实验13 弦振动的研究
任何一个物体在某个特定值附近作往复变化，都称为振动。振动是产生波动的根源，波动是振动的传播。均匀弦振动的传播，实际上是两个振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播的叠加，在一定条件下可形成驻波。本实验验证了弦线上横波的传播规律：横波的波长与弦线中的张力的平方根成正比，而与其线密度（单位长度的质量）的平方根成反比。 一. 实验目的
1. 观察弦振动所形成的驻波。
2. 研究弦振动的驻波波长与张力的关系。 3. 掌握用驻波法测定音叉频率的方法。 二. 实验仪器
电动音叉、滑轮、弦线、砝码、钢卷尺等。
三. 实验原理
1. 两列波的振幅、振动方向和频率都相同，且有恒定的位相差，当它们在媒质内沿一条直线相向传播时，将产生一种特殊的干涉现象——形成驻波。如图3-13-1所示。在音叉一臂的末端系一根水平弦线，弦线的另一端通过滑轮系一砝码拉紧弦线。当接通电源，调节螺钉使音叉起振时，音叉带动弦线A端振动，由A端振动引起的波沿弦线向右传播，称为入射波。同时波在C点被反射并沿弦线向左传播，称为反射波。这样，一列持续的入射波与其反射波在同一弦线上沿相反方向传播，将会相互干涉。当C点移动到适当位置时，弦线上就形成驻波。此时，弦线上有些点始终不动，称为驻波的波节；而有些点振动最强，称为驻波的波腹。
2. 图3-13-2所示为驻波形成的波形示意图。在图中画出了两列波
在T=0，T/4，T/2时刻的波形，细实线表示向右传播的波，虚线表示
向左传播的波，粗实线表示合成波。如取入射波和反射波的振动相位
始终相同的点作为坐标原点，且在X=0处，振动点向上到达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：
（3-13-1）
（3-13-2）
式中
为波的振幅，
为频率，λ为波长，为弦线上质点的坐标位置。
两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：
（3-13-3）
由上式可知，入射波与反射波合成后，弦线上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的
振幅为，即驻波的振幅与时间无关，而与质点的位置有关。
当时，有： （ K=0、1、2．．．） （3-13-4）
即 在这些点处振幅为零，是驻波波节的位置。
当时，有 （ K=0，1，2，．．．）
即 （3-13-5）
在这些点处振幅最大，是驻波波腹的位置。
由以上讨论可知，波节处的振动点振动的振幅为零，始终处于静止；波腹处振动点的振幅最大；其他各点处振动点的振幅在零与最大之间。两个相邻波节或两相邻波腹之间的距离为λ/2，波腹和波节交替作等距离排列。相邻两波腹或波节间是半个波长。因此，只要测得相邻两波节或波腹间的距离，就能确定该波的波长。而且由于固定弦的两端点A和点C是用劈尖支住的，故这两点一定是波节。
3. 假定入射波的波长为λ，则根据入射波和反射波的波动方程及波的叠加原理，可以
推知两相邻波节或两相邻波腹之间的距离。则弦线的振动弦长L必须满足：
（=1，2，．．．） （3-13-6）
即振动弦长L（AC之间的距离）为半波长的整数倍时，才能形成振幅最大且稳定的驻波。
由上式亦可得到沿弦线传播的横波波长为
（3-13-7）
式中n为弦线上驻波的波腹数，显然在驻波实验中，只要测得两相邻波节或两相邻波腹之间的距离，就能确定该波的波长。
4. 当横波沿弦线传播时，在弦线张力T不变的情况下，根据波动理论容易得到，横波的传播速度V、张力T和弦线的线密度ρ（单位长度的质量）之间有如下关系：
（3-13-8）
设弦线的振动频率为f，弦线上传播的横波波长为λ，则根据：
可得 （3-12-9）
这是弦振动时驻波波长与张力的关系式。如果音叉起振，则弦线上各点将在音叉的带动下振动，弦线的振动频率f就是音叉振动频率。这样，在音叉振动频率和弦线密度确定的情况下，波长λ仅是张力T的函数。另外，将（3-13-9）式代入（3-13-10）式可得
利用上式可以求得弦线的振动频率。
（3-13-10）
四. 实验内容
１.调节仪器
① 启动音叉振动，并使之振动稳定； ② 调节滑轮，使弦线水平；
③ 调节音叉，使得音叉臂与弦线处于同一条直线上。
2. 按数据处理表格的砝码质量和对应的波幅数n分别调出稳定的驻波波形。并测出其对应的长度L。
五. 数据处理
1. 实验数据记录表格： 表3-13-1 弦线线密度砝码质量m（g） 25 75 125 200
= g/cm， 重力加速度g=979.44cm/s
弦线长L（m）
波 长 λ（m）
波 速 V（m/s）
频 率（Hz）
2
（g 波 幅 数n
1/2
6 5 4 3
300 2
２. 数据处理具体要求：
（1）由测量数据分别计算相应的波长λ、波速V和频率
Hz
Hz
；
（2）由式（ ± ）Hz
做λ～曲线，并由图求出直线斜率，进而求得频率
。
实验13 弦振动的研究
任何一个物体在某个特定值附近作往复变化，都称为振动。振动是产生波动的根源，波动是振动的传播。均匀弦振动的传播，实际上是两个振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播的叠加，在一定条件下可形成驻波。本实验验证了弦线上横波的传播规律：横波的波长与弦线中的张力的平方根成正比，而与其线密度（单位长度的质量）的平方根成反比。 一. 实验目的
1. 观察弦振动所形成的驻波。
2. 研究弦振动的驻波波长与张力的关系。 3. 掌握用驻波法测定音叉频率的方法。 二. 实验仪器
电动音叉、滑轮、弦线、砝码、钢卷尺等。
三. 实验原理
1. 两列波的振幅、振动方向和频率都相同，且有恒定的位相差，当它们在媒质内沿一条直线相向传播时，将产生一种特殊的干涉现象——形成驻波。如图3-13-1所示。在音叉一臂的末端系一根水平弦线，弦线的另一端通过滑轮系一砝码拉紧弦线。当接通电源，调节螺钉使音叉起振时，音叉带动弦线A端振动，由A端振动引起的波沿弦线向右传播，称为入射波。同时波在C点被反射并沿弦线向左传播，称为反射波。这样，一列持续的入射波与其反射波在同一弦线上沿相反方向传播，将会相互干涉。当C点移动到适当位置时，弦线上就形成驻波。此时，弦线上有些点始终不动，称为驻波的波节；而有些点振动最强，称为驻波的波腹。
2. 图3-13-2所示为驻波形成的波形示意图。在图中画出了两列波
在T=0，T/4，T/2时刻的波形，细实线表示向右传播的波，虚线表示
向左传播的波，粗实线表示合成波。如取入射波和反射波的振动相位
始终相同的点作为坐标原点，且在X=0处，振动点向上到达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：
（3-13-1）
（3-13-2）
式中
为波的振幅，
为频率，λ为波长，为弦线上质点的坐标位置。
两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：
（3-13-3）
由上式可知，入射波与反射波合成后，弦线上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的
振幅为，即驻波的振幅与时间无关，而与质点的位置有关。
当时，有： （ K=0、1、2．．．） （3-13-4）
即 在这些点处振幅为零，是驻波波节的位置。
当时，有 （ K=0，1，2，．．．）
即 （3-13-5）
在这些点处振幅最大，是驻波波腹的位置。
由以上讨论可知，波节处的振动点振动的振幅为零，始终处于静止；波腹处振动点的振幅最大；其他各点处振动点的振幅在零与最大之间。两个相邻波节或两相邻波腹之间的距离为λ/2，波腹和波节交替作等距离排列。相邻两波腹或波节间是半个波长。因此，只要测得相邻两波节或波腹间的距离，就能确定该波的波长。而且由于固定弦的两端点A和点C是用劈尖支住的，故这两点一定是波节。
3. 假定入射波的波长为λ，则根据入射波和反射波的波动方程及波的叠加原理，可以
推知两相邻波节或两相邻波腹之间的距离。则弦线的振动弦长L必须满足：
（=1，2，．．．） （3-13-6）
即振动弦长L（AC之间的距离）为半波长的整数倍时，才能形成振幅最大且稳定的驻波。
由上式亦可得到沿弦线传播的横波波长为
（3-13-7）
式中n为弦线上驻波的波腹数，显然在驻波实验中，只要测得两相邻波节或两相邻波腹之间的距离，就能确定该波的波长。
4. 当横波沿弦线传播时，在弦线张力T不变的情况下，根据波动理论容易得到，横波的传播速度V、张力T和弦线的线密度ρ（单位长度的质量）之间有如下关系：
（3-13-8）
设弦线的振动频率为f，弦线上传播的横波波长为λ，则根据：
可得 （3-12-9）
这是弦振动时驻波波长与张力的关系式。如果音叉起振，则弦线上各点将在音叉的带动下振动，弦线的振动频率f就是音叉振动频率。这样，在音叉振动频率和弦线密度确定的情况下，波长λ仅是张力T的函数。另外，将（3-13-9）式代入（3-13-10）式可得
利用上式可以求得弦线的振动频率。
（3-13-10）
四. 实验内容
１.调节仪器
① 启动音叉振动，并使之振动稳定； ② 调节滑轮，使弦线水平；
③ 调节音叉，使得音叉臂与弦线处于同一条直线上。
2. 按数据处理表格的砝码质量和对应的波幅数n分别调出稳定的驻波波形。并测出其对应的长度L。
五. 数据处理
1. 实验数据记录表格： 表3-13-1 弦线线密度砝码质量m（g） 25 75 125 200
= g/cm， 重力加速度g=979.44cm/s
弦线长L（m）
波 长 λ（m）
波 速 V（m/s）
频 率（Hz）
2
（g 波 幅 数n
1/2
6 5 4 3
300 2
２. 数据处理具体要求：
（1）由测量数据分别计算相应的波长λ、波速V和频率
Hz
Hz
；
（2）由式（ ± ）Hz
做λ～曲线，并由图求出直线斜率，进而求得频率
。