随机过程课程设计论文

随机过程课程设计论文

燕山大学 理学院

04级 统计2班

作者：周春辉 [1**********]0

孙志国 [1**********]5

马尔可夫（Markov）链在体育教学评价中应用改进

摘要：针对马尔可夫链在体育教学评价中应用的基本思想，分析了马尔可夫链在评价实践中的不足，提出在前后价值状态一致基础上构建转移矩阵，并通过适当处理，从转移矩阵中提炼出变化信息，为合理、有效地评价体育教学效果提供理论和实践依据。

关键词：马尔可夫链；转移矩阵；教学评价；进步度

The improve Application of the Markov Chain Method

on Teaching Evaluation in Physical Education

Abstract: According to the main thought of the application of the Markov Chain method to teaching evaluation in physical education, this paper analyzes the deficiencies of current application and puts forward a proposal to construct transfer matrix and gets the information from it, of which the result provides the theoretical and practical basis for the evaluation of physical education properly and effectively. Key words: Markov; transfer matrix; teaching Evaluation, progress degree

马尔可夫（Markov）链是一个建立在随机过程的数学模型。由于在体育教学评价领域中，诸多评价对象的形成过程可以看成或近似看成随机过程，加之评价者对了解评价对象将来价值状况的需要，使得马尔可夫链在体育教学评价中得到广泛的应用。

马尔可夫链方法在体育教学评价中应用的优点在于考虑了评价要消除基础差异。如在评价不同教师的教学效果时，往往总是以教师所教学生的最后成绩为依据给出评价。事实上，不同的教师所带班级学生在原始水平上的差异，影响着学生的最后考试成绩。若单纯地根据学生最后成绩对教师的教学效果做出评价，而不考虑学生的基础差异的影响，得出的结论不一定反映实际情况，其结论难以让人信服。对此马尔可夫链分析法考虑了学生的原始状态，在同一标准下把学生的原始成绩分成相同的等级，即确定出状态空间，然后求出一步转移矩阵，最后根据马尔可夫链的平稳性及遍历性求出极限向量，并根据极限向量进行比较判断。

1 马尔可夫链的基本思想

马尔可夫链在体育教学评价中的应用是基于两次测验基础上的，即“前测与后测设计”基础上的，通过仔细地分析学生两次测验在不同成绩等级间的变化，构建转移矩阵。在假定保持教学效果稳定的条件下，得到的马尔可夫链的稳定分布状态可以表明学生最终达到的程度。具体思想如下：

在教学效果指标量化过程中，运用马尔可夫链法将一个班（或年级）的学生原始成绩按高低分别划分为q个等级，然后计算出各等级学生人数占总人数之比并作为状态向量，用A表示：A=

n1

n

n2n



nq n

其中n为学生总人数，ni为第i(i=1,2,q)等级人数。

经过若干阶段教学后，为了考察教学效果，需要分析上述各等级学生在阶段教学后的变化情况。同样

把阶段教学后测得的学生成绩也按照高低划分为q个等级，数出各等级所含学生的频数，从而求出如下一步转移矩阵P：

n11n1n21 P =n2nq1nq

n12n1n22n2nq2nq



n1qn1n2q

n2= (Pij)qq nqqnq

其中ni仍表示最初阶段的第i等级中学生数，nij表示阶段教学后属于第i等级的学生其成 绩归属于第j类的学生数，且满足

p

j1

q

ij

= 1, 0Pij1, (i,j=1,2,q)。

若要研究多步（k>1）转移概率Pk，利用切普曼—柯尔莫哥洛夫(Chamman-Kolmogorov)方程有 Pk= PK1P1 = … = [P1] 当k～∞

K

马尔可夫过程所涉及的各状态的概率分布将稳定不变（这个性质称为遍历性，与其相

对应的概率分布是稳定分布），据此，可求出稳定概率向量，这个稳定不变的概率向量就成为评价标准，然后通过求解方程组得到具体的量化指标值。 2 马尔可夫链在体育教学评价中的应用疑点 2.1 价值状态的一致性

在教学实践中，利用马尔可夫链法对体育教学进行评价，一般是运用前后相继的两个价值状态（如两次考试成绩）之间的联系来刻画转移概率矩阵的，并由此对评价对象达到当前状态的实践进行评价。但是，对前后两次所使用的价值尺度是否一致，前后两次对评价对象评价的情景是否一致，这些均会影响确定的状态矩阵。现以某班前后两次考试为例，假设第一次该班考试的平均成绩为80分，标准差为10分，而且在[100，90]分上有10人，在[90，80]分上有15人，在[80，70]分上有10人，在[70，60]分上有6人，在[60， 0]分上有4人。在第二次考试中，该班的平均成绩为85分，标准差为8分。而且，第一次考试成绩在第二次考试成绩的分布为表1：

表1 两次考试原始成绩关系

100～90

第

一次考试成绩

第二次考试成绩 90～80 80～70 70～60 2 12 5

2 3

3 3 2

60～0 0 2

100～90 90 ～80 80 ～70 70 ～60 60 ～0 8 3

由此建立的转移概率矩阵为

000.80.20



000.20.80

00.50.20.30 

00.50.500

0000.50.5

另一方面，如果将两次考试成绩均转化为Z-标准分，则可将表1改变成为表2：

表2两次考试Z-标准分成绩关系

1.88～0.63

第

一次考试成绩 0.63～-0.63

2 12 5

第二次考试成绩

-0.63-～-1.88 -1.88～-3.22

2 3

3 3 2

-3.22～-10.630

0 2

2 ～1 1 ～0 0 ～-1 -1～-2 -2～-8 8 3

由表2可以看出，前后两次考试分数是不等值的，第一次考试成绩的五个状态与第二次考试成绩的五个状态不具有可比性。因此，所建立的转移概率矩阵的意义值得怀疑。 2.2 价值状态的概率分布

马尔可夫链所描述的过程是在K 趋于无限大，出现或达到各状态的概率分布稳定不变时，方可利用马尔可夫链模型进行评价。在利用得到的概率向量在求解方程组时，已人为确定向量的特征根为1，进而建立评价标准。至于各状态是否达到稳定不变，运用者应该通过求解来验证，而在实践教学应用中，评价者都不考虑这一条件，而是假设其达到稳定状态，事实上，这一条件对构建稳定的概率分布有一定的影响。 3 马尔可夫链在体育教学评价中的改进 3.1 构造转移矩阵

把学生前后两次考试成绩合并成一个样本（x11,x12,,x1m,x21,x22,,x2m),求出其平均数（X）和标准差（S）。由于研究表明学生的学业成绩基本上是呈正态分布或接近正态分布，因此根据正态分布规律，利用X和S可以划分出在一定区间内的q个等级。再由q个等级来计算学生前次考试中各等级的学生人数占总人数之比的状态向量，用A表示：A=

n1

n

n2n



nq n

其中n为学生总人数，ni为第i(i=1,2,q)等级人数。

为了考察教学效果，需要分析上述各等级学生在第二次考试中的各等级变化情况。同样把第二次考试

成绩也按照q个等级的区间标准，数出各等级所含学生的频数，从而求出如下一步转移矩阵P：

n11n1n21 P =n2nq1nq

n12n1n22n2nq2nq



n1qn1n2q

n2= (Pij)qq nqqnq

其中ni仍表示最初阶段的第i等级中学生数，nij表示阶段教学后属于第i等级的学生其成 绩归属于第j类的学生数，且满足

p

j1

q

ij

= 1, 0Pij1, (i,j=1,2,q)。这样既解决了价值状态不一

致的问题，又充分发挥马尔可夫链一步转移矩阵的特征，也就是说即能消除基础差异，又能集中反映其变化效率的优点。 3.2建立模型及分析

为了避免马尔可夫链发生多步转移，以及要求在极限状态下才能求得的稳定概率分布这一苛刻条件。通过考虑在一步转移矩阵后，利用学生“进步度”，即学生是进步还是退步的问题，也就是关心一个班或一个年级学生的成绩是进步大于退步，还是退步大于进步，把握其整体进步情况。现假设把i等生培养成j(i>j) 等生就是进步，把i等生培养成j(i

3

(ij)3nij

ni

, (i,j=1,2,q)。其中Sij称为pij的转移进步度， (i-j)称为pij的

3

权重。i-j值的大小和正负表示进步或退步的程度，指数“3”是用来调节正负和权重大小。 ② S= (Sij)qq=

q

q

(ij)3nij

ni

q

q

qq称为转移矩阵pij的进步矩阵。

3

3

③ E(s)=

s=(ij)

ij

i1j1

i1j1

pij=(ij)

i1j1

qq

nijni

称为转移矩阵pij的效率度。

4 马尔可夫链在体育教学评价中改进前后的比较

以文献[1]中的例子为例，因没有前后两次考试的原始成绩，现假设其考试所使用的价值尺度一致。第一学年末2个班体育综合测试的各等级状态向量（优秀，良好，中等，及格，不及格）： A甲= (

[1**********]1

), A乙= () [***********]46

经过一年教学后2个班学生的体育状态概率转移矩阵：

13

48

5102323

2P甲=1

77

10700

1

842347370

04230371

1247

80

22 P乙=108

00



00

3

[***********]

1

072

022

 00

114810

设等级状态向量（优秀，良好，中等，及格，不及格）分别以（1，2，3，4，5，）来代替，由定义2可得P甲的进步矩阵为

1

0

4

5023

2S甲=8



77

80

7003

120

7

432800

222323

 S乙=3

0001

8

30000

7

001001

827

7733222220580

001

00 0180

由定义3可得E（S甲）-9.64 ，E(S乙) -3.79；

由此说明乙班的教学效果明显比甲班好，且结论与文献[1]一致。只不过从改进后的马尔可夫链方法

上还可以看出2个班的教学效率均不太高，因为从模型直观上看，假如教学效率高，把i等生培养成j(i>j) 等生就多，i-j的值为正，E(s)=

(ij)

i1j1

qq

3

nijni

为正值的可能就大。

5 结论

通过对马尔可夫链的改进，给出一种关于教学效果比较的合理方法，与以前文献使用马尔可夫链在教学效果评价中的应用相比，避免了可能因前后价值状态不一致而构建的可疑转移矩阵，以及使用极限状态向量来解决当前实际问题的弊端。这里所用的马尔可夫链，考虑了转移矩阵构建的意义，并充分利用了马尔可夫链中一步转移矩阵的基本特征，准确地从转移矩阵中提炼出变化信息，无需过多的假设条件，所建立的模型简单、合理和实用，对有效地评价体育教学效果具有重要的意义。 参考文献：

[1] 贺国侠. 马尔可夫链方法在体育专业教学质量评价中的应用[J]. 西安体育学院学报，1999,16（3）：28-30. [2] 黄少罗，等. 马尔可夫链方法在体育教学效果评价中的应用[J]. 河北师范大学学报（自然版），1999 ,23

（1）：134-137.

[3] 楼世博. 模糊数学[M] 北京：科学出版社，1985.

[4] 冯虹，邹华，魏文元. 马尔可夫链在教学质量评价中的应用[J]. 天津师大学报（自然版），1999 ,19（1）：

5-9.

[5] 张远增. 高等教育评价方法研究[M]. 上海：复旦大学出版社，2002. [6] 张尧庭. 多元统计分析[M]. 北京：科学出版社，1982.

[7 ] 李广州. 化学教育统计与测量导论[M]. 南京：南京师范大学出版社，1998.

随机过程课程设计论文

燕山大学 理学院

04级 统计2班

作者：周春辉 [1**********]0

孙志国 [1**********]5

马尔可夫（Markov）链在体育教学评价中应用改进

摘要：针对马尔可夫链在体育教学评价中应用的基本思想，分析了马尔可夫链在评价实践中的不足，提出在前后价值状态一致基础上构建转移矩阵，并通过适当处理，从转移矩阵中提炼出变化信息，为合理、有效地评价体育教学效果提供理论和实践依据。

关键词：马尔可夫链；转移矩阵；教学评价；进步度

The improve Application of the Markov Chain Method

on Teaching Evaluation in Physical Education

Abstract: According to the main thought of the application of the Markov Chain method to teaching evaluation in physical education, this paper analyzes the deficiencies of current application and puts forward a proposal to construct transfer matrix and gets the information from it, of which the result provides the theoretical and practical basis for the evaluation of physical education properly and effectively. Key words: Markov; transfer matrix; teaching Evaluation, progress degree

马尔可夫（Markov）链是一个建立在随机过程的数学模型。由于在体育教学评价领域中，诸多评价对象的形成过程可以看成或近似看成随机过程，加之评价者对了解评价对象将来价值状况的需要，使得马尔可夫链在体育教学评价中得到广泛的应用。

马尔可夫链方法在体育教学评价中应用的优点在于考虑了评价要消除基础差异。如在评价不同教师的教学效果时，往往总是以教师所教学生的最后成绩为依据给出评价。事实上，不同的教师所带班级学生在原始水平上的差异，影响着学生的最后考试成绩。若单纯地根据学生最后成绩对教师的教学效果做出评价，而不考虑学生的基础差异的影响，得出的结论不一定反映实际情况，其结论难以让人信服。对此马尔可夫链分析法考虑了学生的原始状态，在同一标准下把学生的原始成绩分成相同的等级，即确定出状态空间，然后求出一步转移矩阵，最后根据马尔可夫链的平稳性及遍历性求出极限向量，并根据极限向量进行比较判断。

1 马尔可夫链的基本思想

马尔可夫链在体育教学评价中的应用是基于两次测验基础上的，即“前测与后测设计”基础上的，通过仔细地分析学生两次测验在不同成绩等级间的变化，构建转移矩阵。在假定保持教学效果稳定的条件下，得到的马尔可夫链的稳定分布状态可以表明学生最终达到的程度。具体思想如下：

在教学效果指标量化过程中，运用马尔可夫链法将一个班（或年级）的学生原始成绩按高低分别划分为q个等级，然后计算出各等级学生人数占总人数之比并作为状态向量，用A表示：A=

n1

n

n2n



nq n

其中n为学生总人数，ni为第i(i=1,2,q)等级人数。

经过若干阶段教学后，为了考察教学效果，需要分析上述各等级学生在阶段教学后的变化情况。同样

把阶段教学后测得的学生成绩也按照高低划分为q个等级，数出各等级所含学生的频数，从而求出如下一步转移矩阵P：

n11n1n21 P =n2nq1nq

n12n1n22n2nq2nq



n1qn1n2q

n2= (Pij)qq nqqnq

其中ni仍表示最初阶段的第i等级中学生数，nij表示阶段教学后属于第i等级的学生其成 绩归属于第j类的学生数，且满足

p

j1

q

ij

= 1, 0Pij1, (i,j=1,2,q)。

若要研究多步（k>1）转移概率Pk，利用切普曼—柯尔莫哥洛夫(Chamman-Kolmogorov)方程有 Pk= PK1P1 = … = [P1] 当k～∞

K

马尔可夫过程所涉及的各状态的概率分布将稳定不变（这个性质称为遍历性，与其相

对应的概率分布是稳定分布），据此，可求出稳定概率向量，这个稳定不变的概率向量就成为评价标准，然后通过求解方程组得到具体的量化指标值。 2 马尔可夫链在体育教学评价中的应用疑点 2.1 价值状态的一致性

在教学实践中，利用马尔可夫链法对体育教学进行评价，一般是运用前后相继的两个价值状态（如两次考试成绩）之间的联系来刻画转移概率矩阵的，并由此对评价对象达到当前状态的实践进行评价。但是，对前后两次所使用的价值尺度是否一致，前后两次对评价对象评价的情景是否一致，这些均会影响确定的状态矩阵。现以某班前后两次考试为例，假设第一次该班考试的平均成绩为80分，标准差为10分，而且在[100，90]分上有10人，在[90，80]分上有15人，在[80，70]分上有10人，在[70，60]分上有6人，在[60， 0]分上有4人。在第二次考试中，该班的平均成绩为85分，标准差为8分。而且，第一次考试成绩在第二次考试成绩的分布为表1：

表1 两次考试原始成绩关系

100～90

第

一次考试成绩

第二次考试成绩 90～80 80～70 70～60 2 12 5

2 3

3 3 2

60～0 0 2

100～90 90 ～80 80 ～70 70 ～60 60 ～0 8 3

由此建立的转移概率矩阵为

000.80.20



000.20.80

00.50.20.30 

00.50.500

0000.50.5

另一方面，如果将两次考试成绩均转化为Z-标准分，则可将表1改变成为表2：

表2两次考试Z-标准分成绩关系

1.88～0.63

第

一次考试成绩 0.63～-0.63

2 12 5

第二次考试成绩

-0.63-～-1.88 -1.88～-3.22

2 3

3 3 2

-3.22～-10.630

0 2

2 ～1 1 ～0 0 ～-1 -1～-2 -2～-8 8 3

由表2可以看出，前后两次考试分数是不等值的，第一次考试成绩的五个状态与第二次考试成绩的五个状态不具有可比性。因此，所建立的转移概率矩阵的意义值得怀疑。 2.2 价值状态的概率分布

马尔可夫链所描述的过程是在K 趋于无限大，出现或达到各状态的概率分布稳定不变时，方可利用马尔可夫链模型进行评价。在利用得到的概率向量在求解方程组时，已人为确定向量的特征根为1，进而建立评价标准。至于各状态是否达到稳定不变，运用者应该通过求解来验证，而在实践教学应用中，评价者都不考虑这一条件，而是假设其达到稳定状态，事实上，这一条件对构建稳定的概率分布有一定的影响。 3 马尔可夫链在体育教学评价中的改进 3.1 构造转移矩阵

把学生前后两次考试成绩合并成一个样本（x11,x12,,x1m,x21,x22,,x2m),求出其平均数（X）和标准差（S）。由于研究表明学生的学业成绩基本上是呈正态分布或接近正态分布，因此根据正态分布规律，利用X和S可以划分出在一定区间内的q个等级。再由q个等级来计算学生前次考试中各等级的学生人数占总人数之比的状态向量，用A表示：A=

n1

n

n2n



nq n

其中n为学生总人数，ni为第i(i=1,2,q)等级人数。

为了考察教学效果，需要分析上述各等级学生在第二次考试中的各等级变化情况。同样把第二次考试

成绩也按照q个等级的区间标准，数出各等级所含学生的频数，从而求出如下一步转移矩阵P：

n11n1n21 P =n2nq1nq

n12n1n22n2nq2nq



n1qn1n2q

n2= (Pij)qq nqqnq

其中ni仍表示最初阶段的第i等级中学生数，nij表示阶段教学后属于第i等级的学生其成 绩归属于第j类的学生数，且满足

p

j1

q

ij

= 1, 0Pij1, (i,j=1,2,q)。这样既解决了价值状态不一

致的问题，又充分发挥马尔可夫链一步转移矩阵的特征，也就是说即能消除基础差异，又能集中反映其变化效率的优点。 3.2建立模型及分析

为了避免马尔可夫链发生多步转移，以及要求在极限状态下才能求得的稳定概率分布这一苛刻条件。通过考虑在一步转移矩阵后，利用学生“进步度”，即学生是进步还是退步的问题，也就是关心一个班或一个年级学生的成绩是进步大于退步，还是退步大于进步，把握其整体进步情况。现假设把i等生培养成j(i>j) 等生就是进步，把i等生培养成j(i

3

(ij)3nij

ni

, (i,j=1,2,q)。其中Sij称为pij的转移进步度， (i-j)称为pij的

3

权重。i-j值的大小和正负表示进步或退步的程度，指数“3”是用来调节正负和权重大小。 ② S= (Sij)qq=

q

q

(ij)3nij

ni

q

q

qq称为转移矩阵pij的进步矩阵。

3

3

③ E(s)=

s=(ij)

ij

i1j1

i1j1

pij=(ij)

i1j1

qq

nijni

称为转移矩阵pij的效率度。

4 马尔可夫链在体育教学评价中改进前后的比较

以文献[1]中的例子为例，因没有前后两次考试的原始成绩，现假设其考试所使用的价值尺度一致。第一学年末2个班体育综合测试的各等级状态向量（优秀，良好，中等，及格，不及格）： A甲= (

[1**********]1

), A乙= () [***********]46

经过一年教学后2个班学生的体育状态概率转移矩阵：

13

48

5102323

2P甲=1

77

10700

1

842347370

04230371

1247

80

22 P乙=108

00



00

3

[***********]

1

072

022

 00

114810

设等级状态向量（优秀，良好，中等，及格，不及格）分别以（1，2，3，4，5，）来代替，由定义2可得P甲的进步矩阵为

1

0

4

5023

2S甲=8



77

80

7003

120

7

432800

222323

 S乙=3

0001

8

30000

7

001001

827

7733222220580

001

00 0180

由定义3可得E（S甲）-9.64 ，E(S乙) -3.79；

由此说明乙班的教学效果明显比甲班好，且结论与文献[1]一致。只不过从改进后的马尔可夫链方法

上还可以看出2个班的教学效率均不太高，因为从模型直观上看，假如教学效率高，把i等生培养成j(i>j) 等生就多，i-j的值为正，E(s)=

(ij)

i1j1

qq

3

nijni

为正值的可能就大。

5 结论

通过对马尔可夫链的改进，给出一种关于教学效果比较的合理方法，与以前文献使用马尔可夫链在教学效果评价中的应用相比，避免了可能因前后价值状态不一致而构建的可疑转移矩阵，以及使用极限状态向量来解决当前实际问题的弊端。这里所用的马尔可夫链，考虑了转移矩阵构建的意义，并充分利用了马尔可夫链中一步转移矩阵的基本特征，准确地从转移矩阵中提炼出变化信息，无需过多的假设条件，所建立的模型简单、合理和实用，对有效地评价体育教学效果具有重要的意义。 参考文献：

[1] 贺国侠. 马尔可夫链方法在体育专业教学质量评价中的应用[J]. 西安体育学院学报，1999,16（3）：28-30. [2] 黄少罗，等. 马尔可夫链方法在体育教学效果评价中的应用[J]. 河北师范大学学报（自然版），1999 ,23

（1）：134-137.

[3] 楼世博. 模糊数学[M] 北京：科学出版社，1985.

[4] 冯虹，邹华，魏文元. 马尔可夫链在教学质量评价中的应用[J]. 天津师大学报（自然版），1999 ,19（1）：

5-9.

[5] 张远增. 高等教育评价方法研究[M]. 上海：复旦大学出版社，2002. [6] 张尧庭. 多元统计分析[M]. 北京：科学出版社，1982.

[7 ] 李广州. 化学教育统计与测量导论[M]. 南京：南京师范大学出版社，1998.