第二章 传热原理
绪论
一、基本概念
1．传热学：传热学是研究热量传递规律的学科。
1) 物体内只要存在温差，就有热量从物体的高温部分传向低温部分； 2) 物体之间存在温差时，热量就会自发的从高温物体传向低温物体。
由于自然界和生产技术中几乎均有温差存在，所以热量传递已成为自然界和生产技术中一种普遍现象。 2．热量传递过程：
根据物体温度与时间的关系，热量传递过程可分为两类：（ 1 ）稳态传热过程；（ 2 ）非稳态传热过程。
1） 稳态传热过程：凡是物体中各点温度不随时间而变的热传递过程均称稳态传热过程。 2） 非稳态传热过程：凡是物体中各点温度随时间的变化而变化的热传递过程均称非稳态传
热过程。
各种热力设备在持续不变的工况下运行时的热传递过程属稳态传热过程；而在启动、停机、工况改变时的传热过程则属 非稳态传热过程。 二、讲授传热学的重要性及必要性
1． 传热学是热工系列课程教学的主要内容之一，是热能动力专业必修的专业基础课。是否
能够熟练掌握课程的内容，直接影响到后续专业课的学习效果。
2． 传热学在生产技术领域中的应用十分广泛。如：热能动力学、环境技术、材料学、微电
子技术、航空航天技术存在着大量的传热学问题，而且起关键性作用。随着大规模集成电路集成温度的不断提高，电子器件的冷却问题越显突出。 3． 传热学的发展和生产技术的进步具有相互依赖和相互促进的作用。
传热学在生产技术发展中已成为一门理论体系初具完善、内容不断充实、充满活力的主要基础科学。高参数大容量发电机组的发展，原子、太阳、地热能的利用，航天技术、微电子技术、生物工程的发展，推动传热学的发展，而传热学的发展又促进生产技术的进步发展。同时，随着生产技术及新兴科学技术的发展，又向传热学提出了新的挑战和新的研究课题。 三、传热学的特点、研究对象及研究方法 1．特点
理论性、应用性强。传热学是热工系列课程内容和课程体系设置的主要内容之一。是一门理论性、应用性极强的专业基础课，在热量传递的理论分析中涉及到很深的数学理论和方法。在生产技术领域应用十分广泛，在生产技术发展中已成为一门理论体系初具，内容不断完善、充实，充满活力的主要基础科学。传热学的发展促进了生产技术的进步，而新兴科学技术的发展向传热学提出了新的课题和新的挑战。 2．研究对象
传热学研究的对象是热量传递规律。 3．研究方法
研究的是由微观粒子热运动所决定的宏观物理现象，而且主要用经验的方法寻求热量传递的规律，认为研究对象是个连续体，即各点的温度、密度、速度是坐标的连续函数，即将
微观粒子的微观物理过程作为宏观现象处理。
第一节 导热
一、教学要求
【掌握内容】
1． 传热的基本条件与基本方式
2． 温度场、等温面、等温线和温度梯度的概念 3． 热流量和传热量的概念
4． 掌握稳定传热与不稳定传热的概念 5． 导热的基本定律的表达式及物理意义 6． 物质导热系数的意义 7． 稳定态平壁的导热量计算
8． 稳定态单层圆筒壁及球壁的导热量计算 【理解内容】
1． 各种传热方式的传热机理 2． 等温面、等温线的性质
3． 各种不同物质导热系数的范围及影响因素 4． 稳定态多层圆筒壁的导热量计算 5． 稳定态单层球壁的导热量计算 【了解内容】
1． 稳定态复合平壁的导热 2． 稳定态多层球壁的导热量计算 3． 稳定态不规则物体的导热量计算 4． 表面温度不均时平均温度的计算
二、教学重点与难点
【教学重点】
1． 温度场、等温面、等温线和温度梯度的概念 2． 热流量、传热量和稳定传热与不稳定传热的概念 3． 导热的基本定律及导热系数 4． 稳定态平壁的导热量计算 5． 稳定态非平壁的导热量计算 【教学难点】
1． 稳定态多层平壁的导热量计算
2． 稳定态非平壁的导热量计算
三、教学方法
从生活或生产上的传热现象引入，讲解基本概念及基本原理，教学中注意分解难点，要讲、练结合，培养学生的分析计算能力。
四、教学内容
一、导热的基本概念及定律 （一）温度场
1．定义：传热过程中，物体内部所有点的温度分布情况。温度场内各点的温度与位置有关，同一点的温度还随时间推移而有所不同。
一般地，物体的温度分布是坐标和时间的函数。 即： t = f (x, y, z, τ) 其中x 、y 、z 为空间坐标，τ为时间坐标。 2．温度场分类
⑴ 稳定温度场：是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式 t = f (x, y, z) 。
⑵ 非稳定温度场：是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式 t = f (x, y, z, τ) 。
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称一维温度场。 （二）等温面与等温线和温度梯度 1．等温面与等温线
定义 等温面：温度场中所有温度相同的点构成的面。
等温线：等温面与其它任意平面的交线。 性质 ⑴ 同一瞬间，不同的等温面、线不可能相交。
⑵ 连续的温度场中，等温面、线连续。
⑶ 同一等温面、线上无温度变化，也就没有热量传递，热量传递只发生在不同的等
温面、线之间。
2．温度梯度
定义 温度场中，两等温面间温度差与其法线方向两等温面间距离比值的极限。
数学表达式
(℃/m)
稳定、单向温度场中：(℃/m)
物理意义：说明沿着等温面的法线方向，单位距离的温度变化。
注意：温度梯度正方向指向温度升高的方向。 （三）热流和传热量
传热量-热量：单位时间内，经面积F 传递的热量，用Q 表示。单位J/s或W 。 热流：单位时间内，单位面积上传递的热量，用q 表示，单位为W/m2。 两者的关系：Q =qF
注意：热流是矢量，它的正方向指向温度降低的方向，与温度梯度的方向相反。 （四）稳定态传热和不稳定态传热
稳定传热：在稳定温度场内的传热，特点是传热量不随时间变化。即：，
不稳定传热：在不稳定温度场内的传热，特点是传热量随时间变化。即：（五）傅里叶定律
，
定义：在导热现象中，单位时间内通过给定截面所传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率，而热量传递的方向与温度升高的方向相反。 一维温度场数学表达式：q ∝-
∂t
（W ／m 2） ∂x
q =-λ
∂t
（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反） ∂x
式中 λ――导热系数，（W ／m 2·℃）
∂t
――在x 方向上的温度梯度，℃／m ∂x
二、导热系数
导热系数是衡量物质导热能力的物理量。
导热系数含义：物体内温度梯度为1℃ / m时，单位时间、单位面积的传热量。 各种物质的导热系数都是用实验方法测得。 （一）气体的导热系数 大小：λ=0.0058～0.58W/m·℃。
气体的导热是由气体分了的热运动和相互碰撞作用而传递能量的。 特点：λ=f (t ) 温度增大导热系数增大
在不太大的压力下，可以认为λ与压力无关。 （二）液体的导热系数 大小：0.093～0.7 W/m·℃。
液体的导热主要是由分子振动产生的一些不规则的弹性波来传递能量的过程。
特点：除了水和甘油以外，其余的液体的导热系数随温度的上升略有减小，受压力影响很小。 （三）固体的导热系数
固体传导热能的形式：晶格的振动和自由电子的迁移。
（1）金属
金属的导热主要依靠自由电子的迁移，因而良好的导电体就是良好的导热体。 大小：2.3～428 w/m·℃，纯银最大，纯铜次之。
特点：温度上升导热系数下降，晶格振动影响自由电子的迁移。
金属内含杂质时，其导热系数降低，λ合金
特点：温度上升导热系数上升，λ与材料结构、空隙率、湿度、密度等因素有关。 （3）耐火材料 大小：0.7～5.8 w/m·℃
特点：温度上升导热系数上升，λ与材料结构、空隙率、湿度、密度等因素有关。 注意：镁质耐火材料例外，因为，晶体的导热系数与绝对温度成反比，无定性体则反之，镁
砖主要由晶体组成。 （4）影响导热系数的因素
①温度 大多数的材料的导热系数的变化和温度呈直线关系：λt =λ0±bt 或
λt =λ0(1±βt )
其中，λ0为0℃的导热系数，b 和β为温度系数。
实际计算时，λ的数值是取物体两端温度的算术平均值来计算，并把它作常数来处理。即：
或
②湿度 由于材料孔隙多，容易吸水，水分的导热系数比空气的约大24倍，而且水分从高温区向低温区迁移也携带热量，所以空隙率和湿度增大导热系数也增大，潮湿的砖导热系数比干燥砖和水都大。
③密度 材料的密度小，内部孔隙多，由于空气的导热系数很小，故密度小的材料的导热系数也小。同种材料，密度增大导热系数也增大。 三、导热微分方程
根据能量守恒定律，如果内部没有热源，则同一时间内，传入物体的热量和传出物体的热量差，等于物体本身热焓的增量，可写出热平衡关系：
热焓的增量＝传出物体的热量－传入物体的热量
在固体内部分割出一个微元平行六面体，选定各边长度为dx 、dy 、dz ，则体积为dv = dxdydz 。 假定物体为各向同性的连续介质。如图3-2所示。
分别研究沿x 轴、y 轴和z 轴向，由于导热而从各面流入六面体的热量。根据傅里叶定律在d τ时间内， 沿x 轴向通过ABCD 面传入的热量为：
dQ x =-λ
∂t
dydzd τ ∂x
同理可得沿y 轴向和z 轴向，分别通过ABFE 和ADHE 面传入的热量：
dQ y =-λ
∂t
dxdzd τ ∂y
∂t
dxdyd τ ∂z
和dQ z =-λ
在同一时间内，沿x 轴向通过EFGH 面传出的热量，可以借助展开泰勒级数而舍去二阶以上的高阶项而求得：
dQ x +dx =dQ x +
∂(dQ x )∂t ∂⎛∂t ⎫
dx =-λdydzd τ+ -λdydzd τ⎪dx ∂x ∂x ∂x ⎝∂x ⎭
因此，在x 轴向，由导热引起的净热量为：
dQ x -dQ x +dx
∂2t ∂2t =λ2dxdydzd τ=λ2dvd τ
∂x ∂x
同理，可得在y 轴向，z 轴向的净热量为：
dQ y -dQ y +dy
∂2t ∂2t
=λ2dvd τ 和 dQ z -dQ z +dz =λ2dvd τ
∂z ∂y
⎛∂2t ∂2t ∂2t ⎫
总净热量为：λ ∂x 2+∂y 2+∂z 2⎪⎪dvd τ。
⎝⎭
另外，在d τ时间内，由于热量流热的结果，微元六面体的温度将发生变化，其体内的热焓的增量为：c p ρ
∂t
dvd τ。 ∂τ
⎛∂2t ∂2t ∂2t ⎫∂t
根据热平衡有：c p ρdvd τ=λ +2+2⎪dvd τ， 2 ⎪∂τ∂y ∂z ⎭⎝∂x ∂t λ⎛∂2t ∂2t ∂2t ⎫2
⎪进一步化简得：=++=a ∇t ， 222⎪ ∂τc p ρ⎝∂x ∂y ∂z ⎭
式中∇为拉普拉斯运算符号，a 为导温系数。上式称为傅立叶导热微分方程，仅适用于固体。拉普拉斯算子具有明确的物理意义：为正时表明物体被加热；为负时表明物体被冷却；等于0表明为稳定温度场。a 是物质的热物性参数，又称热扩散系数，说明物体被加热或冷却时，物体内部各部分温度趋于一致的能力。a 越大，表明同样条件下，物体各部的温差越小。
四、无内热源的稳定态导热 （一）平壁的导热 1．单层平壁的导热
2
设有一厚度δ为的无限大平壁，导热系数为λ，且不随温度变化，平壁的两个表面的温度分别为t 1和t 2（t 1> t2）。是一维稳定的温度场。
d 2t
这类导热问题的数学表达式为：2=0，
dx
积分得：
dt
=C 1，t =C 1x +C 2， dx
积分常数C 1和C 2可根据边界条件：在x =0处，t =t 1 求得 在x =δ处，t =t 2 将其代入积分结果，得：t 1=C 2
t 2=C 1δ+C 2= C1δ+ t1 C 1=
(t 2-t 1)
δ
可得平壁内的温度分布方程：t =条直线。
根据傅里叶定律，q =-λ
(t 2-t 1)
δ
x +t 1 （℃），表明平壁内的温度分布是一
(t -t )λλF ∆t δdt
∆t ==λ21=∆t 或 Q =qF =δλdx δδ
λF
表示单位面积上的热阻，以符号R i 表示，单位为m 2·℃·W -1。
【例】设某窑炉的砖壁厚为0.5m 。内壁面温度为1000℃，外壁面温度为50℃，耐火砖有导热系数λ＝1.16（1＋0.001t ）, 求通过炉壁的热流q 及炉壁内的温度分布？ 【解】（1）计算炉壁的平均温度
t av =
t 1+t 2
=525 (℃) 2
（2）计算导热系数：
℃)] λ=1. 16⨯(1+0. 001t av )=1. 77[W/(m·（3）计算热流：
q =λ
1000-50
=3360 （W/m2）
0. 5
（4）计算温度分布：分别计算距炉内表面距离x =0.1，0.2，0.3，0.4m 处的t x ，根据
t =
(t 2-t 1)
δ
x +t 1可计算得出分别为：810，620，430，240(℃) 。
2．多层平壁的导热
对每层可按单层平壁导热的计算公式写出：q =
t 1-t 2
1λ1
=
t 2-t 3
2λ2
=
t 3-t 4
3λ3
，在稳定状
态下，通过各层的热流都相等，又和比定律得：q =
t 1-t 4
δ1δ23
++λ1λ2λ3
（W/m2），n 层的情况
可依此类推。 （二）圆筒壁的导热 1．单层圆筒壁的导热
导热系数为λ的材料制成内半径为r 1，外半径为r 2的单层圆筒壁，内外表面的温度分别为t 1和t 2。圆筒壁的长度很长，沿长度方向的导热系数的变化忽略不计，温度仅沿半径方向
变化。将直角坐标系转化成柱坐标系，则温度仅沿半径方向变化，因此也是一维温度场，可将傅立叶导热微分方程化简为：
d 2t 1dt
+=0 dr 2r dr
列出边界条件：当r =r 1时，t =t 1
当r =r 2时，t =t 2
求解微分方程，并由边界条件确定积分常数，得出圆筒内部温度分布方程：
t =t 1-
t 1-t 2r t -t d
ln =t 1-12ln r d r 1d 1ln 2ln 2
r 1d 1
从上式可以看出，温度分布按对数曲线变化，因为有：
t -t 1dt
=-12 将其代入傅立叶定律表达式中，则得传热量公式为：
r r dr
ln 2
r 1
⎛⎫ ⎪t -t t 1-t 2dt 12πλl
（W ） (Q =-λF =-2λπrl -12ln ⎪=t 1-t 2)=
⎪r 2r 2d 1dr r
ln 2 ln ⎪ln
r 1r 12πλl d 1⎝⎭
其中分母部分
12πλl
ln
d 2
是单层筒壁的热阻。 d 1
当
r 2
≤2时，可近似得把圆筒壁的问题当作平壁问题来处理，厚度为r 2-r 1，导热面积r 1
r 1+r 2
求出。一般窑炉的拱顶可按平壁来处理，误差小于4％。 2
按平均半径
2．单层圆筒壁的导热
可参照前面多层平壁的导热情况进行处理。 （三）球壁的导热 1．单层空心球壁
设有单层空心球，内外半径各为r 1和r 2，内表面温度为t 1，外表面温度为t 2，球壁的导热系数λ为常数。
根据傅立叶定律，通过球壁的热量为：
分离变量：
积分得：几何平均面积：
球壁厚度
或
单层球壁导热热阻：
【例】有一中空铁球，内径为150mm ，外径为300mm ，球内、外表面温度分别为t 1=248℃及t 2=38℃，已知铁的导热系数为73（W/m• ℃）求球壁向外的导热量以及球壁中心的温度。
【例】球壁厚度s
=
= (0.3—0.15)= 0.075（m ）
球壁中心处的直径d = d 1+s = 0.15+0.075=0.225(m) 球壁向外的导热量
=
球壁中心处的温度为：
=28900(W)
=
2．多层空心球壁
参照前面的方法，可以推导出n 层球壁传热公式：
=108(℃)
（W ）
或
（W ）
【例】蒸汽管道内径、外径各为0.16 m、0.17 m，外包两层绝缘材料，第一层厚度0.03m ，第二层厚度0.05 m，管壁及两层绝缘材料的平均导热系数各等于λ1=81.5 w/m.·℃，λ2=0.174 w/m.·℃，λ3=0.093 w/m.·℃，管道内表面温度为t 1=300℃，第二层绝缘材料外表面温度t 4=50℃，试求每米长蒸汽管道的热损失和各层交界面温度t 2、t 3。
【解】已知：d 1=0.16m，d 2=0.17m，d 3=0.17+0.06=0.23m，d 4
=0.23+0.1=0.33m
，
（w/m）
交界面温度：
（℃）
（℃）
五、有内热源的稳定态导热
此部分内容作为自学内容。
第二节 对流换热
一、教学要求
【掌握内容】
(1)对流换热及其影响因素；
(2)用分析方法求解对流换热问题的实质。 【理解内容】 (1) 对流换热概述； (2)对流换热的数学描写； (3)对流换热的边界层微分方程组； (4) 边界层积分方程组的求解及比拟理论； (5)相似原理及量纲分析； (6)相似原理的应用.
二、教学重点与难点
【教学重点】
(1)对流换热及其影响因素； (2)牛顿冷却公式；
(3)用分析方法求解对流换热问题的实质 (4)边界层概念及其应用； (5)相似原理；
(6)无相变换热的表面传热系数及换热量的计算。 【教学难点】 (1)牛顿冷却公式； (2)边界层概念及其应用； (3)相似原理；
(4)无相变换热的表面传热系数及换热量的计算。
三、教学方法
讲解基本概念及基本定律，分析基本原理，讲、练结合，使学生掌握计算方法。
四、教学内容
一、对流换热的基本概念
对流换热是发生在流体和与之接触的固体壁面之间的热量传递过程 ，（直接接触是与辐射换热的区别）。既包括流体位移时所产生的对流，又包括流体分子间的导热作用，是宏观的热对流与微观的热传导的综合传热过程。对流换热是一种极复杂的过程，影响因素很多，主要有以下几种：
1． 流体发生运动时的动力
流体运动可以分为自由运动和强制运动两种。凡是受外力影响所发生的运动称为强制运动，凡是由于流体各部分冷热各部分的密度不同而引起的运动称为自由运动。流体作强制运动时，也发生自由运动，流体各部分之间的温差越大以及受迫运动的速度越小，自由运动的
相对影响就越大。当强制运动很强烈时，自由运动的影响可以忽略不计。
2．流体流动的状态
流体的流动有两种状态：层流和湍流。它们物理机制的不同决定了它们的传热规律也不同。层流时热量传递主要靠传导。而湍流时热量的传递除传导外，还同时有涡流扰动的对流机构，此时的换热强度主要决定于边界层中的热阻，这比湍流部分的热阻要重要得多。最大的温度梯度发生在边界层当中。
3．流体的物性
影响对流过程的流体物性有：导热系数、比热、密度和粘度等。 4．放热面的形状和位置
放热面的形状和位置对对流换热过程的影响也很大。即使一些形状最简单的放热面，也由于平放或斜放而影响对流换热的程度 二、对流换热的基本定律――牛顿冷却定律
牛顿冷却定律的数学表达：q =αt w -t f 或Q =αt w -t f F 式中t f 为流体的温度，℃ t w 为固体壁面的温度，℃ F 为换热面积，m 2
α为对流换热系数，W/(m2·℃)
公式把影响对流换热过程的所有因素都集中在对流换热系数上，影响对流换热系数的因素很多，因此确定对流换热系数，就成为研究对流换热的中心问题。 三、边界层概述 (一) 速度边界层
粘滞性流体流过壁面时，由于流体的粘滞性与壁面之间存在摩擦力从而产生速度梯度。取沿壁面的方向为x ，垂直壁面的方向为y ，摩擦力的大小为τ=
壁面附近的速度场如图2-12所示。在厚度为δ的一薄层内，流速从壁面上的0增加到离壁面y =δ时的接近主流。这一薄层称为边界层，在边界层外面，可认为速度梯度为0。因此，任何流动着的流体可被划分为两层，在主流层中可以认为是无摩擦的。
流体在边界层内的流动状态，可以是层流的，也可以是湍流的。当边界层厚度较小时，总是属于层流的，当厚度超过一定厚度时，则形成湍流边界层。但即使在湍流边界层里，紧贴壁面的一个薄层还是层流的，成为层流底层。图2-13显示出流体流过平壁时边界层的变化。
()
()
dw x
。 dy
(二) 热边界层
速度边界层的概念可以推广得到热边界层的概念。当温度均匀的流体流过壁面时，如果主流和壁面之间存在温度差，在贴近壁面的很小的薄层内会产生法向的温度梯度，这一薄层被称为热边界层。热边界层以外，法向的温度梯度几乎为0。在热边界层内，导热量和对流换热量属于同一数量级。
速度边界层反映了流体动量传递的渗透过程，热边界层厚度反映流体热量传递的渗透程度。
四、对流换热微分方程组
由于对流换热过程的复杂性，不仅取决于热现象，同时取决于流体的运动现象，一个微分方程难以描述两个现象，所以要用一组微分方程来描写。方程组包括描写流体运动现象的连续性方程和纳维叶----司托克斯方程，以及描写换热过程的换热微分方程和流体导热微分方程。
(一) 换热微分方程
写出微元面积dF 上的换热微分方程形式：
dQ =α(t f -t w )dF =α∆tdF
根据傅里叶定律，写出流体与壁面之间边界层内的导热公式，对微元面积dF 的傅立叶公式为：dQ =-λ
λ⎛∂t ⎫⎛∂t ⎫
⎪dF ，以上两式相等：α=- ⎪。
∆t ⎝∂n ⎭n =0⎝∂n ⎭n =0
∂t
=a ∇2t 。
∂τ
(二) 流体导热微分方程
适用于固体的导热微分方程为：
参照图3-17中流体内部的微元六面体，与固体不同的是，在d τ时间内由于流体的流动，流体的各个质点沿三个轴向分别移动了dx 、dy 、dz 。因此，微元体内的温度全变量是两种现象的结果，根据全微分的概念，可知：
dt =
式中
∂t ∂t ∂t ∂t dt ∂t ∂t dx ∂t dy ∂t dz d τ+dx +dy +dz 或=+++ ∂τ∂x ∂y ∂z d τ∂τ∂x d τ∂y d τ∂z d τ
dx dy dz 、、分别是微元体在x 、y 、z 轴方向上的分速度，因此： d τd τd τdt ∂t ∂t ∂t ∂t =+w x +w y +w z d τ∂τ∂x ∂y ∂z
从而适用于流体的导热方程为：
Dt ∂t ∂t ∂t ∂t
=a ∇2t +w x +w y +w z =a ∇2t 或d τ∂τ∂x ∂y ∂z
描写对流换热过程的完整微分方程组为：
∂w x ∂w y ∂w z
++=div w =0 连续性方程 ∂x ∂y ∂z D w ρ=ρg -gradp +μ∇2w 湍流流动方程 d τ
α=-
⎪ 对流换热方程 ∆t ⎝∂n ⎭n =0
λ⎛∂t ⎫
Dt
=a ∇2t 傅立叶---克希霍夫导热方程 d τ
(三) 单值性条件
单值性条件包括下列几项：
(1) 几何条件：说明参与过程的物体的形状和大小 (2) 物理条件：说明流体的物理特性，如它的各种物理参数
(3) 边界条件：说明流体在边界上过程进行的特点，如进口处流体的速度、温度等 (4) 时间条件：说明在时间上预先已知的特点，稳定对对流换热过程没有时间条件，对
于不稳定过程的时间条件，是它初始的温度分布。
五、对流换热的相似过程 (一) 物理量相似的性质
(1) 用相同形式且具有相同内容的微分方程所描述的现象称为同类现象，同类是相似的
前提。
(2) 彼此相似的现象，同名准数必相等。 (3) 彼此相似的现象，其有关的物理量场必相似。 (二) 相似准数的得出
流体的导热方程：
⎛∂2t ∂2t ∂2t ⎫∂t ∂t ∂t ∂t
+w x +w y +w z =a +2+2⎪2 ⎪∂τ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ⎭⎝∂x
∂t
α∆t =-λ
∂y
在第一个位置，所有变量都用“′”来代替：
⎛∂2t '∂2t '∂2t '⎫∂t '∂t '∂t '∂t '
+w '+w '+w '=a ' x y z ∂x '2+∂y '2+∂z '2⎪⎪ ∂τ'∂x '∂y '∂z '⎝⎭
α'∆t '=-λ'
∂t '
∂y '
同理在第二个位置可以得到：
⎛∂2t ''∂2t ''∂2t ''⎫∂t ''∂t ''∂t ''∂t ''
'''⎪ +w '+w '+w '=a '' ++x y z 222⎪ ''''''''''''''∂τ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ⎭⎝∂x
α''∆t ''=-λ''
∂t ''
∂y ''
由相似原理：
τ''t ''α''x ''y ''z ''
=C α ===C l ，=C τ，=C t ，
τ't 'α'x 'y 'z '
'w ''w ''w 'a ''λ''y x
=C λ ==z =C w ，=C a ，
''a λw 'w 'w 'x y z
很明显可以用第一位置的变量来代替第二位置：
⎛∂t '∂t '∂t '⎫C a C t ⎛∂2t '∂2t '∂2t '⎫
⎪+w '+w '=a ' ++2⎪x y z 222 w '⎪ ⎪∂y '∂z '⎭C l ∂y '∂z '⎭⎝∂x '⎝∂x '
C C ∂t '
C αC t α'∆t '=-λt λ'
C l ∂y 'C t ∂t 'C w C t
+
C τ∂τ'C l
所以必有
C t C a C t C w C t
==2
C τC l C l
C αC t =
C λC t
C l
C t C a C t C l 2由可得==1 2
C τC a C τC l
又因为
τ''a ''l ''
=C τ，=C a , =C l τ'a 'l '
2
⎛l ''⎫ ⎪
l ''2l '2l '⎭⎝==1得出所以有，
a a ''τ''a 'τ'τ'a 'l ''2l '2
==F o ，称为傅立叶准数。 可令''''''a τa τα'l 'α''l ''
==N u ，称为努谢尔特准数。 同理λ'λ''
(三) 四个准数及物理意义 (1) 努谢尔特准数，N u =(2) 雷诺准数，R e =
αl
表征换热强度与边界层中温度分布的关系。 λ
ρwl
流体的流动情况，是惯性力和粘滞阻力的比值。 μ
(3) 普朗特尔准数，P r 表征温度场与速度场的相似程度。
gl 3
(4) 葛拉晓夫准数，G r =2β∆t 表征浮升力与粘性力的相对大小。
v
(四) 定性温度和定性尺寸
定性温度：一般可取边界层中的平均温度，流体和固体壁面温度的算术平均值。
l 的定性尺寸： (1) 管道内流动，l 取内径； (2) 流体横掠管道，l 取外径； (3) 流体顺管道流动，l 取流经长度； (4) 流体顺壁面流动，l 取流经长度。 六、流体自然对流换热 (一) 无限空间的自然对流换热
自然对流产生的原因：不均匀的温度场而造成的不均匀的密度场。流动状态有层流和湍流，判断层流和湍流的依据是G r 和P r 的乘积。
P r ·G r ≤109为层流，P r ·G r >109为湍流。
【例】有一根水平放置的高压水蒸气管道，绝热层外径d 为583mm ，外壁温度t w =48℃，周围空气温度t f =23℃。试计算每米蒸汽管道上通过自然对流的散热量。 【解】先计算G r 以判别流态。定性温度为：t b =
t w +t f
2
=35. 5℃
查得：v =16.53×10-6m 2/s，P r =0.700，λ=0.0272W/(m·℃) 另外，β=
111
(1/K) ==
T b 273+35. 5308. 5
∆t =t w -t f =48-23=25(K)
于是有：(G r P r )b =⎢ 故处于层流状态。
查教材表2-6，得C =0.53，n =1/4，其定性尺寸d =0.583m， 由N ub =C (P r G r )b
n
⎡⎛g β∆tl ⎫⎤
⎪P r ⎥=2⎪
⎢⎝v ⎥b ⎭⎦⎣
3
9. 8⨯
1
⨯25⨯0. 5833
89 ⨯0. 7=4. 03⨯10
-62
16. 53⨯10
α=
λ
d
C (G r P
n r b
)
1
0. 027284=⨯0. 53⨯(4. 03⨯10=3. 53[W/( m2·℃)] 0. 583
每米管道上的对流散热量为：
q l =πd ⨯1⨯α∆t =3. 14⨯0. 583⨯1⨯3. 53⨯25=161. 6(W/m)
(二) 有限空间的自然对流换热
为了计算方便，把热面放热和冷面受热两者综合。按导热方式处理，采用当量导热系数λe 。
q =
λe
∆t ① δ
αδλλ
∆t =N u =∆t ② λδδ
在用牛顿冷却定律
q =α∆t =
由①②式可得：
N u =
λe
，λ—流体的导热系数。 λ
【例】试求平板间空气夹层的当量导热系数和对流换热量。设夹层厚度为25mm ，高为200mm ，热表面温度为150℃，冷表面温度为50℃。 【解】(1)计算夹层中空气的平均温度为：
t f =
t w 1+t w 2
=100℃ 2
(2)按100℃查得空气的物性参数为：
λ=3.21×10-2W/(m·℃) ，v =2.13×10-5m 2/s，P rf =0.688 (3)计算G rf ：
g δ39. 81⨯(0. 025)14G rf =2β∆t =⨯⨯100=7. 7⨯10 2-5373v 2. 31⨯10
3
(4)根据教材中表2-7中的计算式，求λe ：
λe
=0. 18G λ
14
rf
⎛δ⎫
⎪=0. 18⨯7. 7⨯10⎝h ⎭
19
(
144
⎛0. 025⎫⨯ ⎪=2. 38 ⎝0. 2⎭
19
℃)] λe =2. 38λ=2. 38⨯3. 21⨯10-2=7. 64⨯10-2 [W/(m·(5)计算对流换热量为：
q =
λe 0. 0764
∆t =⨯100=305. 6(W/m2) δ0. 025
七、流体强制流动时的对流换热 （自学内容）
第三节 辐射换热
一、教学要求
【掌握内容】
（1）辐射换热的基本概念和特点 （2）辐射的吸收、反射和透过 （3）四次方定律的表达式及含义
（4）黑度、灰体的概念和克希霍夫定律的含义 （5）角系数的概念 （6）固体辐射传热的计算 （7）气体辐射的特点 【理解内容】
（1）普朗克定律的含义 （2）维恩定律的含义 （3）角系数的性质及计算 （4）遮热原理 【了解内容】
（1）窑墙小孔的辐射散热计算方法 （2）气体的黑度及吸收率的确定方法 （3）气固辐射传热的计算
二、教学重点与难点
【教学重点】
（1）辐射传热的基本概念及基本定律 （2）辐射传热的基本定律 （3）固体辐射传热量的计算 （4）气体辐射特点 【教学难点】
（1）辐射传热的基本定律 （2）固体间的辐射传热量的计算 （3）气体与固体间的辐射传热量计算
三、教学方法
讲解基本概念及基本定律，分析辐射传热的基本原理，讲、练结合，使学生掌握计算方法。
四、教学内容
一、热辐射的基本概念 1．热辐射的本质和特点
物体以电磁波的方式向外传递能量的过程称为辐射，被传递的能量称为辐射能。
电磁波类型：无线电波、红外线、可见光、紫外线、X 射线和γ射线。（如图3-30所示）
热辐射：由于热的原因而发生的辐射。
热辐射的电磁波是由于物体内部电子振动或激动在运动状态改变时所激发出来的。物体的温度是内部电子激动的根本原因，由此而产生的辐射能也就取决于温度—热辐射。
热射线：能被物体吸收并转变成热能的这部分电磁波。即波长为0.4～1000μm的可见光和红外线。
辐射传热是指物体之间相互辐射和吸收热过程的总效果。最终物体是放热或吸热，要取决于在同一时间内所放射和吸收辐射能之差。温度不同，这种差就不会为零。温度为零时，处于动态平衡。 2．辐射传热的特点：
（1）热辐射不仅进行能量的转移，而且还伴随能量的转化。即热能→辐射能→热能。 （2）辐射能不仅从温度高的物体向低温物体辐射，同时低温物体也向高温物体辐射，但最终结果仍是低温物体比高温物体得到的热量多。
（3）热射线的传播具有与光同样特性，不需要固体、液体或气体作为传播介质，在真空中也能传播。
3．热辐射的吸收、反射、和透过
如图3-31，假设投射到物体上的辐射能为Q 。其中Q A 部分被物体吸收，另一部分Q R
被物体表面反射，其余部分Q D 透过物体。
根据物体表面上的热平衡：
其中，吸收率：A =
Q A
Q
反射率：R =
Q R
Q Q D
Q
透过率：D =
上式变为：A +R +D =1
如果投射到物体上的辐射能全部被吸收，此时A =1，R =D =0，该物体叫绝对黑体（简称黑体）。如果投射到物体上的辐射能全部被反射，此时R =1，A =D =0，该物体叫绝对白体（漫反射时，简称白体）或绝对镜体（镜面反射时，简称镜体）。如果投射到物体上的辐射能全部被透过，此时D =1，A =R =0，该物体叫绝对透热体（简称透热体）。工程上绝大多数的材料都不能让热辐射透过，所以A +R =1。对于气体来说，由于气体几乎没有反射能力，所以A +D =1。 4．黑体辐射模型
自然界中不存在黑体，但可由人工制得。如图3-32所示的模型，在空心体的壁面上开一个小孔，壁面保持均匀的温度，此小孔就具有黑体的性质。射入小孔的热辐射经过多次反射和吸收后，几乎全被吸收，此小孔就像一个表面，小孔的尺寸愈小愈接近黑体。
一般物体的表面愈粗糙愈接近黑体，但能吸收全部红外线的物体不一定能吸收可见光，即白色物体的吸收率不一定小。影响热辐射的吸收和反射的主要因素不是物体表面的颜色，而是其物性、表面状态和温度。 二、热辐射的基本定律 (一) 普朗克辐射定律
单位时间内，物体的单位表面积向半球空间所有方向发射的所有波长的能量总和称物体的全辐射力，简称辐射力，用“E ”表示 ，单位(W/m2) 。包括向各个方向辐射出去的从波长从0～∞范围内的总能量。辐射能按波长的分布是不同的。令dE 代表λ到λ+d λ波长间隔内的辐射能量，对于黑体则有：E λ, 0=
dE 0
，E λ, 0表示单位时间内从黑体单位表面上波d λ
长在λ附近的单位波长间隔内的辐射能，叫黑体的单色辐射力，单位(W/m2) 。
1900年普朗克从理论上揭示了各种不同温度下的黑体单色辐射力按波长分布的规律，其数学公式为：E λ, 0=
c 1λ-5e
c 2T λ
，式中λ为波长，T 为开氏温度，e 为自然对数之底，c 1、c 2
-1
是常数，分别为3.743×10-16W ·m 2，1.4387×10-2m ·K 。在工业炉温度范围内，可见光范围内单色辐射力很小，与红外线范围内的辐射力相比很小。随着温度的升高，可见光相应增多，亮度也逐渐增加，常根据物体加热后温度的变化来近似的判断其温度。严格的说，此定律只适用于黑体或性质和黑体相似的物体，对于有很大反射率的物体是不适用的。 (二) 维恩偏移定律
随着温度的升高，最大单色辐射力点的位置向短波方向移动，最大单色辐射力的波长λ
m (μ
m ) 与温度T 的关系：T λm =2896，E λ, 0=1.286×10-5T 5(W/m3) ，最大的单色辐射力和开氏
温度的5次方成正比。 (三) 斯蒂芬---玻尔茨曼定律
⎛T ⎫定律描述了黑体辐射力和温度之间的关系，数学表达为：E 0=C 0 ⎪，式中C 0
100⎝⎭
为黑体辐射系数，等于5.669W/(m2·K 4) ；T 为黑体的开氏温度。说明黑体的辐射力仅仅与温度有关，而与其他因素无关。 (四) 灰体的特性
由于在任何波长下一切实际物体的单色辐射力都小于同温度下相应黑体的单色辐射力。假如某一物体的辐射光谱连续，而且在任何温度下所有各波长射线的单色辐射力恰恰都是同温度下相应黑体单色辐射力的ελ分数，即：
4
E λ1E E
=λ2=λ3=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=ελ。 E λ1, 0E λ2, 0E λ3, 0
那么，这种物体叫理想灰体（简称灰体），它的辐射叫灰辐射。说明单色黑度不随波长而改变，且等于其总辐射的黑度，因此灰体的单色辐射力可用下式计算：
⎛T ⎫
E =εE 0=εC 0 ⎪
⎝100⎭
大多数工程材料的黑度随温度的升高而增大。工程材料的黑度除黑度与温度有关外，还与材料的性质、表面状态有关。表面越粗糙，材料的黑度愈大。
4
(五) 克希霍夫定律
定律描述了辐射力与吸收力之间的关系。
如图3-41所示，样品表面积为F ，吸收率A ，辐射力E 。当处于热平衡时，物体吸收的能量=发射的能量，EF =E 0FA ①
当样品为黑体时，有E 0F =E 0FA 0② ①/②得出：
E E A
==A ，得出=E 0
A E 0A 0
所以有：
E 1E 2E 3
===⋅⋅⋅⋅⋅=E 0=f (T ) A 1A 2A 3
说明物体的辐射力与其吸收率之间的比值，等于同温度的黑度的辐射力，只与温度有关，与物体的性质无关。
A 1=
E 1
=ε1 E 0
E 2
=ε2 E 0
A 2=
······
A i =
E i
=εi E 0
说明任何物体的吸收率等于同温度下的黑度。 三、物体间的辐射换热 (一) 黑体间的辐射换热
引入角系数
定义：从一个物体表面发出的辐射能落到另一个物体的表面的百分数。表面1对表面2的角系数记作φ12，同理表面2到表面1记作φ21。角系数是一个几何量，其大小与物体的形状和两物体之间的相互位置有关，而与物体的温度和黑度无关。
(二) 角系数的性质 (1)相对性
据任意放置的两黑体表面F 1和F 2，温度相等时的热平衡可写出：
(2)完整性
对于由几个物体组成的封闭体系来说，任何一个表面辐射出去的热量将全部分配到体系内的各个表面上，即：
(3)自见性
一个物体表面辐射出去的热量，有投向自身的性质称为自见性。 平面和凸面：φ11＝0 凹面： φ11≠0 (4)兼顾性
如图：在任意放置的两物体1和3之间设置一透热体2，当不考虑路程对辐射热量的影响，那么就有：(5)分解性
。如果在物体1与3之间设置一不透热体，则φ13＝0。
当两个表面F 1、F 2进行辐射换热时，如单独把F 1分解成F 3和F 4，则：
F 1ϕ12=F 3ϕ32+F 4ϕ42。如果单独把F 2分解成F 5和F 6，则：F 1ϕ12=F 1ϕ15+F 1ϕ16.
常见的几种角系数值
(1)两个无限大的平行平面，如图（a ） 物体1据完整性：据自见性：故：同理：
(2)一个平面和一个曲面组成, 的封闭体系，如图（b ）
物体1据完整性：据自见性：故：
物体2据完整性：
据互变性：
故：
(3)一个物体被另一个物体包围，如图（c ）
物体1据完整性：据自见性：故：
物体2据完整性：据互变性：
故：
(4)两个曲面组成的封闭体系，如图（d ）
如图假设在两个曲面间有一个透热体面积为f ，则：
物体1据兼顾性：
从上可知：
物体2同理：
据辐射能在空间分布的余弦定律，推导得：
(三) 灰体之间的辐射换热 1．灰体F 1表面的辐射传热
投射辐射（G ）：单位时间内投射到单位面积上的总辐射能量。 有效辐射（J ）：单位面积在单位时间内辐射出去的总能量。
如图灰体的有效辐射为：
(1)
灰体表面的净辐射传热量：
（2）
将式（1）代入式（2）消去G ，当A=ε时，可得：
式中
—灰体辐射传热的表面热阻。当灰体表面黑度越大，即表面越接近黑体时，
表面热阻越小。黑体其表面热阻为零，此时，J =E 0。
根据上式，可绘出如图所示的电网络单元。 2、两灰体F 1和F 2之间的辐射传热；
或：
对于仅为两个灰体表面间的辐射传热问题，可用如下图的网络表示。
据网络图可直接按串联电路的计算方法，写出两灰体表面间辐射换热计算式：
（W ）。
化简成如下形式：
（W ）
则系统的导来黑度：。
影响其辐射传热的三个基本因素：两灰体的温度差、角系数和系统的导来黑度。 公式适用：（1）两个灰体处于任意位置时的辐射换热计算
（2）两个灰体组成的封闭体系时的辐射换热计算
可以针对两种特殊情况加以简化：
（1） 两个物体均为平行无限大平板，角系数都等于1，如果有一个的黑度很大，则该系
统的导来黑度将取决于黑度小的平面；
（2） 当两个物体有一个为凸面时，另一个表面积很大，大表面的黑度对系统的导来黑度
影响很小，一支可以忽略不计。
【例】用热电偶测量管道内温度，管道壁温度为120℃，热电偶读数为210℃，热电偶接点
处的对流换热系数为46.52 w ∕（ m 2 ·℃），其黑度为ε=0.85，求管道内的实际温度。 【解】解：热电偶接点与管壁之间的辐射换热量为：
q net , 12
⎡⎛T 1⎫4⎛T 2⎫4⎤=ε1C 0⎢ ⎪- ⎪⎥
⎢⎣⎝100⎭⎝100⎭⎥⎦
管道内的热空气通过对流换热传递给热电偶接点的热量为：
q net , g 1=αc (t g -t 1)，t g 为空气的真实温度，℃
热电偶接点稳定时达到热平衡：q net , 12=q net , g 1
⎡⎛T 1⎫4⎛T 2⎫4⎤
所以有：ε1C 0⎢ ⎪- ⎪⎥=αc (t g -t 1)
100100⎭⎝⎭⎥⎢⎣⎝⎦
εC
t g =10
αc
44
⎡⎛T 1⎫4⎛T 2⎫4⎤0. 85⨯5. 669⎡⎛483⎫⎛393⎫⎤
⎪- ⎪⎥+t 1=⎪- ⎪⎥+210=241. 7℃ ⎢ ⎢
46. 52⎣⎢⎝100⎭⎝100⎭⎥⎢⎦⎣⎝100⎭⎝100⎭⎥⎦
如何减小热电偶测量的误差：
（1）测温误差与热电偶外套材料的黑度成正比，宜采用表面比较光滑、黑度比较小的材料作为热电偶的外套材料；
（2）测温误差与对流换热系数成反比，说明管道内的气流速度愈快，误差愈小，宜采用抽吸式热电偶；
（3）在热电偶节点处加着热罩，以减少热辐射的损失，来减小误差 四、遮热板和遮热罩的作用 1．遮热板
（1）不设遮热板时的传热量：
(2)设有遮热板时的传热量：
（3）净辐射热量的变化：
有：①当平面1和平面2黑度相等时（ε1=ε2=ε），则：
净辐射热量的变化：
从公式可知：ε3减小，ε12＇减小，Q Net,12＇减小。 ②当平面和遮热板的黑度相等（ε1=ε2=ε3=ε）时，则：
净辐射热量的变化：
可以推论：加入块黑度均为的遮热板，辐射换热将减少为原来的1/n+1。 注意：遮热效果与遮热板的位置无关。 2、遮热罩
①不设遮热罩时净辐射热量为：
②设有遮热罩时净辐射热量:
⎡⎛T 1⎫4⎛T 2⎫4⎤Q =εC 0⎢ ⎪- ⎪⎥
⎢⎣⎝100⎭⎝100⎭⎥⎦
'
12
' 12
' ε12
1
⎫⎫F 1⎛21F 1⎛1
⎪⎪+ -1+-1 ⎪ ε1F 2⎝ε2⎭F 3⎝ε3⎪⎭
③净辐射热量变化：
从上式看出:
①当F 1/F 3=常数，ε3减小，Q 12减小；
②ε3＝常数，F 1/F 3增大，Q 12减小，即遮热罩愈靠近物体1，其隔热效果愈好。
【例】两平行大平壁之间的辐射换热，温度分别为1000℃和200℃，平壁的黑度各为0.8和0.5，如果中间加进一块铝箔遮热板黑度为0.05, 试计算两平壁间的辐射换热量及辐射热减少的百分率。
【解】加入遮热板后辐射换热
净辐射热量变化：
辐射热减少的百分率为： 100%-5.45%=94.55%
第四节 综合换热
一、教学要求
【掌握内容】
（1）综合传热的概念及传热过程分析 （2）一种流体通过单层平壁传热给另一种流体 （3）一种流体通过单层圆筒壁传热给另一种流体 【理解内容】
（1）一种流体通过多层平壁传热给另一种流体 （2）一种流体通过多层圆筒壁传热给另一种流体 （3）窑体表面的散热的计算 【了解内容】 传热的统一公式
二、教学重点与难点
【教学重点】
（1）一种流体通平壁传热给另一种流体 （2）一种流体通过圆筒壁传热给另一种流体 【教学难点】
一种流体通过圆筒壁传热给另一种流体
三、教学方法
启发学生应用所学的传热的基本论理知识分析综合传热过程，掌握其特点，以便进一步掌握计算方法。
四、教学内容
一、一种流体通过器壁将热量传给另一种流体 (一) 壁面为平壁
此种综合换热分为三个过程。包括： 流体2与壁面的对流换热：q 2=α2(t 2-t w 2)
壁面内导热：q 3=
λ
(t w 2-t w 1) δ
外壁与流体1的对流换热：q 1=α1(t w 1-t 1) 达到热平衡时，q 1=q 2=q 3
q =
1
1++α1λα2
1
(t 2-t 1)
所以，K =
11
α1
+
1+λα2
为综合换热系数，热阻为R =
1
α1
+
δ1
。 +
λα2
多层平壁仅比单层平壁多增加若干层内热阻，其热阻为：
∑R =
1
α1
+∑
δi 1
+α2i =1λi
n
(二) 器壁为圆筒壁
q =πd 2α2(t 2-t w 2)=同理可推出，2
t 2-t w 2
1πd 2α2
q 3=
t w 2-t w 1
d 1
ln 1
2πλd 2
q 1=πd 1α1(t w 1-t 1)=
t w 1-t 1
1πd 1α1
所以，q =
t 2-t 1
d 1111
+ln +
πd 2α22πλd 2πd 1α1
t 2-t 1
n
d i 111
+∑ln +
πd 2α2i =12πλi d i +1πd 1α1
对于多层筒壁可推出，q =
二、换热器
定义：使热量由高温流体传递到低温流体的装置。
换热器的设计计算目的：
① 确定换热面积，以确定换热器的尺寸； ② 确定器壁的温度，选择换热器的材料； ③ 通过阻力计算，确定流体阻力，选择动力系统。
换热面积的计算
换热面积可用下式进行计算：F =1．传热量Q 的计算
对于两种流体，分别为1冷流体，2热流体。 ′，入口参数标记；〞，出口参数标记。
G 1、G 2冷热两种流体的质量流量，C 1、C 2冷热两种流体的热容。 Q =热流体的失热=冷体的吸热
Q
K ∆t av
'-C 2t 2'')=G 1(C 1t 1''-C 1')，效率η=100%。 理想换热器：G 2(C 2t 2
'-C 2t 2'')>G 1(C 1t 1''-C 1') 由于换热器本身的吸热和散发到环境中的热量，G 2(C 2t 2
2．平均温差∆t av 的计算
令W 1=G 1C 1，W 2=G 2C 2分别为冷热两种流体的热容量。 对于逆流式换热器：dF 上的热平衡方程式。
dQ =-W 1dt 1=-W 2dt 2
负号表明dF 增加时，t 1、t 2均减小， 所以，dt 1=-
dQ dQ
，dt 2=- W 1W 2
⎛dQ dQ ⎫⎛11⎫
⎪ ⎪dt 2-dt 1=- -=-dQ - W ⎪ ⎪ W W W 1⎭1⎭⎝2⎝2
又有dQ =K (t 2-t 1)dF 所以-d (t 2-t 1)=K (t 2-t 1)
⎛11⎫
-⎪dF ⎪⎝W 2W 1⎭
-
⎛1d (t 2-t 1)1⎫
⎪=K -dF ⎪t 2-t 1⎝W 2W 1⎭
积分：-
⎰
∆t 2
∆t 1
⎛1d (t 2-t 1)1⎫F
⎪=K -dF ⎰ ⎪0t 2-t 1⎝W 2W 1⎭
⎛1∆t 11⎫
ln =KF -⎪⎪∆t 2⎝W 2W 1⎭
⎛11⎫
Q - W W ⎪⎪
21⎭⎝ =
∆t ln 1
∆t 2
又有KF =
Q
，所以∆t av
∆t av
将dt 1=-
dQ dQ
和dt 2=-在t 1、t 2的变化范围内积分， W 1W 2
可得
Q Q '-t 2'' =t 2''-t 1'，=t 1
W 2W 1
'-t 2'')-(t 1''-t 1')(t 2'-t 1'')-(t 2''-t 1')(t 2
=
∆t ln 1
∆t 2
∆t ln 1
∆t 2
所以有∆t av =
'-t 1''，∆t 2=t 2''-t 1' 从图中可以看出，∆t 1=t 2
所以∆t av =
∆t 1-∆t 2
。 ∆t 1ln ∆t 2
式中∆t 1，∆t 2为换热器入出口处的温度差，也适用于顺流式。
积分：
第二章 传热原理
绪论
一、基本概念
1．传热学：传热学是研究热量传递规律的学科。
1) 物体内只要存在温差，就有热量从物体的高温部分传向低温部分； 2) 物体之间存在温差时，热量就会自发的从高温物体传向低温物体。
由于自然界和生产技术中几乎均有温差存在，所以热量传递已成为自然界和生产技术中一种普遍现象。 2．热量传递过程：
根据物体温度与时间的关系，热量传递过程可分为两类：（ 1 ）稳态传热过程；（ 2 ）非稳态传热过程。
1） 稳态传热过程：凡是物体中各点温度不随时间而变的热传递过程均称稳态传热过程。 2） 非稳态传热过程：凡是物体中各点温度随时间的变化而变化的热传递过程均称非稳态传
热过程。
各种热力设备在持续不变的工况下运行时的热传递过程属稳态传热过程；而在启动、停机、工况改变时的传热过程则属 非稳态传热过程。 二、讲授传热学的重要性及必要性
1． 传热学是热工系列课程教学的主要内容之一，是热能动力专业必修的专业基础课。是否
能够熟练掌握课程的内容，直接影响到后续专业课的学习效果。
2． 传热学在生产技术领域中的应用十分广泛。如：热能动力学、环境技术、材料学、微电
子技术、航空航天技术存在着大量的传热学问题，而且起关键性作用。随着大规模集成电路集成温度的不断提高，电子器件的冷却问题越显突出。 3． 传热学的发展和生产技术的进步具有相互依赖和相互促进的作用。
传热学在生产技术发展中已成为一门理论体系初具完善、内容不断充实、充满活力的主要基础科学。高参数大容量发电机组的发展，原子、太阳、地热能的利用，航天技术、微电子技术、生物工程的发展，推动传热学的发展，而传热学的发展又促进生产技术的进步发展。同时，随着生产技术及新兴科学技术的发展，又向传热学提出了新的挑战和新的研究课题。 三、传热学的特点、研究对象及研究方法 1．特点
理论性、应用性强。传热学是热工系列课程内容和课程体系设置的主要内容之一。是一门理论性、应用性极强的专业基础课，在热量传递的理论分析中涉及到很深的数学理论和方法。在生产技术领域应用十分广泛，在生产技术发展中已成为一门理论体系初具，内容不断完善、充实，充满活力的主要基础科学。传热学的发展促进了生产技术的进步，而新兴科学技术的发展向传热学提出了新的课题和新的挑战。 2．研究对象
传热学研究的对象是热量传递规律。 3．研究方法
研究的是由微观粒子热运动所决定的宏观物理现象，而且主要用经验的方法寻求热量传递的规律，认为研究对象是个连续体，即各点的温度、密度、速度是坐标的连续函数，即将
微观粒子的微观物理过程作为宏观现象处理。
第一节 导热
一、教学要求
【掌握内容】
1． 传热的基本条件与基本方式
2． 温度场、等温面、等温线和温度梯度的概念 3． 热流量和传热量的概念
4． 掌握稳定传热与不稳定传热的概念 5． 导热的基本定律的表达式及物理意义 6． 物质导热系数的意义 7． 稳定态平壁的导热量计算
8． 稳定态单层圆筒壁及球壁的导热量计算 【理解内容】
1． 各种传热方式的传热机理 2． 等温面、等温线的性质
3． 各种不同物质导热系数的范围及影响因素 4． 稳定态多层圆筒壁的导热量计算 5． 稳定态单层球壁的导热量计算 【了解内容】
1． 稳定态复合平壁的导热 2． 稳定态多层球壁的导热量计算 3． 稳定态不规则物体的导热量计算 4． 表面温度不均时平均温度的计算
二、教学重点与难点
【教学重点】
1． 温度场、等温面、等温线和温度梯度的概念 2． 热流量、传热量和稳定传热与不稳定传热的概念 3． 导热的基本定律及导热系数 4． 稳定态平壁的导热量计算 5． 稳定态非平壁的导热量计算 【教学难点】
1． 稳定态多层平壁的导热量计算
2． 稳定态非平壁的导热量计算
三、教学方法
从生活或生产上的传热现象引入，讲解基本概念及基本原理，教学中注意分解难点，要讲、练结合，培养学生的分析计算能力。
四、教学内容
一、导热的基本概念及定律 （一）温度场
1．定义：传热过程中，物体内部所有点的温度分布情况。温度场内各点的温度与位置有关，同一点的温度还随时间推移而有所不同。
一般地，物体的温度分布是坐标和时间的函数。 即： t = f (x, y, z, τ) 其中x 、y 、z 为空间坐标，τ为时间坐标。 2．温度场分类
⑴ 稳定温度场：是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式 t = f (x, y, z) 。
⑵ 非稳定温度场：是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式 t = f (x, y, z, τ) 。
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称一维温度场。 （二）等温面与等温线和温度梯度 1．等温面与等温线
定义 等温面：温度场中所有温度相同的点构成的面。
等温线：等温面与其它任意平面的交线。 性质 ⑴ 同一瞬间，不同的等温面、线不可能相交。
⑵ 连续的温度场中，等温面、线连续。
⑶ 同一等温面、线上无温度变化，也就没有热量传递，热量传递只发生在不同的等
温面、线之间。
2．温度梯度
定义 温度场中，两等温面间温度差与其法线方向两等温面间距离比值的极限。
数学表达式
(℃/m)
稳定、单向温度场中：(℃/m)
物理意义：说明沿着等温面的法线方向，单位距离的温度变化。
注意：温度梯度正方向指向温度升高的方向。 （三）热流和传热量
传热量-热量：单位时间内，经面积F 传递的热量，用Q 表示。单位J/s或W 。 热流：单位时间内，单位面积上传递的热量，用q 表示，单位为W/m2。 两者的关系：Q =qF
注意：热流是矢量，它的正方向指向温度降低的方向，与温度梯度的方向相反。 （四）稳定态传热和不稳定态传热
稳定传热：在稳定温度场内的传热，特点是传热量不随时间变化。即：，
不稳定传热：在不稳定温度场内的传热，特点是传热量随时间变化。即：（五）傅里叶定律
，
定义：在导热现象中，单位时间内通过给定截面所传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率，而热量传递的方向与温度升高的方向相反。 一维温度场数学表达式：q ∝-
∂t
（W ／m 2） ∂x
q =-λ
∂t
（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反） ∂x
式中 λ――导热系数，（W ／m 2·℃）
∂t
――在x 方向上的温度梯度，℃／m ∂x
二、导热系数
导热系数是衡量物质导热能力的物理量。
导热系数含义：物体内温度梯度为1℃ / m时，单位时间、单位面积的传热量。 各种物质的导热系数都是用实验方法测得。 （一）气体的导热系数 大小：λ=0.0058～0.58W/m·℃。
气体的导热是由气体分了的热运动和相互碰撞作用而传递能量的。 特点：λ=f (t ) 温度增大导热系数增大
在不太大的压力下，可以认为λ与压力无关。 （二）液体的导热系数 大小：0.093～0.7 W/m·℃。
液体的导热主要是由分子振动产生的一些不规则的弹性波来传递能量的过程。
特点：除了水和甘油以外，其余的液体的导热系数随温度的上升略有减小，受压力影响很小。 （三）固体的导热系数
固体传导热能的形式：晶格的振动和自由电子的迁移。
（1）金属
金属的导热主要依靠自由电子的迁移，因而良好的导电体就是良好的导热体。 大小：2.3～428 w/m·℃，纯银最大，纯铜次之。
特点：温度上升导热系数下降，晶格振动影响自由电子的迁移。
金属内含杂质时，其导热系数降低，λ合金
特点：温度上升导热系数上升，λ与材料结构、空隙率、湿度、密度等因素有关。 （3）耐火材料 大小：0.7～5.8 w/m·℃
特点：温度上升导热系数上升，λ与材料结构、空隙率、湿度、密度等因素有关。 注意：镁质耐火材料例外，因为，晶体的导热系数与绝对温度成反比，无定性体则反之，镁
砖主要由晶体组成。 （4）影响导热系数的因素
①温度 大多数的材料的导热系数的变化和温度呈直线关系：λt =λ0±bt 或
λt =λ0(1±βt )
其中，λ0为0℃的导热系数，b 和β为温度系数。
实际计算时，λ的数值是取物体两端温度的算术平均值来计算，并把它作常数来处理。即：
或
②湿度 由于材料孔隙多，容易吸水，水分的导热系数比空气的约大24倍，而且水分从高温区向低温区迁移也携带热量，所以空隙率和湿度增大导热系数也增大，潮湿的砖导热系数比干燥砖和水都大。
③密度 材料的密度小，内部孔隙多，由于空气的导热系数很小，故密度小的材料的导热系数也小。同种材料，密度增大导热系数也增大。 三、导热微分方程
根据能量守恒定律，如果内部没有热源，则同一时间内，传入物体的热量和传出物体的热量差，等于物体本身热焓的增量，可写出热平衡关系：
热焓的增量＝传出物体的热量－传入物体的热量
在固体内部分割出一个微元平行六面体，选定各边长度为dx 、dy 、dz ，则体积为dv = dxdydz 。 假定物体为各向同性的连续介质。如图3-2所示。
分别研究沿x 轴、y 轴和z 轴向，由于导热而从各面流入六面体的热量。根据傅里叶定律在d τ时间内， 沿x 轴向通过ABCD 面传入的热量为：
dQ x =-λ
∂t
dydzd τ ∂x
同理可得沿y 轴向和z 轴向，分别通过ABFE 和ADHE 面传入的热量：
dQ y =-λ
∂t
dxdzd τ ∂y
∂t
dxdyd τ ∂z
和dQ z =-λ
在同一时间内，沿x 轴向通过EFGH 面传出的热量，可以借助展开泰勒级数而舍去二阶以上的高阶项而求得：
dQ x +dx =dQ x +
∂(dQ x )∂t ∂⎛∂t ⎫
dx =-λdydzd τ+ -λdydzd τ⎪dx ∂x ∂x ∂x ⎝∂x ⎭
因此，在x 轴向，由导热引起的净热量为：
dQ x -dQ x +dx
∂2t ∂2t =λ2dxdydzd τ=λ2dvd τ
∂x ∂x
同理，可得在y 轴向，z 轴向的净热量为：
dQ y -dQ y +dy
∂2t ∂2t
=λ2dvd τ 和 dQ z -dQ z +dz =λ2dvd τ
∂z ∂y
⎛∂2t ∂2t ∂2t ⎫
总净热量为：λ ∂x 2+∂y 2+∂z 2⎪⎪dvd τ。
⎝⎭
另外，在d τ时间内，由于热量流热的结果，微元六面体的温度将发生变化，其体内的热焓的增量为：c p ρ
∂t
dvd τ。 ∂τ
⎛∂2t ∂2t ∂2t ⎫∂t
根据热平衡有：c p ρdvd τ=λ +2+2⎪dvd τ， 2 ⎪∂τ∂y ∂z ⎭⎝∂x ∂t λ⎛∂2t ∂2t ∂2t ⎫2
⎪进一步化简得：=++=a ∇t ， 222⎪ ∂τc p ρ⎝∂x ∂y ∂z ⎭
式中∇为拉普拉斯运算符号，a 为导温系数。上式称为傅立叶导热微分方程，仅适用于固体。拉普拉斯算子具有明确的物理意义：为正时表明物体被加热；为负时表明物体被冷却；等于0表明为稳定温度场。a 是物质的热物性参数，又称热扩散系数，说明物体被加热或冷却时，物体内部各部分温度趋于一致的能力。a 越大，表明同样条件下，物体各部的温差越小。
四、无内热源的稳定态导热 （一）平壁的导热 1．单层平壁的导热
2
设有一厚度δ为的无限大平壁，导热系数为λ，且不随温度变化，平壁的两个表面的温度分别为t 1和t 2（t 1> t2）。是一维稳定的温度场。
d 2t
这类导热问题的数学表达式为：2=0，
dx
积分得：
dt
=C 1，t =C 1x +C 2， dx
积分常数C 1和C 2可根据边界条件：在x =0处，t =t 1 求得 在x =δ处，t =t 2 将其代入积分结果，得：t 1=C 2
t 2=C 1δ+C 2= C1δ+ t1 C 1=
(t 2-t 1)
δ
可得平壁内的温度分布方程：t =条直线。
根据傅里叶定律，q =-λ
(t 2-t 1)
δ
x +t 1 （℃），表明平壁内的温度分布是一
(t -t )λλF ∆t δdt
∆t ==λ21=∆t 或 Q =qF =δλdx δδ
λF
表示单位面积上的热阻，以符号R i 表示，单位为m 2·℃·W -1。
【例】设某窑炉的砖壁厚为0.5m 。内壁面温度为1000℃，外壁面温度为50℃，耐火砖有导热系数λ＝1.16（1＋0.001t ）, 求通过炉壁的热流q 及炉壁内的温度分布？ 【解】（1）计算炉壁的平均温度
t av =
t 1+t 2
=525 (℃) 2
（2）计算导热系数：
℃)] λ=1. 16⨯(1+0. 001t av )=1. 77[W/(m·（3）计算热流：
q =λ
1000-50
=3360 （W/m2）
0. 5
（4）计算温度分布：分别计算距炉内表面距离x =0.1，0.2，0.3，0.4m 处的t x ，根据
t =
(t 2-t 1)
δ
x +t 1可计算得出分别为：810，620，430，240(℃) 。
2．多层平壁的导热
对每层可按单层平壁导热的计算公式写出：q =
t 1-t 2
1λ1
=
t 2-t 3
2λ2
=
t 3-t 4
3λ3
，在稳定状
态下，通过各层的热流都相等，又和比定律得：q =
t 1-t 4
δ1δ23
++λ1λ2λ3
（W/m2），n 层的情况
可依此类推。 （二）圆筒壁的导热 1．单层圆筒壁的导热
导热系数为λ的材料制成内半径为r 1，外半径为r 2的单层圆筒壁，内外表面的温度分别为t 1和t 2。圆筒壁的长度很长，沿长度方向的导热系数的变化忽略不计，温度仅沿半径方向
变化。将直角坐标系转化成柱坐标系，则温度仅沿半径方向变化，因此也是一维温度场，可将傅立叶导热微分方程化简为：
d 2t 1dt
+=0 dr 2r dr
列出边界条件：当r =r 1时，t =t 1
当r =r 2时，t =t 2
求解微分方程，并由边界条件确定积分常数，得出圆筒内部温度分布方程：
t =t 1-
t 1-t 2r t -t d
ln =t 1-12ln r d r 1d 1ln 2ln 2
r 1d 1
从上式可以看出，温度分布按对数曲线变化，因为有：
t -t 1dt
=-12 将其代入傅立叶定律表达式中，则得传热量公式为：
r r dr
ln 2
r 1
⎛⎫ ⎪t -t t 1-t 2dt 12πλl
（W ） (Q =-λF =-2λπrl -12ln ⎪=t 1-t 2)=
⎪r 2r 2d 1dr r
ln 2 ln ⎪ln
r 1r 12πλl d 1⎝⎭
其中分母部分
12πλl
ln
d 2
是单层筒壁的热阻。 d 1
当
r 2
≤2时，可近似得把圆筒壁的问题当作平壁问题来处理，厚度为r 2-r 1，导热面积r 1
r 1+r 2
求出。一般窑炉的拱顶可按平壁来处理，误差小于4％。 2
按平均半径
2．单层圆筒壁的导热
可参照前面多层平壁的导热情况进行处理。 （三）球壁的导热 1．单层空心球壁
设有单层空心球，内外半径各为r 1和r 2，内表面温度为t 1，外表面温度为t 2，球壁的导热系数λ为常数。
根据傅立叶定律，通过球壁的热量为：
分离变量：
积分得：几何平均面积：
球壁厚度
或
单层球壁导热热阻：
【例】有一中空铁球，内径为150mm ，外径为300mm ，球内、外表面温度分别为t 1=248℃及t 2=38℃，已知铁的导热系数为73（W/m• ℃）求球壁向外的导热量以及球壁中心的温度。
【例】球壁厚度s
=
= (0.3—0.15)= 0.075（m ）
球壁中心处的直径d = d 1+s = 0.15+0.075=0.225(m) 球壁向外的导热量
=
球壁中心处的温度为：
=28900(W)
=
2．多层空心球壁
参照前面的方法，可以推导出n 层球壁传热公式：
=108(℃)
（W ）
或
（W ）
【例】蒸汽管道内径、外径各为0.16 m、0.17 m，外包两层绝缘材料，第一层厚度0.03m ，第二层厚度0.05 m，管壁及两层绝缘材料的平均导热系数各等于λ1=81.5 w/m.·℃，λ2=0.174 w/m.·℃，λ3=0.093 w/m.·℃，管道内表面温度为t 1=300℃，第二层绝缘材料外表面温度t 4=50℃，试求每米长蒸汽管道的热损失和各层交界面温度t 2、t 3。
【解】已知：d 1=0.16m，d 2=0.17m，d 3=0.17+0.06=0.23m，d 4
=0.23+0.1=0.33m
，
（w/m）
交界面温度：
（℃）
（℃）
五、有内热源的稳定态导热
此部分内容作为自学内容。
第二节 对流换热
一、教学要求
【掌握内容】
(1)对流换热及其影响因素；
(2)用分析方法求解对流换热问题的实质。 【理解内容】 (1) 对流换热概述； (2)对流换热的数学描写； (3)对流换热的边界层微分方程组； (4) 边界层积分方程组的求解及比拟理论； (5)相似原理及量纲分析； (6)相似原理的应用.
二、教学重点与难点
【教学重点】
(1)对流换热及其影响因素； (2)牛顿冷却公式；
(3)用分析方法求解对流换热问题的实质 (4)边界层概念及其应用； (5)相似原理；
(6)无相变换热的表面传热系数及换热量的计算。 【教学难点】 (1)牛顿冷却公式； (2)边界层概念及其应用； (3)相似原理；
(4)无相变换热的表面传热系数及换热量的计算。
三、教学方法
讲解基本概念及基本定律，分析基本原理，讲、练结合，使学生掌握计算方法。
四、教学内容
一、对流换热的基本概念
对流换热是发生在流体和与之接触的固体壁面之间的热量传递过程 ，（直接接触是与辐射换热的区别）。既包括流体位移时所产生的对流，又包括流体分子间的导热作用，是宏观的热对流与微观的热传导的综合传热过程。对流换热是一种极复杂的过程，影响因素很多，主要有以下几种：
1． 流体发生运动时的动力
流体运动可以分为自由运动和强制运动两种。凡是受外力影响所发生的运动称为强制运动，凡是由于流体各部分冷热各部分的密度不同而引起的运动称为自由运动。流体作强制运动时，也发生自由运动，流体各部分之间的温差越大以及受迫运动的速度越小，自由运动的
相对影响就越大。当强制运动很强烈时，自由运动的影响可以忽略不计。
2．流体流动的状态
流体的流动有两种状态：层流和湍流。它们物理机制的不同决定了它们的传热规律也不同。层流时热量传递主要靠传导。而湍流时热量的传递除传导外，还同时有涡流扰动的对流机构，此时的换热强度主要决定于边界层中的热阻，这比湍流部分的热阻要重要得多。最大的温度梯度发生在边界层当中。
3．流体的物性
影响对流过程的流体物性有：导热系数、比热、密度和粘度等。 4．放热面的形状和位置
放热面的形状和位置对对流换热过程的影响也很大。即使一些形状最简单的放热面，也由于平放或斜放而影响对流换热的程度 二、对流换热的基本定律――牛顿冷却定律
牛顿冷却定律的数学表达：q =αt w -t f 或Q =αt w -t f F 式中t f 为流体的温度，℃ t w 为固体壁面的温度，℃ F 为换热面积，m 2
α为对流换热系数，W/(m2·℃)
公式把影响对流换热过程的所有因素都集中在对流换热系数上，影响对流换热系数的因素很多，因此确定对流换热系数，就成为研究对流换热的中心问题。 三、边界层概述 (一) 速度边界层
粘滞性流体流过壁面时，由于流体的粘滞性与壁面之间存在摩擦力从而产生速度梯度。取沿壁面的方向为x ，垂直壁面的方向为y ，摩擦力的大小为τ=
壁面附近的速度场如图2-12所示。在厚度为δ的一薄层内，流速从壁面上的0增加到离壁面y =δ时的接近主流。这一薄层称为边界层，在边界层外面，可认为速度梯度为0。因此，任何流动着的流体可被划分为两层，在主流层中可以认为是无摩擦的。
流体在边界层内的流动状态，可以是层流的，也可以是湍流的。当边界层厚度较小时，总是属于层流的，当厚度超过一定厚度时，则形成湍流边界层。但即使在湍流边界层里，紧贴壁面的一个薄层还是层流的，成为层流底层。图2-13显示出流体流过平壁时边界层的变化。
()
()
dw x
。 dy
(二) 热边界层
速度边界层的概念可以推广得到热边界层的概念。当温度均匀的流体流过壁面时，如果主流和壁面之间存在温度差，在贴近壁面的很小的薄层内会产生法向的温度梯度，这一薄层被称为热边界层。热边界层以外，法向的温度梯度几乎为0。在热边界层内，导热量和对流换热量属于同一数量级。
速度边界层反映了流体动量传递的渗透过程，热边界层厚度反映流体热量传递的渗透程度。
四、对流换热微分方程组
由于对流换热过程的复杂性，不仅取决于热现象，同时取决于流体的运动现象，一个微分方程难以描述两个现象，所以要用一组微分方程来描写。方程组包括描写流体运动现象的连续性方程和纳维叶----司托克斯方程，以及描写换热过程的换热微分方程和流体导热微分方程。
(一) 换热微分方程
写出微元面积dF 上的换热微分方程形式：
dQ =α(t f -t w )dF =α∆tdF
根据傅里叶定律，写出流体与壁面之间边界层内的导热公式，对微元面积dF 的傅立叶公式为：dQ =-λ
λ⎛∂t ⎫⎛∂t ⎫
⎪dF ，以上两式相等：α=- ⎪。
∆t ⎝∂n ⎭n =0⎝∂n ⎭n =0
∂t
=a ∇2t 。
∂τ
(二) 流体导热微分方程
适用于固体的导热微分方程为：
参照图3-17中流体内部的微元六面体，与固体不同的是，在d τ时间内由于流体的流动，流体的各个质点沿三个轴向分别移动了dx 、dy 、dz 。因此，微元体内的温度全变量是两种现象的结果，根据全微分的概念，可知：
dt =
式中
∂t ∂t ∂t ∂t dt ∂t ∂t dx ∂t dy ∂t dz d τ+dx +dy +dz 或=+++ ∂τ∂x ∂y ∂z d τ∂τ∂x d τ∂y d τ∂z d τ
dx dy dz 、、分别是微元体在x 、y 、z 轴方向上的分速度，因此： d τd τd τdt ∂t ∂t ∂t ∂t =+w x +w y +w z d τ∂τ∂x ∂y ∂z
从而适用于流体的导热方程为：
Dt ∂t ∂t ∂t ∂t
=a ∇2t +w x +w y +w z =a ∇2t 或d τ∂τ∂x ∂y ∂z
描写对流换热过程的完整微分方程组为：
∂w x ∂w y ∂w z
++=div w =0 连续性方程 ∂x ∂y ∂z D w ρ=ρg -gradp +μ∇2w 湍流流动方程 d τ
α=-
⎪ 对流换热方程 ∆t ⎝∂n ⎭n =0
λ⎛∂t ⎫
Dt
=a ∇2t 傅立叶---克希霍夫导热方程 d τ
(三) 单值性条件
单值性条件包括下列几项：
(1) 几何条件：说明参与过程的物体的形状和大小 (2) 物理条件：说明流体的物理特性，如它的各种物理参数
(3) 边界条件：说明流体在边界上过程进行的特点，如进口处流体的速度、温度等 (4) 时间条件：说明在时间上预先已知的特点，稳定对对流换热过程没有时间条件，对
于不稳定过程的时间条件，是它初始的温度分布。
五、对流换热的相似过程 (一) 物理量相似的性质
(1) 用相同形式且具有相同内容的微分方程所描述的现象称为同类现象，同类是相似的
前提。
(2) 彼此相似的现象，同名准数必相等。 (3) 彼此相似的现象，其有关的物理量场必相似。 (二) 相似准数的得出
流体的导热方程：
⎛∂2t ∂2t ∂2t ⎫∂t ∂t ∂t ∂t
+w x +w y +w z =a +2+2⎪2 ⎪∂τ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ⎭⎝∂x
∂t
α∆t =-λ
∂y
在第一个位置，所有变量都用“′”来代替：
⎛∂2t '∂2t '∂2t '⎫∂t '∂t '∂t '∂t '
+w '+w '+w '=a ' x y z ∂x '2+∂y '2+∂z '2⎪⎪ ∂τ'∂x '∂y '∂z '⎝⎭
α'∆t '=-λ'
∂t '
∂y '
同理在第二个位置可以得到：
⎛∂2t ''∂2t ''∂2t ''⎫∂t ''∂t ''∂t ''∂t ''
'''⎪ +w '+w '+w '=a '' ++x y z 222⎪ ''''''''''''''∂τ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ⎭⎝∂x
α''∆t ''=-λ''
∂t ''
∂y ''
由相似原理：
τ''t ''α''x ''y ''z ''
=C α ===C l ，=C τ，=C t ，
τ't 'α'x 'y 'z '
'w ''w ''w 'a ''λ''y x
=C λ ==z =C w ，=C a ，
''a λw 'w 'w 'x y z
很明显可以用第一位置的变量来代替第二位置：
⎛∂t '∂t '∂t '⎫C a C t ⎛∂2t '∂2t '∂2t '⎫
⎪+w '+w '=a ' ++2⎪x y z 222 w '⎪ ⎪∂y '∂z '⎭C l ∂y '∂z '⎭⎝∂x '⎝∂x '
C C ∂t '
C αC t α'∆t '=-λt λ'
C l ∂y 'C t ∂t 'C w C t
+
C τ∂τ'C l
所以必有
C t C a C t C w C t
==2
C τC l C l
C αC t =
C λC t
C l
C t C a C t C l 2由可得==1 2
C τC a C τC l
又因为
τ''a ''l ''
=C τ，=C a , =C l τ'a 'l '
2
⎛l ''⎫ ⎪
l ''2l '2l '⎭⎝==1得出所以有，
a a ''τ''a 'τ'τ'a 'l ''2l '2
==F o ，称为傅立叶准数。 可令''''''a τa τα'l 'α''l ''
==N u ，称为努谢尔特准数。 同理λ'λ''
(三) 四个准数及物理意义 (1) 努谢尔特准数，N u =(2) 雷诺准数，R e =
αl
表征换热强度与边界层中温度分布的关系。 λ
ρwl
流体的流动情况，是惯性力和粘滞阻力的比值。 μ
(3) 普朗特尔准数，P r 表征温度场与速度场的相似程度。
gl 3
(4) 葛拉晓夫准数，G r =2β∆t 表征浮升力与粘性力的相对大小。
v
(四) 定性温度和定性尺寸
定性温度：一般可取边界层中的平均温度，流体和固体壁面温度的算术平均值。
l 的定性尺寸： (1) 管道内流动，l 取内径； (2) 流体横掠管道，l 取外径； (3) 流体顺管道流动，l 取流经长度； (4) 流体顺壁面流动，l 取流经长度。 六、流体自然对流换热 (一) 无限空间的自然对流换热
自然对流产生的原因：不均匀的温度场而造成的不均匀的密度场。流动状态有层流和湍流，判断层流和湍流的依据是G r 和P r 的乘积。
P r ·G r ≤109为层流，P r ·G r >109为湍流。
【例】有一根水平放置的高压水蒸气管道，绝热层外径d 为583mm ，外壁温度t w =48℃，周围空气温度t f =23℃。试计算每米蒸汽管道上通过自然对流的散热量。 【解】先计算G r 以判别流态。定性温度为：t b =
t w +t f
2
=35. 5℃
查得：v =16.53×10-6m 2/s，P r =0.700，λ=0.0272W/(m·℃) 另外，β=
111
(1/K) ==
T b 273+35. 5308. 5
∆t =t w -t f =48-23=25(K)
于是有：(G r P r )b =⎢ 故处于层流状态。
查教材表2-6，得C =0.53，n =1/4，其定性尺寸d =0.583m， 由N ub =C (P r G r )b
n
⎡⎛g β∆tl ⎫⎤
⎪P r ⎥=2⎪
⎢⎝v ⎥b ⎭⎦⎣
3
9. 8⨯
1
⨯25⨯0. 5833
89 ⨯0. 7=4. 03⨯10
-62
16. 53⨯10
α=
λ
d
C (G r P
n r b
)
1
0. 027284=⨯0. 53⨯(4. 03⨯10=3. 53[W/( m2·℃)] 0. 583
每米管道上的对流散热量为：
q l =πd ⨯1⨯α∆t =3. 14⨯0. 583⨯1⨯3. 53⨯25=161. 6(W/m)
(二) 有限空间的自然对流换热
为了计算方便，把热面放热和冷面受热两者综合。按导热方式处理，采用当量导热系数λe 。
q =
λe
∆t ① δ
αδλλ
∆t =N u =∆t ② λδδ
在用牛顿冷却定律
q =α∆t =
由①②式可得：
N u =
λe
，λ—流体的导热系数。 λ
【例】试求平板间空气夹层的当量导热系数和对流换热量。设夹层厚度为25mm ，高为200mm ，热表面温度为150℃，冷表面温度为50℃。 【解】(1)计算夹层中空气的平均温度为：
t f =
t w 1+t w 2
=100℃ 2
(2)按100℃查得空气的物性参数为：
λ=3.21×10-2W/(m·℃) ，v =2.13×10-5m 2/s，P rf =0.688 (3)计算G rf ：
g δ39. 81⨯(0. 025)14G rf =2β∆t =⨯⨯100=7. 7⨯10 2-5373v 2. 31⨯10
3
(4)根据教材中表2-7中的计算式，求λe ：
λe
=0. 18G λ
14
rf
⎛δ⎫
⎪=0. 18⨯7. 7⨯10⎝h ⎭
19
(
144
⎛0. 025⎫⨯ ⎪=2. 38 ⎝0. 2⎭
19
℃)] λe =2. 38λ=2. 38⨯3. 21⨯10-2=7. 64⨯10-2 [W/(m·(5)计算对流换热量为：
q =
λe 0. 0764
∆t =⨯100=305. 6(W/m2) δ0. 025
七、流体强制流动时的对流换热 （自学内容）
第三节 辐射换热
一、教学要求
【掌握内容】
（1）辐射换热的基本概念和特点 （2）辐射的吸收、反射和透过 （3）四次方定律的表达式及含义
（4）黑度、灰体的概念和克希霍夫定律的含义 （5）角系数的概念 （6）固体辐射传热的计算 （7）气体辐射的特点 【理解内容】
（1）普朗克定律的含义 （2）维恩定律的含义 （3）角系数的性质及计算 （4）遮热原理 【了解内容】
（1）窑墙小孔的辐射散热计算方法 （2）气体的黑度及吸收率的确定方法 （3）气固辐射传热的计算
二、教学重点与难点
【教学重点】
（1）辐射传热的基本概念及基本定律 （2）辐射传热的基本定律 （3）固体辐射传热量的计算 （4）气体辐射特点 【教学难点】
（1）辐射传热的基本定律 （2）固体间的辐射传热量的计算 （3）气体与固体间的辐射传热量计算
三、教学方法
讲解基本概念及基本定律，分析辐射传热的基本原理，讲、练结合，使学生掌握计算方法。
四、教学内容
一、热辐射的基本概念 1．热辐射的本质和特点
物体以电磁波的方式向外传递能量的过程称为辐射，被传递的能量称为辐射能。
电磁波类型：无线电波、红外线、可见光、紫外线、X 射线和γ射线。（如图3-30所示）
热辐射：由于热的原因而发生的辐射。
热辐射的电磁波是由于物体内部电子振动或激动在运动状态改变时所激发出来的。物体的温度是内部电子激动的根本原因，由此而产生的辐射能也就取决于温度—热辐射。
热射线：能被物体吸收并转变成热能的这部分电磁波。即波长为0.4～1000μm的可见光和红外线。
辐射传热是指物体之间相互辐射和吸收热过程的总效果。最终物体是放热或吸热，要取决于在同一时间内所放射和吸收辐射能之差。温度不同，这种差就不会为零。温度为零时，处于动态平衡。 2．辐射传热的特点：
（1）热辐射不仅进行能量的转移，而且还伴随能量的转化。即热能→辐射能→热能。 （2）辐射能不仅从温度高的物体向低温物体辐射，同时低温物体也向高温物体辐射，但最终结果仍是低温物体比高温物体得到的热量多。
（3）热射线的传播具有与光同样特性，不需要固体、液体或气体作为传播介质，在真空中也能传播。
3．热辐射的吸收、反射、和透过
如图3-31，假设投射到物体上的辐射能为Q 。其中Q A 部分被物体吸收，另一部分Q R
被物体表面反射，其余部分Q D 透过物体。
根据物体表面上的热平衡：
其中，吸收率：A =
Q A
Q
反射率：R =
Q R
Q Q D
Q
透过率：D =
上式变为：A +R +D =1
如果投射到物体上的辐射能全部被吸收，此时A =1，R =D =0，该物体叫绝对黑体（简称黑体）。如果投射到物体上的辐射能全部被反射，此时R =1，A =D =0，该物体叫绝对白体（漫反射时，简称白体）或绝对镜体（镜面反射时，简称镜体）。如果投射到物体上的辐射能全部被透过，此时D =1，A =R =0，该物体叫绝对透热体（简称透热体）。工程上绝大多数的材料都不能让热辐射透过，所以A +R =1。对于气体来说，由于气体几乎没有反射能力，所以A +D =1。 4．黑体辐射模型
自然界中不存在黑体，但可由人工制得。如图3-32所示的模型，在空心体的壁面上开一个小孔，壁面保持均匀的温度，此小孔就具有黑体的性质。射入小孔的热辐射经过多次反射和吸收后，几乎全被吸收，此小孔就像一个表面，小孔的尺寸愈小愈接近黑体。
一般物体的表面愈粗糙愈接近黑体，但能吸收全部红外线的物体不一定能吸收可见光，即白色物体的吸收率不一定小。影响热辐射的吸收和反射的主要因素不是物体表面的颜色，而是其物性、表面状态和温度。 二、热辐射的基本定律 (一) 普朗克辐射定律
单位时间内，物体的单位表面积向半球空间所有方向发射的所有波长的能量总和称物体的全辐射力，简称辐射力，用“E ”表示 ，单位(W/m2) 。包括向各个方向辐射出去的从波长从0～∞范围内的总能量。辐射能按波长的分布是不同的。令dE 代表λ到λ+d λ波长间隔内的辐射能量，对于黑体则有：E λ, 0=
dE 0
，E λ, 0表示单位时间内从黑体单位表面上波d λ
长在λ附近的单位波长间隔内的辐射能，叫黑体的单色辐射力，单位(W/m2) 。
1900年普朗克从理论上揭示了各种不同温度下的黑体单色辐射力按波长分布的规律，其数学公式为：E λ, 0=
c 1λ-5e
c 2T λ
，式中λ为波长，T 为开氏温度，e 为自然对数之底，c 1、c 2
-1
是常数，分别为3.743×10-16W ·m 2，1.4387×10-2m ·K 。在工业炉温度范围内，可见光范围内单色辐射力很小，与红外线范围内的辐射力相比很小。随着温度的升高，可见光相应增多，亮度也逐渐增加，常根据物体加热后温度的变化来近似的判断其温度。严格的说，此定律只适用于黑体或性质和黑体相似的物体，对于有很大反射率的物体是不适用的。 (二) 维恩偏移定律
随着温度的升高，最大单色辐射力点的位置向短波方向移动，最大单色辐射力的波长λ
m (μ
m ) 与温度T 的关系：T λm =2896，E λ, 0=1.286×10-5T 5(W/m3) ，最大的单色辐射力和开氏
温度的5次方成正比。 (三) 斯蒂芬---玻尔茨曼定律
⎛T ⎫定律描述了黑体辐射力和温度之间的关系，数学表达为：E 0=C 0 ⎪，式中C 0
100⎝⎭
为黑体辐射系数，等于5.669W/(m2·K 4) ；T 为黑体的开氏温度。说明黑体的辐射力仅仅与温度有关，而与其他因素无关。 (四) 灰体的特性
由于在任何波长下一切实际物体的单色辐射力都小于同温度下相应黑体的单色辐射力。假如某一物体的辐射光谱连续，而且在任何温度下所有各波长射线的单色辐射力恰恰都是同温度下相应黑体单色辐射力的ελ分数，即：
4
E λ1E E
=λ2=λ3=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=ελ。 E λ1, 0E λ2, 0E λ3, 0
那么，这种物体叫理想灰体（简称灰体），它的辐射叫灰辐射。说明单色黑度不随波长而改变，且等于其总辐射的黑度，因此灰体的单色辐射力可用下式计算：
⎛T ⎫
E =εE 0=εC 0 ⎪
⎝100⎭
大多数工程材料的黑度随温度的升高而增大。工程材料的黑度除黑度与温度有关外，还与材料的性质、表面状态有关。表面越粗糙，材料的黑度愈大。
4
(五) 克希霍夫定律
定律描述了辐射力与吸收力之间的关系。
如图3-41所示，样品表面积为F ，吸收率A ，辐射力E 。当处于热平衡时，物体吸收的能量=发射的能量，EF =E 0FA ①
当样品为黑体时，有E 0F =E 0FA 0② ①/②得出：
E E A
==A ，得出=E 0
A E 0A 0
所以有：
E 1E 2E 3
===⋅⋅⋅⋅⋅=E 0=f (T ) A 1A 2A 3
说明物体的辐射力与其吸收率之间的比值，等于同温度的黑度的辐射力，只与温度有关，与物体的性质无关。
A 1=
E 1
=ε1 E 0
E 2
=ε2 E 0
A 2=
······
A i =
E i
=εi E 0
说明任何物体的吸收率等于同温度下的黑度。 三、物体间的辐射换热 (一) 黑体间的辐射换热
引入角系数
定义：从一个物体表面发出的辐射能落到另一个物体的表面的百分数。表面1对表面2的角系数记作φ12，同理表面2到表面1记作φ21。角系数是一个几何量，其大小与物体的形状和两物体之间的相互位置有关，而与物体的温度和黑度无关。
(二) 角系数的性质 (1)相对性
据任意放置的两黑体表面F 1和F 2，温度相等时的热平衡可写出：
(2)完整性
对于由几个物体组成的封闭体系来说，任何一个表面辐射出去的热量将全部分配到体系内的各个表面上，即：
(3)自见性
一个物体表面辐射出去的热量，有投向自身的性质称为自见性。 平面和凸面：φ11＝0 凹面： φ11≠0 (4)兼顾性
如图：在任意放置的两物体1和3之间设置一透热体2，当不考虑路程对辐射热量的影响，那么就有：(5)分解性
。如果在物体1与3之间设置一不透热体，则φ13＝0。
当两个表面F 1、F 2进行辐射换热时，如单独把F 1分解成F 3和F 4，则：
F 1ϕ12=F 3ϕ32+F 4ϕ42。如果单独把F 2分解成F 5和F 6，则：F 1ϕ12=F 1ϕ15+F 1ϕ16.
常见的几种角系数值
(1)两个无限大的平行平面，如图（a ） 物体1据完整性：据自见性：故：同理：
(2)一个平面和一个曲面组成, 的封闭体系，如图（b ）
物体1据完整性：据自见性：故：
物体2据完整性：
据互变性：
故：
(3)一个物体被另一个物体包围，如图（c ）
物体1据完整性：据自见性：故：
物体2据完整性：据互变性：
故：
(4)两个曲面组成的封闭体系，如图（d ）
如图假设在两个曲面间有一个透热体面积为f ，则：
物体1据兼顾性：
从上可知：
物体2同理：
据辐射能在空间分布的余弦定律，推导得：
(三) 灰体之间的辐射换热 1．灰体F 1表面的辐射传热
投射辐射（G ）：单位时间内投射到单位面积上的总辐射能量。 有效辐射（J ）：单位面积在单位时间内辐射出去的总能量。
如图灰体的有效辐射为：
(1)
灰体表面的净辐射传热量：
（2）
将式（1）代入式（2）消去G ，当A=ε时，可得：
式中
—灰体辐射传热的表面热阻。当灰体表面黑度越大，即表面越接近黑体时，
表面热阻越小。黑体其表面热阻为零，此时，J =E 0。
根据上式，可绘出如图所示的电网络单元。 2、两灰体F 1和F 2之间的辐射传热；
或：
对于仅为两个灰体表面间的辐射传热问题，可用如下图的网络表示。
据网络图可直接按串联电路的计算方法，写出两灰体表面间辐射换热计算式：
（W ）。
化简成如下形式：
（W ）
则系统的导来黑度：。
影响其辐射传热的三个基本因素：两灰体的温度差、角系数和系统的导来黑度。 公式适用：（1）两个灰体处于任意位置时的辐射换热计算
（2）两个灰体组成的封闭体系时的辐射换热计算
可以针对两种特殊情况加以简化：
（1） 两个物体均为平行无限大平板，角系数都等于1，如果有一个的黑度很大，则该系
统的导来黑度将取决于黑度小的平面；
（2） 当两个物体有一个为凸面时，另一个表面积很大，大表面的黑度对系统的导来黑度
影响很小，一支可以忽略不计。
【例】用热电偶测量管道内温度，管道壁温度为120℃，热电偶读数为210℃，热电偶接点
处的对流换热系数为46.52 w ∕（ m 2 ·℃），其黑度为ε=0.85，求管道内的实际温度。 【解】解：热电偶接点与管壁之间的辐射换热量为：
q net , 12
⎡⎛T 1⎫4⎛T 2⎫4⎤=ε1C 0⎢ ⎪- ⎪⎥
⎢⎣⎝100⎭⎝100⎭⎥⎦
管道内的热空气通过对流换热传递给热电偶接点的热量为：
q net , g 1=αc (t g -t 1)，t g 为空气的真实温度，℃
热电偶接点稳定时达到热平衡：q net , 12=q net , g 1
⎡⎛T 1⎫4⎛T 2⎫4⎤
所以有：ε1C 0⎢ ⎪- ⎪⎥=αc (t g -t 1)
100100⎭⎝⎭⎥⎢⎣⎝⎦
εC
t g =10
αc
44
⎡⎛T 1⎫4⎛T 2⎫4⎤0. 85⨯5. 669⎡⎛483⎫⎛393⎫⎤
⎪- ⎪⎥+t 1=⎪- ⎪⎥+210=241. 7℃ ⎢ ⎢
46. 52⎣⎢⎝100⎭⎝100⎭⎥⎢⎦⎣⎝100⎭⎝100⎭⎥⎦
如何减小热电偶测量的误差：
（1）测温误差与热电偶外套材料的黑度成正比，宜采用表面比较光滑、黑度比较小的材料作为热电偶的外套材料；
（2）测温误差与对流换热系数成反比，说明管道内的气流速度愈快，误差愈小，宜采用抽吸式热电偶；
（3）在热电偶节点处加着热罩，以减少热辐射的损失，来减小误差 四、遮热板和遮热罩的作用 1．遮热板
（1）不设遮热板时的传热量：
(2)设有遮热板时的传热量：
（3）净辐射热量的变化：
有：①当平面1和平面2黑度相等时（ε1=ε2=ε），则：
净辐射热量的变化：
从公式可知：ε3减小，ε12＇减小，Q Net,12＇减小。 ②当平面和遮热板的黑度相等（ε1=ε2=ε3=ε）时，则：
净辐射热量的变化：
可以推论：加入块黑度均为的遮热板，辐射换热将减少为原来的1/n+1。 注意：遮热效果与遮热板的位置无关。 2、遮热罩
①不设遮热罩时净辐射热量为：
②设有遮热罩时净辐射热量:
⎡⎛T 1⎫4⎛T 2⎫4⎤Q =εC 0⎢ ⎪- ⎪⎥
⎢⎣⎝100⎭⎝100⎭⎥⎦
'
12
' 12
' ε12
1
⎫⎫F 1⎛21F 1⎛1
⎪⎪+ -1+-1 ⎪ ε1F 2⎝ε2⎭F 3⎝ε3⎪⎭
③净辐射热量变化：
从上式看出:
①当F 1/F 3=常数，ε3减小，Q 12减小；
②ε3＝常数，F 1/F 3增大，Q 12减小，即遮热罩愈靠近物体1，其隔热效果愈好。
【例】两平行大平壁之间的辐射换热，温度分别为1000℃和200℃，平壁的黑度各为0.8和0.5，如果中间加进一块铝箔遮热板黑度为0.05, 试计算两平壁间的辐射换热量及辐射热减少的百分率。
【解】加入遮热板后辐射换热
净辐射热量变化：
辐射热减少的百分率为： 100%-5.45%=94.55%
第四节 综合换热
一、教学要求
【掌握内容】
（1）综合传热的概念及传热过程分析 （2）一种流体通过单层平壁传热给另一种流体 （3）一种流体通过单层圆筒壁传热给另一种流体 【理解内容】
（1）一种流体通过多层平壁传热给另一种流体 （2）一种流体通过多层圆筒壁传热给另一种流体 （3）窑体表面的散热的计算 【了解内容】 传热的统一公式
二、教学重点与难点
【教学重点】
（1）一种流体通平壁传热给另一种流体 （2）一种流体通过圆筒壁传热给另一种流体 【教学难点】
一种流体通过圆筒壁传热给另一种流体
三、教学方法
启发学生应用所学的传热的基本论理知识分析综合传热过程，掌握其特点，以便进一步掌握计算方法。
四、教学内容
一、一种流体通过器壁将热量传给另一种流体 (一) 壁面为平壁
此种综合换热分为三个过程。包括： 流体2与壁面的对流换热：q 2=α2(t 2-t w 2)
壁面内导热：q 3=
λ
(t w 2-t w 1) δ
外壁与流体1的对流换热：q 1=α1(t w 1-t 1) 达到热平衡时，q 1=q 2=q 3
q =
1
1++α1λα2
1
(t 2-t 1)
所以，K =
11
α1
+
1+λα2
为综合换热系数，热阻为R =
1
α1
+
δ1
。 +
λα2
多层平壁仅比单层平壁多增加若干层内热阻，其热阻为：
∑R =
1
α1
+∑
δi 1
+α2i =1λi
n
(二) 器壁为圆筒壁
q =πd 2α2(t 2-t w 2)=同理可推出，2
t 2-t w 2
1πd 2α2
q 3=
t w 2-t w 1
d 1
ln 1
2πλd 2
q 1=πd 1α1(t w 1-t 1)=
t w 1-t 1
1πd 1α1
所以，q =
t 2-t 1
d 1111
+ln +
πd 2α22πλd 2πd 1α1
t 2-t 1
n
d i 111
+∑ln +
πd 2α2i =12πλi d i +1πd 1α1
对于多层筒壁可推出，q =
二、换热器
定义：使热量由高温流体传递到低温流体的装置。
换热器的设计计算目的：
① 确定换热面积，以确定换热器的尺寸； ② 确定器壁的温度，选择换热器的材料； ③ 通过阻力计算，确定流体阻力，选择动力系统。
换热面积的计算
换热面积可用下式进行计算：F =1．传热量Q 的计算
对于两种流体，分别为1冷流体，2热流体。 ′，入口参数标记；〞，出口参数标记。
G 1、G 2冷热两种流体的质量流量，C 1、C 2冷热两种流体的热容。 Q =热流体的失热=冷体的吸热
Q
K ∆t av
'-C 2t 2'')=G 1(C 1t 1''-C 1')，效率η=100%。 理想换热器：G 2(C 2t 2
'-C 2t 2'')>G 1(C 1t 1''-C 1') 由于换热器本身的吸热和散发到环境中的热量，G 2(C 2t 2
2．平均温差∆t av 的计算
令W 1=G 1C 1，W 2=G 2C 2分别为冷热两种流体的热容量。 对于逆流式换热器：dF 上的热平衡方程式。
dQ =-W 1dt 1=-W 2dt 2
负号表明dF 增加时，t 1、t 2均减小， 所以，dt 1=-
dQ dQ
，dt 2=- W 1W 2
⎛dQ dQ ⎫⎛11⎫
⎪ ⎪dt 2-dt 1=- -=-dQ - W ⎪ ⎪ W W W 1⎭1⎭⎝2⎝2
又有dQ =K (t 2-t 1)dF 所以-d (t 2-t 1)=K (t 2-t 1)
⎛11⎫
-⎪dF ⎪⎝W 2W 1⎭
-
⎛1d (t 2-t 1)1⎫
⎪=K -dF ⎪t 2-t 1⎝W 2W 1⎭
积分：-
⎰
∆t 2
∆t 1
⎛1d (t 2-t 1)1⎫F
⎪=K -dF ⎰ ⎪0t 2-t 1⎝W 2W 1⎭
⎛1∆t 11⎫
ln =KF -⎪⎪∆t 2⎝W 2W 1⎭
⎛11⎫
Q - W W ⎪⎪
21⎭⎝ =
∆t ln 1
∆t 2
又有KF =
Q
，所以∆t av
∆t av
将dt 1=-
dQ dQ
和dt 2=-在t 1、t 2的变化范围内积分， W 1W 2
可得
Q Q '-t 2'' =t 2''-t 1'，=t 1
W 2W 1
'-t 2'')-(t 1''-t 1')(t 2'-t 1'')-(t 2''-t 1')(t 2
=
∆t ln 1
∆t 2
∆t ln 1
∆t 2
所以有∆t av =
'-t 1''，∆t 2=t 2''-t 1' 从图中可以看出，∆t 1=t 2
所以∆t av =
∆t 1-∆t 2
。 ∆t 1ln ∆t 2
式中∆t 1，∆t 2为换热器入出口处的温度差，也适用于顺流式。
积分：