m6m

22

解2：（图像法）

在同一个v-t图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。 v-t图像的斜率表示物体的加速度

6

tan3 t02s t0

当t=2s时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积

1

xm26m6m

2

动态分析随着时间的推移,矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律 解3：（相对运动法） 选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对自行车沿反方向做匀减

2

速运动v0=-6m/s，a=3m/s，两车相距最远时vt=0

对汽车由公式 vtv0at （由于不涉及位移，所以选用速度公式。 ）

t

vtv00(6)

s2s a3

2

对汽车由公式 ：vt2v0，所以选用速度位移公式。 ） 2as （由于不涉及“时间”2

vt2v00(6)2

xm6m

2a23

表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位移为向后6m.

解4：（二次函数极值法）

设经过时间t汽车和自行车之间的距离Δx，则

xv自t

当t

62()

2

123at6tt2 22

2s时，xm

623

4()

2

6m

思考：汽车经过多少时间能追上摩托车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？

31

x6tt20 T4s v汽aT12m/s x汽aT2＝24m

22

【针对训练】

1、一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以8m/s的速度匀速行驶的货车有违章

2

行为时，决定前去追赶，经2.5s，警车发动起来，以加速度2m/s做匀加速运动。 试问：（1）警车要多长时间才能追上货车？

（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多少？

2、汽车正以v1=12 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，突然发现正前方相距x处有一辆

2

自行车以v2 = 4 m/s的速度同方向匀速行驶，汽车立即以加速度大小a = 2 m/s做匀减速直线运动，结果汽车恰好未追上自行车，求x的大小．

3、小球1从高H处自由落下,同时球2从其正下方以速度v0竖直上抛,两球可在空中相遇.试就下列两种情况速度v0的取值范围. ⑴ 在小球2上升过程两球在空中相遇; ⑵ 小球2下降过程两球在空中相遇.

4、在地面上以2v0竖直上抛一物体后,又以初速度v0在同一地点竖直上抛另一物体,若要使两物体在空中相遇,则两物体抛出的时间间隔必须满足什么条件?(不计空气阻力)

5、甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 mis的速度跑完全程：乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记，在某次练习中，甲在接力区前S0-13.5 m处作了标记，并以V-9 m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒，已知接力区的长度为L=20m. 求：(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a.

(2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离.

6、在平直公路上,一辆摩托车从静止出发,追赶在正前方100m处正以v0=10m/s的速度匀速前进的卡车.若摩托车的最大速度为vm=20m/s,现要求摩托车在120s内追上卡车,求摩托车的加速度应满足什么

7、为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离.已知某高速公路的最高限速v=120 km/h.假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时间）t=0.50 s，刹车时汽车受到阻力的大小f为汽车重的0.4

2

倍，该高速公路上汽车间的距离S至少应为多少？（取重力加速度g=10 m/s）

8、 A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当 B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，

2

且正以2 m/s的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12 s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？

9、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度v1向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路。汽车司机发现游客途经D处时，经过0.7s作出反应紧急刹车，但仍将正步行至B处的游客撞伤，该汽车最终在C处停下，如图所示。为了判断汽车司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速度是否过快，警方派一警车以法定最高速度vm＝14.0m/s行驶在同一马路的同一地段，在肇事汽车的起始制动点A紧急刹车，经14.0ｍ后停下来。在事故现场测得AB＝17.5ｍ，BC＝14.0ｍ，BD＝2.6ｍ．肇事汽车的刹车性能良好，问： （1）该肇事汽车的初速度 vA是多大? （2）游客横过马路的速度是多大?