第三章 二次函数
一、知识回顾
1、 二次函数的解析式
（1） 一般式： 顶点式： 双根式： 求二次函数解析式的方法：
2、 二次函数的图像和性质
二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0) 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。
（1）当a >0时，抛物线开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当x =-
函数有最 值为
（2）当a
时，函数有最 值 为 。
二、增减性与最值问题 b 时，2a b 2a
练习:
1. 函数f (x )=2x -mx +3，当x ∈(-∝, -1]时，是减函数，则实数m 的取值范围2
是 。
2. 已知二次函数f (x ) =x -4ax +2a +6(x ∈R ) 的值域为[0, ∞) , 则实数a
3. 函数f(x)=2x-mx+3, 当x ∈[-2,+∞) 是增函数，当x ∈(-∞，-2]是减函数，
4. 函数f (x ) =4x -mx +5在区间[-2, +∞) 上是增函数，则f (1) 的取值范围是
5. 试求关于x 的函数y ＝－x 2＋mx ＋2在0≤x ≤2上的最大值k ．
222
三、恒成立问题
练习
若关于x 的不等式x 2-4x ≥m 对任意 x ∈（0，1]恒成立，则 m 的取值范围为
四、常见的实根分布情况
设为f(x)=0（a>0）的两个实根。
（1）两个根均小于K ，则有
（2）两个根均大于K ，则有
（3）两个根一个比K 大一个比K 小，则有
(4) 当在区间（m,n ）有两个实根时，则有_____________________
(5)当在两个区间中各有一个实根时，则有
三、例题精讲
例已知关于x 的方程mx +(m-3)x+1=0 ①若存在正根，求实数m 的取值范围 ②2个正根m 的取值范围 ③一正一负根m 的取值范围 ④2个负根的m 的取值范围
练习：
1. 已知关于x 的二次方程x +2mx+2m+1=0若方程有两根，
（1）其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的范围。
（2）若方程两根均在（0，1）内，求m 的范围。
2. 若函数f(x)=x+(m-2)x+5的两个相异零点都大于0，则m 的取值范围是
3．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围． 222
第三章 二次函数
一、知识回顾
1、 二次函数的解析式
（1） 一般式： 顶点式： 双根式： 求二次函数解析式的方法：
2、 二次函数的图像和性质
二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0) 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。
（1）当a >0时，抛物线开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当x =-
函数有最 值为
（2）当a
时，函数有最 值 为 。
二、增减性与最值问题 b 时，2a b 2a
练习:
1. 函数f (x )=2x -mx +3，当x ∈(-∝, -1]时，是减函数，则实数m 的取值范围2
是 。
2. 已知二次函数f (x ) =x -4ax +2a +6(x ∈R ) 的值域为[0, ∞) , 则实数a
3. 函数f(x)=2x-mx+3, 当x ∈[-2,+∞) 是增函数，当x ∈(-∞，-2]是减函数，
4. 函数f (x ) =4x -mx +5在区间[-2, +∞) 上是增函数，则f (1) 的取值范围是
5. 试求关于x 的函数y ＝－x 2＋mx ＋2在0≤x ≤2上的最大值k ．
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三、恒成立问题
练习
若关于x 的不等式x 2-4x ≥m 对任意 x ∈（0，1]恒成立，则 m 的取值范围为
四、常见的实根分布情况
设为f(x)=0（a>0）的两个实根。
（1）两个根均小于K ，则有
（2）两个根均大于K ，则有
（3）两个根一个比K 大一个比K 小，则有
(4) 当在区间（m,n ）有两个实根时，则有_____________________
(5)当在两个区间中各有一个实根时，则有
三、例题精讲
例已知关于x 的方程mx +(m-3)x+1=0 ①若存在正根，求实数m 的取值范围 ②2个正根m 的取值范围 ③一正一负根m 的取值范围 ④2个负根的m 的取值范围
练习：
1. 已知关于x 的二次方程x +2mx+2m+1=0若方程有两根，
（1）其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的范围。
（2）若方程两根均在（0，1）内，求m 的范围。
2. 若函数f(x)=x+(m-2)x+5的两个相异零点都大于0，则m 的取值范围是
3．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围． 222