证明（三）┄┄矩形的性质与判定
【知识要点:】
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。 （1）角：四个角都是直角。 （2）对角线：互相平分且相等。 3．矩形的判定:
（1）有一个角是直角的平行四边形。 （2）对角线相等的平行四边形。 （3）有三个角是直角的四边形。
4. 矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；
矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。 5. 矩形的周长和面积：
矩形的周长=2(a +b ) 矩形的面积=长⨯宽=ab （a , b 为矩形的长与宽） ★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。
（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。
【经典例题:】
例1、如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF，求AE 的长．
读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理使人庄重，逻辑使人善辩。---培根
1
例2、已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。
例3、已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC，∠EDC =15︒．
A D 求证：AD=2AB．
B C
例4、已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．
C A www.czsx.com.cn
例5、如图，已知在四边形ABCD 中，AC ⊥DB 交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形EFGH 是矩形．
例6、 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB平分∠
CBH. A
F
B D
O
H
C
2
【课堂练习题:】
1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线垂直C ．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等。 2．矩形的两边长分别为10cm 和15cm ，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（ ）
A．6cm 和9cm B．5cm 和10cm C．4cm 和11cm D．7cm 和8cm 3. 在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A ．对角线互相平分且相等 B．四个角相等
C ．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分 4在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为 ; 周长为 .
5一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .
6. 若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 . 7. 矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为 ，短边长为 .
8. 矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝，则其对角线为 ㎝，矩形面积为 cm2. 9. 若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是 . 10．矩形的对角线相交所成的钝角为120°，矩形的短边长为5 cm ，则对角线之长为 cm。 11．矩形ABCD 的两对角线AC 与BD 相交于O 点，∠AOB=2∠BOC ，若对角线AC 的长为18 cm，则AD= cm。
【课后练习题:】 1. 矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）。
A ．对角相等 B. 对边相等 C．对角线相等 D. 对角线互相平分 2. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O,AB=5，AC=13，则矩形ABCD 的面积__。
题2
3
题4
读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理使人庄重，逻辑使人善辩。---培根
3．已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24 cm ， 则矩形的面积为 cm2。
4．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=2BC，在CD 上取一点E ，使AE=AB，则∠EBC= 。 5．如图，已知△ABC 中，AB=AC，D 为BC 上一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，BM 为高，
求证：DE+DF=BM。
6. 如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B 、∠D ，使BC 、AD 恰好落在AC 上。设F 、H 分别是B 、D
落在AC 上的两点，E 、G 分别是折痕CE 、AG 与AB 、CD 的交点。 （1）求证：四边形AECG 是平行四边形； （2）若AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，求线段EF 的长。
7、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，求证：四边形ADCE 为矩形。
B E
M F C
A
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4
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【知识要点:】
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。 （1）角：四个角都是直角。 （2）对角线：互相平分且相等。 3．矩形的判定:
（1）有一个角是直角的平行四边形。 （2）对角线相等的平行四边形。 （3）有三个角是直角的四边形。
4. 矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；
矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。 5. 矩形的周长和面积：
矩形的周长=2(a +b ) 矩形的面积=长⨯宽=ab （a , b 为矩形的长与宽） ★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。
（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。
【经典例题:】
例1、如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF，求AE 的长．
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例2、已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。
例3、已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC，∠EDC =15︒．
A D 求证：AD=2AB．
B C
例4、已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．
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例5、如图，已知在四边形ABCD 中，AC ⊥DB 交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形EFGH 是矩形．
例6、 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB平分∠
CBH. A
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B D
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【课堂练习题:】
1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线垂直C ．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等。 2．矩形的两边长分别为10cm 和15cm ，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（ ）
A．6cm 和9cm B．5cm 和10cm C．4cm 和11cm D．7cm 和8cm 3. 在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A ．对角线互相平分且相等 B．四个角相等
C ．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分 4在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为 ; 周长为 .
5一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .
6. 若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 . 7. 矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为 ，短边长为 .
8. 矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝，则其对角线为 ㎝，矩形面积为 cm2. 9. 若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是 . 10．矩形的对角线相交所成的钝角为120°，矩形的短边长为5 cm ，则对角线之长为 cm。 11．矩形ABCD 的两对角线AC 与BD 相交于O 点，∠AOB=2∠BOC ，若对角线AC 的长为18 cm，则AD= cm。
【课后练习题:】 1. 矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）。
A ．对角相等 B. 对边相等 C．对角线相等 D. 对角线互相平分 2. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O,AB=5，AC=13，则矩形ABCD 的面积__。
题2
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题4
读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理使人庄重，逻辑使人善辩。---培根
3．已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24 cm ， 则矩形的面积为 cm2。
4．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=2BC，在CD 上取一点E ，使AE=AB，则∠EBC= 。 5．如图，已知△ABC 中，AB=AC，D 为BC 上一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，BM 为高，
求证：DE+DF=BM。
6. 如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B 、∠D ，使BC 、AD 恰好落在AC 上。设F 、H 分别是B 、D
落在AC 上的两点，E 、G 分别是折痕CE 、AG 与AB 、CD 的交点。 （1）求证：四边形AECG 是平行四边形； （2）若AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，求线段EF 的长。
7、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，求证：四边形ADCE 为矩形。
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