浅析用马尔科夫链预测大学生电脑市场占有率

浅析用马尔科夫链预测大学生电脑市场占有率

摘要：

本文通过对马尔可夫过程理论中用于分析随机过程方法的研究,提出了将转移概率矩阵法应用于企业产品的市场占有率分析当中,认为该理论的无后效性和稳定性特点能够帮助企业在纵向和横向资讯不够充分的情况下克服预测的误差和决策的盲目性,并以大学生电脑市场为例，给出了均衡状态下的市场占有率模型,以期通过不同方案的模拟分析,帮助企业优化决策.

关键字：马尔可夫链;转移概率;矩阵;市场占有率;

正文：

一 背景介绍——马尔科夫链的产生

马尔可夫（MAKOV）是俄国著名的数学家马尔科夫出于扩大极限定理应用范围的目的，马尔科夫在20世纪初开始考虑相依随机变量序列的规律，并从中选出了最重要的一类加以研究。1906年他在《大数定律关于相依变量的扩展》一文中，第一次提到这种如同锁链般环环相扣的随机变量序列，其中某个变量各以多大的概率取什么值，完全由它前面的一个变量来决定，而与它更前面的那些变量无关。这就是被后人称作马尔科夫链的著名概率模型。也是在这篇论文里，马尔科夫建立了这种链的大数定律。

用一个通俗的比喻来形容，一只被切除了大脑的白鼠在若干个洞穴间的蹿动就构成一个马尔科夫链。这只白鼠已没有了记忆，瞬间而生的念头决定了它从一个洞穴蹿到另一个洞穴；当其所在位置确定时，它下一步蹿往何处与它以往经过的路径无关。这一模型的哲学意义是十分明显的，用前苏联数学家辛钦（1894－1959〕的话来说，就是承认客观世界中有这样一种现象，其未来由现在决定的程度，使得我们关于过去的知识丝毫不影响这种决定性。这种在已知“现在”的条件下，“未来”与“过去”彼此独立的特性就被称为马尔科夫性，具有这种性质的随机过程就叫做马尔科夫过程，其最原始的模型就是马尔科夫链。

这即是对荷兰数学家惠更斯（Ch. Huygens,1629－1659）提出的无后效原理的概率推广，也是对法国数学家拉普拉斯（P. S. Laplace,1749－1827）机械决定论的否定。

这里应该指出，马尔科夫所建立的概率模型不但具有深刻的哲学意义，而且具有真实的物质背景，在他的工作之前或同时，一些马尔科夫链或更复杂的随机过程的例子已出现在某些人的研究中，只不过这些人没有自觉地认识到这类模型的普遍意义或用精确的数学语言表述出来罢了。例如苏格兰植物学家布朗 ( R.

Brown,1773－1858） 于1827年发现的悬浮微粒的无规则运动、英格兰遗传学家高尔顿（F.Galton,1822－1911） 于1889年提出的家族遗传规律、荷兰物理学家埃伦费斯特 ( P. Ehrenfest,1880－1933） 于1907年关于容器中分子扩散的实验，以及传染病感染的人数，谣言的传播，原子核中自由电子的跃迁，人口增长的过程等等，都可用马尔科夫链或过程来描述。也正是在统计物理、量子力学、遗传学以及

社会科学的若干新课题、新事实面前，决定论的方法显得百孔千疮、踵决肘见。

有趣的是，马尔科夫本人没有提到他的概率模型在物理世界的应用，但是他利用了语言文学方面的材料来说明链的性质。在《概率演算》第四版中，他统计了长诗《叶甫盖尼·奥涅金》中元音字母和辅音字母交替变化的规律：这是长诗开头的两句，意为：“我不想取悦骄狂的人生，只希望博得朋友的欣赏。”诗人那火一般的诗篇在数学家那里变成了一条冷冰冰的锁链：在这条锁链上只有两种链环，C代表辅音、 代表元音（为了使问题简化起见，不仿把两个无音字母算作辅音）。马尔科夫分别统计了在C后面出现C和 的概率p和1－p，以及在 后出现C和 的概率q和1－q，把结果与按照俄语拼音规则计算出的结果进行比较，证实了语言文字中随机的（从概率的意义上讲）字母序列符合他所建立的概率模型。

二 马尔科夫链的相关概念

1 基本概念

1.1 随机变量 、 随机函数与随机过程

一变量x，能随机地取数据（但不能准确地预言它取何值），而对于每一个数值或某一个范围内的值有一定的概率，那么称x为随机变量。

假定随机变量的可能值xi发生概率为Pi，即P(x = xi) = Pi，对于xi的所有n个可能值，有离散型随机变量分布列：∑Pi = 1 对于连续型随机变量，有 ∫P(x)dx = 1

在试验过程中，随机变量可能随某一参数（不一定是时间）的变化而变化. 如测量大气中空气温度变化x = x(h），随高度变化。这种随参变量而变化的随机变量称为随机函数。而以时间t作参变量的随机函数称为随机过程。也就是说：随机过程是这样一个函数，在每次试验结果中，它以一定的概率取某一个确定的，但预先未知的时间函数。

1.2 马尔科夫过程

随机过程中，有一类具有“无后效性性质”，即当随机过程在某一时刻to所处的状态已知的条件下，过程在时刻t>to时所处的状态只和to时刻有关，而与to以前的状态无关，则这种随机过程称为马尔科夫过程。即是：ito为确知，it(t>to）只与ito有关，这种性质为无后效性，又叫马尔科夫假设。

1.3 马尔科夫链

时间和状态都是离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链。例：蛙跳问题 假定池中有N张荷叶，编号为1，2，3，„„，N，即蛙跳可能有N个状态（状态确知且离散）。青蛙所属荷叶，为它目前所处的状态；因此它未来的状态，只与现在所处状态有关，而与以前的状态无关（无后效性成立）

2 状态转移矩阵

2.1 一步状态转移矩阵

系统有N个状态，描述各种状态下向其他状态转移的概率矩阵

P11 P12 „„ P1N

定义为

P = P21 P22 „„ P2N

: : :

PN1 PN2 „„ PNN

这是一个N阶方阵，满足概率矩阵性质

1） Pij ≥ 0,i,j = 1,2，„„，N 非负性性质

2） ∑ Pij = 1 行元素和为1,i=1,2，„N

如：W1 = [1/4,1/4,1/2,0] 概率向量

W2 = [1/3,0,2/3]

W3 = [1/4,1/4,1/4,1/2] 非概率向量

W4 = [1/3,1/3,-1/3,0,2/3]

3） 若A和B分别为概率矩阵时，则AB为概率矩阵。

2.2 稳定性假设

若系统的一步状态转移概率不随时间变化，即转移矩阵在各个时刻都相同，称该系统是稳定的。这个假设称为稳定性假设。蛙跳问题属于此类，后面的讨论均假定满足稳定性条件。

三 马尔科夫链应用于分析预测市场占有率

现代社会，马尔科夫链越来越多被应用于经济活动中。通过对市场现象的大量观察, 人们发现同类品的市场占有率分布是一个随时间不断变化的随机过程, 并且当期市场占有率与前一期的市场占有率有关, 而与再远期的关联却甚是微小。对市场占有率的这一定性认识, 及其与马尔可夫性的吻合, 启发了市场研究者们, 于是广泛地将马尔可夫理论应用于市场占有率的分析和预测中。

马尔可夫过程主要用于对企业产品的市场占有率的预测。我们知道，事物的发展状态总是随着时间的推移而不断变化的，对于有些事物的发展，我们需要综合考察其过去与现在的状态，才能预测未来。在这种思维方式指导下，市场预测中的许多预测方法，如长期趋势变动预测法、移动平均法、指数平滑法、季节变动预测法等等都需要掌握一定时期内预测目标过去及现在的数据资料，再利用数学模型对未

来进行预测。

而马尔可夫预测法却认为，只要当事物的现在状态为已知时，人们就可以预测将来的状态而不需要知道事物的过去状态，即人们只要掌握企业产品目前在市场上的占有份额，就可以预测将来该企业产品的市场占有率。概括起来，若把需要掌握过去和现在资料进行预测的方法称非马尔可夫过程，则非马尔可夫预测方法的特点是：回顾过去，立足现在，展望未来；而马尔可夫预测法的特点是：立足现在，展望未来，也即所谓的“无后效性”。

应用马尔科夫链分析预测市场占有率一般步骤为：

1、调查目前的市场占有率情况，得到初始市场占有率S0；

2、调查消费者购买产品时的变动情况，得到状态转移概率P；

3、建立数学模型；

根据有关数据统计，依据随机变量市场占有率数据，对0,进行适当划分，计算得转移概率Pij ，通过Pij=P(X1 = j | X0 = i),可以得到P=Pij,i,jE，然后

计算P(m)=P(m)

ij,i,jE。由此可构建市场占有率预测模型，即m阶的马尔柯

夫链Im：n0的转移矩阵：

p11p21(m)P = pN1p12p22pN2p1Np2N=pNNmpm （1—1）

得到m阶的转移概率，就可以得到m个周期后的市场占有率的转移矩阵。

4、预测未来市场的占有率

(0)(0)(0)假设初始市场占有率为 S(0)(P1,P2,,PN)，则有m个周期之后的市场占有

率为S(m)S(0)PmS(m1)P

即得

S(m)S(m1)PS(0)P(p,p,pm(0)

1(0)2(0)np11p21)pn1p12p22pn2p1np2n（1—2） pnnm

如果按公式（1-2）继续逐步求市场占有率，会发现，当m大到一定的程度，S

(m) 将不会有多少改变，即有稳定的市场占有率，设其稳定值为：

S(p1,p2,,pn)，且满足p1p2pn1．

如果市场的顾客流动趋向长期稳定下去，则经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态，即顾客的流动，不会影响市场的占有率，而且这种占有率与初始分布无关．按照实际意义，我们可以近似的看待最终的市场占有率，得出计算式：

SSPn 1Pki0

（1—3）

一般N个状态后的稳定市场占有率（稳态概率）S(p1,p2,pN)可通过解方程组

(p,p,p)(p,p,pn12n12

n

pk1k1p11p21)pn1p12p22p1np2n （1—4） pnnpn2

求得最终稳态时的市场占有率P，而（1—4）的前N个方程中只有N-1个是独立的，可任意删去一个．

四 用马尔科夫链分析预测大学生笔记本电脑市场占有率 随着现代科技的迅速发展，笔记本电脑的使用早已经相当普遍了。而大学生无疑也是笔记本更换最可能的群体之一，本文中，通过对现有大学生的调查问卷得出

大学生的现有笔记本的各品牌的市场占有率，并统计大家的更换意向，得出状态转移矩阵，从而运用上文中所介绍的马尔科夫链的计算和预测方法，给出我们的统计和预测结果。

共统计，联想，戴尔，惠普，华硕，索尼 ，外星人 ，苹果 七个品牌。

预测联想，戴尔，惠普，华硕，索尼 ，外星人 ，苹果 不同笔记本电脑品牌在未来的市场占有情况，其具体步骤如下：

第一步 进行市场调查．主要调查以下两件事：

(1)目前的市场占有情况．

经过100份调查问卷数据的整理，筛选，统计，得出联想等不同品牌各占市场份额为联想34％，戴尔17％，惠普14％，华硕13％，索尼 7％，外星人 6％ 苹果3% 其他6%

所以S(0)（0.34，0.17,0.14,0.13.0.07,0.06,0.03,0.06）

为目前市场的占有分布或称初始分布．

(2)查清使用对象的流动情况．

现在使用联想品牌的人数为34，这34 人中未来下期的购买意向变动情况分别为 50%将继续购买联想，12%选择戴尔，10%选择惠普 8%选择华硕 7%选择索尼 4%选择外星人 3%选择苹果6%选择其他。现在使用戴尔品牌的人数为17，这17人中未来下期的购买意向变动情况分别为 13%将选择联想，45%选择继续购买戴尔，10%选择惠普 8%选择华硕 8%选择索尼 4%选择外星人 5%选择苹果7%选择其他。现在使用惠普品牌的人数为14，这14人中未来下期的购买意向变动情况分别为 15%选择联想，8%选择戴尔，43%选择继续购买惠普 9%选择华硕 8%选择索尼 6%选择外星人 5%选择苹果6%选择其他。现在使用华硕品牌的人数为13，这13人中未来下期的购买意向变动情况分别为 20%选择联想，12%选择戴尔，10%选择惠普 35%选择继续购买华硕 7%选择索尼 5%选择外星人 4%选择苹果7%选择其他。现在使用索尼品牌的人数为7，这7人中未来下期的购买意向变动情况分别为 13%选择联想，10%选择戴尔，8%选择惠普 8%选择华硕 45%选择继续购买索尼 4%选择外星人 5%选择苹果7%选择其他。现在使用外星人品牌的人数为6，这6人中未来下期的购买意向变动情况分别为 12%选择联想，10%选择戴尔，8%选择惠普 7%选择华

硕 4%选择索尼 50%选择继续购买外星人 3%选择苹果6%选择其他。现在使用苹果品牌的人数为3，这3人中未来下期的购买意向变动情况分别为 15%选择联想，11%选择戴尔，9%选择惠普 8%选择华硕 6%选择索尼 5%选择外星人 40%选择继续购买苹果6%选择其他。现在使用其他品牌的人数为6，这6人中未来下期的购买意向变动情况分别为 22%选择联想，9%选择戴尔，14%选择惠普 12%选择华硕 8%选择索尼 9%选择外星人8%选择继续购买苹果20%选择其他。

0.12,0.10,0.08，0.07,0.04,0.03,0.060.5，0.13，0.45,，0.10,0.08,0.08,0.04,0.05，0.070.15,0.08,0.43,0.09，0.08,0.06,0.05，0.060.35,0.07,0.05,0.04，0.070.20,0.12,0.10，得到转移矩阵P 0.10,0.08,0.08,0.45，0.04,0.05，0.070.13，

0.12,0.10,0.08，0.07,0.04,0.5，0.03,0.060.15,0.11,0.09，0.08,0.06,0.05，0.40,0.060.22,0.09,0.14,0.12,0.08,0.09,0.08,0.20

第二步 建立数学模型．

由P我们可以用MATLAB计算任意的k步转移矩阵，如三步转移矩阵：>> p=[0.5 0.12 0.10 0.08 0.07 0.04 0.03 0.06;0.13 0.45 0.10 0.08 0.08 0.04 0.05 0.07;0.15 0.08 0.43 0.09 0.08 0.06 0.05 0.06;0.20 0.12 0.10 0.35 0.07 0.05 0.04 0.07;0.13 0.10 0.08 0.08 0.45 0.04 0.05 0.07;0.12 0.10 0.08 0.07 0.04 0.5 0.03 0.06;0.15 0.11 0.09 0.08 0.06 0.05 0.40 0.06;0.22 0.09 0.14 0.12 0.08 0.09 0.08 0.20];

>> y=p^3

y =

0.2683 0.1589 0.1431 0.1119 0.1084 0.0775 0.0610 0.0736

0.2189 0.1942 0.1430 0.1122 0.1120 0.0782 0.0690 0.0754

0.2259 0.1450 0.1782 0.1143 0.1108 0.0872 0.0678 0.0734

0.2402 0.1583 0.1431 0.1317 0.1080 0.0821 0.0645 0.0749

0.2185 0.1517 0.1356 0.1120 0.1627 0.0777 0.0691 0.0756

0.2112 0.1510 0.1343 0.1076 0.0920 0.1742 0.0593 0.0730

0.2255 0.1556 0.1394 0.1117 0.1036 0.0824 0.1110 0.0734

0.2438 0.1542 0.1515 0.1192 0.1108 0.0952 0.0731 0.0779

整理得到下面的矩阵

0.1589 0.1431 0.1119 0.1084 0.0775 0.0610 0.0736 0.2683 0.1942 0.1430 0.1122 0.1120 0.0782 0.0690 0.0754 0.2189 0.2259 0.1450 0.1782 0.1143 0.1108 0.0872 0.0678 0.0734 0.1583 0.1431 0.1317 0.1080 0.0821 0.0645 0.0749 0.2402 0.2185 0.1517 0.1356 0.1120 0.1627 0.0777 0.0691 0.0756 0.2112 0.1510 0.1343 0.1076 0.0920 0.1742 0.0593 0.0730 0.2255 0.1556 0.1394 0.1117 0.1036 0.0824 0.1110 0.0734 0.2438 0.1542 0.1515 0.1192 0.1108 0.0952 0.0731 0.0779

从这个矩阵的各行可知三个季度以后各品牌顾客的流动情况．

第三步 进行预测．

(k)(k)(k)(k)(k)(k)(k)(k),p2,p3，p4，p5p6，p7，p8)表示预测对象k季度以后的设S(k)(p1

(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0),p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8) 市场占有率，初始分布则为S(0)(p1

市场占有率的预测模型为

S(k)S(0)PkS(k1)P （1-6）

（0.34，0.17,0.14,0.13.0.07,0.06,0.03,0.06）现在，由第一步，我们有S(0)，由

此，我们可预测任意时期各品牌的市场占有率．三个季度以后的预测值为：

(3))(3)(3)(3)(3)(3)S(3)(p1(3),p2,p(3

3,p4,p5,p6,p7,p8)S(0)P3

(0.34，0.17,0.14,0.13.0.07,0.06,0.03,0.06）

0.1589 0.1431 0.1119 0.1084 0.0775 0.0610 0.0736 0.2683 0.1942 0.1430 0.1122 0.1120 0.0782 0.0690 0.0754 0.2189 0.2259 0.1450 0.1782 0.1143 0.1108 0.0872 0.0678 0.0734 0.2402 0.1583 0.1431 0.1317 0.1080 0.0821 0.0645 0.0749 0.2185 0.1517 0.1356 0.1120 0.1627 0.0777 0.0691 0.0756 0.2112 0.1510 0.1343 0.1076 0.0920 0.1742 0.0593 0.0730 0.2255 0.1556 0.1394 0.1117 0.1036 0.0824 0.1110 0.0734 0.2438 0.1542 0.1515 0.1192 0.1108 0.0952 0.0731 0.0779

(0.2407 0.1615 0.1473 0.1150 0.1121 0.0866 0.0665 0.0744)

依次类推下去可以求得以后任一个季度的市场占有率，最终达到一个稳定的市场占有率。

当市场出现平衡状态时，从公式（1-3）可得方程如下：

0.12,0.10,0.08，0.07,0.04,0.03,0.060.5，0.13，0.45,，0.10,0.08,0.08,0.04,0.05，0.070.15,0.08,0.43,0.09，0.08,0.06,0.05，0.060.35,0.07,0.05,0.04，0.070.20,0.12,0.10，(p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8)(p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8)0.13，0.10,0.08,0.08,0.45，0.04,0.05，0.070.12,0.10,0.08，0.07,0.04,0.5，0.03,0.060.15,0.11,0.09，0.08,0.06,0.05，0.40,0.060.22,0.09,0.14,0.12,0.08,0.09,0.08,0.20

由此得

p0.5p0.12p0.10p0.08p0.07p0.04p0.03p0.06p1123456780.130.450.100.080.080.040.050.07ppppppppp212345678p30.15p10.08p20.43p30.09p40.08p50.06p60.05p70.06p8p40.20p10.12p20.10p30.35p40.07p50.05p60.04p70.07p8p0.13p0.10p0.08p0.08p0.45p0.04p0.05p0.07p123456785p0.12p0.10p0.08p0.07p0.04p0.5p0.03p0.06p123456786p0.15p0.11p0.09p0.08p0.06p0.05p0.40p0.06p

123456787

0.22p0.09p0.14p0.12p0.08p0.09p0.08p0.20pP812345678

经整理，并加上条件p1p2p3p4p5p6p7p81，得

p10.2348 p20.1600 p30.1465 p40.1143

p5 0.1136 p6 0.0896 p70.0685 p8 0.0726

这就是各品牌的最终市场占有率．

综上所述，利用马尔可夫决策法可以对企业未来市场占有率发展趋势进行预测，给企业决策提供有用信息。当然马尔可夫决策法只是一种概率预测方法，得到的预测结果仅仅表示企业未来市场占有率处于某一水平的概率，而绝非市场占有率一定处于某一水平。市场占有率的变化还要受到很多因素的影响，马尔可夫决策法并不能准确的预测出企业未来的市场占有率变化情况。当然对于企业来说要提高市场占有率就要想法设法留住原有顾客，还要尽量争取新顾客。企业不仅可以进行技术创新，开发新产品，还可以通过做广告、提供个性化服务、开展各种促销活动和调整经营策略等各种方式来保持和扩大市场占有率

五 使用马尔可夫链理论分析和预测市场占有率应注意的问题 1 市场情况必须经验证满足上面提到的两个假设前提: 马尔可夫性和转移概率的稳定性。建议根据历史资料或取多个样本来进行检验。

2 由于马尔可夫预测法只用到某期市场占有率和转移概率矩阵, 因此, 对于初始市场占有率的选择非常重要,通常选择市场情况相对正常稳定的时期, 而避免促销期、广告期、销售旺季、淡季时市场占有率很高或很低的时期。部分商品的选择可能出现季节性现象, 也应适当地加以调整。

3 马尔可夫预测法应尽量避免偶发性事件对市场影响的时期。但各种现象在市场中不可避免, 此时, 对马尔可夫预测法相应调整并结合其他定性、定量方法综合预测, 会取得更好的效果。

4 市场发展瞬息万变, 运用马尔可夫预测法就用最新的市场资料不断做出理性调整, 才能达到科学、准确预测的目的。

参考文献：

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[2].陈信康 ，等. 市场营销学概论 [M] 复旦大学出版社 1993

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[4].颜荣芳.股票市场预测的随机过程模型 [J] 西北师范大学学报 1999

[5].贾俊平，何晓群，金勇进.统计学.中国人民大学出版社，2010

[6]魏宗舒等.概率论与数理统计.高等教育出版社，1983

浅析用马尔科夫链预测大学生电脑市场占有率

摘要：

本文通过对马尔可夫过程理论中用于分析随机过程方法的研究,提出了将转移概率矩阵法应用于企业产品的市场占有率分析当中,认为该理论的无后效性和稳定性特点能够帮助企业在纵向和横向资讯不够充分的情况下克服预测的误差和决策的盲目性,并以大学生电脑市场为例，给出了均衡状态下的市场占有率模型,以期通过不同方案的模拟分析,帮助企业优化决策.

关键字：马尔可夫链;转移概率;矩阵;市场占有率;

正文：

一 背景介绍——马尔科夫链的产生

马尔可夫（MAKOV）是俄国著名的数学家马尔科夫出于扩大极限定理应用范围的目的，马尔科夫在20世纪初开始考虑相依随机变量序列的规律，并从中选出了最重要的一类加以研究。1906年他在《大数定律关于相依变量的扩展》一文中，第一次提到这种如同锁链般环环相扣的随机变量序列，其中某个变量各以多大的概率取什么值，完全由它前面的一个变量来决定，而与它更前面的那些变量无关。这就是被后人称作马尔科夫链的著名概率模型。也是在这篇论文里，马尔科夫建立了这种链的大数定律。

用一个通俗的比喻来形容，一只被切除了大脑的白鼠在若干个洞穴间的蹿动就构成一个马尔科夫链。这只白鼠已没有了记忆，瞬间而生的念头决定了它从一个洞穴蹿到另一个洞穴；当其所在位置确定时，它下一步蹿往何处与它以往经过的路径无关。这一模型的哲学意义是十分明显的，用前苏联数学家辛钦（1894－1959〕的话来说，就是承认客观世界中有这样一种现象，其未来由现在决定的程度，使得我们关于过去的知识丝毫不影响这种决定性。这种在已知“现在”的条件下，“未来”与“过去”彼此独立的特性就被称为马尔科夫性，具有这种性质的随机过程就叫做马尔科夫过程，其最原始的模型就是马尔科夫链。

这即是对荷兰数学家惠更斯（Ch. Huygens,1629－1659）提出的无后效原理的概率推广，也是对法国数学家拉普拉斯（P. S. Laplace,1749－1827）机械决定论的否定。

这里应该指出，马尔科夫所建立的概率模型不但具有深刻的哲学意义，而且具有真实的物质背景，在他的工作之前或同时，一些马尔科夫链或更复杂的随机过程的例子已出现在某些人的研究中，只不过这些人没有自觉地认识到这类模型的普遍意义或用精确的数学语言表述出来罢了。例如苏格兰植物学家布朗 ( R.

Brown,1773－1858） 于1827年发现的悬浮微粒的无规则运动、英格兰遗传学家高尔顿（F.Galton,1822－1911） 于1889年提出的家族遗传规律、荷兰物理学家埃伦费斯特 ( P. Ehrenfest,1880－1933） 于1907年关于容器中分子扩散的实验，以及传染病感染的人数，谣言的传播，原子核中自由电子的跃迁，人口增长的过程等等，都可用马尔科夫链或过程来描述。也正是在统计物理、量子力学、遗传学以及

社会科学的若干新课题、新事实面前，决定论的方法显得百孔千疮、踵决肘见。

有趣的是，马尔科夫本人没有提到他的概率模型在物理世界的应用，但是他利用了语言文学方面的材料来说明链的性质。在《概率演算》第四版中，他统计了长诗《叶甫盖尼·奥涅金》中元音字母和辅音字母交替变化的规律：这是长诗开头的两句，意为：“我不想取悦骄狂的人生，只希望博得朋友的欣赏。”诗人那火一般的诗篇在数学家那里变成了一条冷冰冰的锁链：在这条锁链上只有两种链环，C代表辅音、 代表元音（为了使问题简化起见，不仿把两个无音字母算作辅音）。马尔科夫分别统计了在C后面出现C和 的概率p和1－p，以及在 后出现C和 的概率q和1－q，把结果与按照俄语拼音规则计算出的结果进行比较，证实了语言文字中随机的（从概率的意义上讲）字母序列符合他所建立的概率模型。

二 马尔科夫链的相关概念

1 基本概念

1.1 随机变量 、 随机函数与随机过程

一变量x，能随机地取数据（但不能准确地预言它取何值），而对于每一个数值或某一个范围内的值有一定的概率，那么称x为随机变量。

假定随机变量的可能值xi发生概率为Pi，即P(x = xi) = Pi，对于xi的所有n个可能值，有离散型随机变量分布列：∑Pi = 1 对于连续型随机变量，有 ∫P(x)dx = 1

在试验过程中，随机变量可能随某一参数（不一定是时间）的变化而变化. 如测量大气中空气温度变化x = x(h），随高度变化。这种随参变量而变化的随机变量称为随机函数。而以时间t作参变量的随机函数称为随机过程。也就是说：随机过程是这样一个函数，在每次试验结果中，它以一定的概率取某一个确定的，但预先未知的时间函数。

1.2 马尔科夫过程

随机过程中，有一类具有“无后效性性质”，即当随机过程在某一时刻to所处的状态已知的条件下，过程在时刻t>to时所处的状态只和to时刻有关，而与to以前的状态无关，则这种随机过程称为马尔科夫过程。即是：ito为确知，it(t>to）只与ito有关，这种性质为无后效性，又叫马尔科夫假设。

1.3 马尔科夫链

时间和状态都是离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链。例：蛙跳问题 假定池中有N张荷叶，编号为1，2，3，„„，N，即蛙跳可能有N个状态（状态确知且离散）。青蛙所属荷叶，为它目前所处的状态；因此它未来的状态，只与现在所处状态有关，而与以前的状态无关（无后效性成立）

2 状态转移矩阵

2.1 一步状态转移矩阵

系统有N个状态，描述各种状态下向其他状态转移的概率矩阵

P11 P12 „„ P1N

定义为

P = P21 P22 „„ P2N

: : :

PN1 PN2 „„ PNN

这是一个N阶方阵，满足概率矩阵性质

1） Pij ≥ 0,i,j = 1,2，„„，N 非负性性质

2） ∑ Pij = 1 行元素和为1,i=1,2，„N

如：W1 = [1/4,1/4,1/2,0] 概率向量

W2 = [1/3,0,2/3]

W3 = [1/4,1/4,1/4,1/2] 非概率向量

W4 = [1/3,1/3,-1/3,0,2/3]

3） 若A和B分别为概率矩阵时，则AB为概率矩阵。

2.2 稳定性假设

若系统的一步状态转移概率不随时间变化，即转移矩阵在各个时刻都相同，称该系统是稳定的。这个假设称为稳定性假设。蛙跳问题属于此类，后面的讨论均假定满足稳定性条件。

三 马尔科夫链应用于分析预测市场占有率

现代社会，马尔科夫链越来越多被应用于经济活动中。通过对市场现象的大量观察, 人们发现同类品的市场占有率分布是一个随时间不断变化的随机过程, 并且当期市场占有率与前一期的市场占有率有关, 而与再远期的关联却甚是微小。对市场占有率的这一定性认识, 及其与马尔可夫性的吻合, 启发了市场研究者们, 于是广泛地将马尔可夫理论应用于市场占有率的分析和预测中。

马尔可夫过程主要用于对企业产品的市场占有率的预测。我们知道，事物的发展状态总是随着时间的推移而不断变化的，对于有些事物的发展，我们需要综合考察其过去与现在的状态，才能预测未来。在这种思维方式指导下，市场预测中的许多预测方法，如长期趋势变动预测法、移动平均法、指数平滑法、季节变动预测法等等都需要掌握一定时期内预测目标过去及现在的数据资料，再利用数学模型对未

来进行预测。

而马尔可夫预测法却认为，只要当事物的现在状态为已知时，人们就可以预测将来的状态而不需要知道事物的过去状态，即人们只要掌握企业产品目前在市场上的占有份额，就可以预测将来该企业产品的市场占有率。概括起来，若把需要掌握过去和现在资料进行预测的方法称非马尔可夫过程，则非马尔可夫预测方法的特点是：回顾过去，立足现在，展望未来；而马尔可夫预测法的特点是：立足现在，展望未来，也即所谓的“无后效性”。

应用马尔科夫链分析预测市场占有率一般步骤为：

1、调查目前的市场占有率情况，得到初始市场占有率S0；

2、调查消费者购买产品时的变动情况，得到状态转移概率P；

3、建立数学模型；

根据有关数据统计，依据随机变量市场占有率数据，对0,进行适当划分，计算得转移概率Pij ，通过Pij=P(X1 = j | X0 = i),可以得到P=Pij,i,jE，然后

计算P(m)=P(m)

ij,i,jE。由此可构建市场占有率预测模型，即m阶的马尔柯

夫链Im：n0的转移矩阵：

p11p21(m)P = pN1p12p22pN2p1Np2N=pNNmpm （1—1）

得到m阶的转移概率，就可以得到m个周期后的市场占有率的转移矩阵。

4、预测未来市场的占有率

(0)(0)(0)假设初始市场占有率为 S(0)(P1,P2,,PN)，则有m个周期之后的市场占有

率为S(m)S(0)PmS(m1)P

即得

S(m)S(m1)PS(0)P(p,p,pm(0)

1(0)2(0)np11p21)pn1p12p22pn2p1np2n（1—2） pnnm

如果按公式（1-2）继续逐步求市场占有率，会发现，当m大到一定的程度，S

(m) 将不会有多少改变，即有稳定的市场占有率，设其稳定值为：

S(p1,p2,,pn)，且满足p1p2pn1．

如果市场的顾客流动趋向长期稳定下去，则经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态，即顾客的流动，不会影响市场的占有率，而且这种占有率与初始分布无关．按照实际意义，我们可以近似的看待最终的市场占有率，得出计算式：

SSPn 1Pki0

（1—3）

一般N个状态后的稳定市场占有率（稳态概率）S(p1,p2,pN)可通过解方程组

(p,p,p)(p,p,pn12n12

n

pk1k1p11p21)pn1p12p22p1np2n （1—4） pnnpn2

求得最终稳态时的市场占有率P，而（1—4）的前N个方程中只有N-1个是独立的，可任意删去一个．

四 用马尔科夫链分析预测大学生笔记本电脑市场占有率 随着现代科技的迅速发展，笔记本电脑的使用早已经相当普遍了。而大学生无疑也是笔记本更换最可能的群体之一，本文中，通过对现有大学生的调查问卷得出

大学生的现有笔记本的各品牌的市场占有率，并统计大家的更换意向，得出状态转移矩阵，从而运用上文中所介绍的马尔科夫链的计算和预测方法，给出我们的统计和预测结果。

共统计，联想，戴尔，惠普，华硕，索尼 ，外星人 ，苹果 七个品牌。

预测联想，戴尔，惠普，华硕，索尼 ，外星人 ，苹果 不同笔记本电脑品牌在未来的市场占有情况，其具体步骤如下：

第一步 进行市场调查．主要调查以下两件事：

(1)目前的市场占有情况．

经过100份调查问卷数据的整理，筛选，统计，得出联想等不同品牌各占市场份额为联想34％，戴尔17％，惠普14％，华硕13％，索尼 7％，外星人 6％ 苹果3% 其他6%

所以S(0)（0.34，0.17,0.14,0.13.0.07,0.06,0.03,0.06）

为目前市场的占有分布或称初始分布．

(2)查清使用对象的流动情况．

现在使用联想品牌的人数为34，这34 人中未来下期的购买意向变动情况分别为 50%将继续购买联想，12%选择戴尔，10%选择惠普 8%选择华硕 7%选择索尼 4%选择外星人 3%选择苹果6%选择其他。现在使用戴尔品牌的人数为17，这17人中未来下期的购买意向变动情况分别为 13%将选择联想，45%选择继续购买戴尔，10%选择惠普 8%选择华硕 8%选择索尼 4%选择外星人 5%选择苹果7%选择其他。现在使用惠普品牌的人数为14，这14人中未来下期的购买意向变动情况分别为 15%选择联想，8%选择戴尔，43%选择继续购买惠普 9%选择华硕 8%选择索尼 6%选择外星人 5%选择苹果6%选择其他。现在使用华硕品牌的人数为13，这13人中未来下期的购买意向变动情况分别为 20%选择联想，12%选择戴尔，10%选择惠普 35%选择继续购买华硕 7%选择索尼 5%选择外星人 4%选择苹果7%选择其他。现在使用索尼品牌的人数为7，这7人中未来下期的购买意向变动情况分别为 13%选择联想，10%选择戴尔，8%选择惠普 8%选择华硕 45%选择继续购买索尼 4%选择外星人 5%选择苹果7%选择其他。现在使用外星人品牌的人数为6，这6人中未来下期的购买意向变动情况分别为 12%选择联想，10%选择戴尔，8%选择惠普 7%选择华

硕 4%选择索尼 50%选择继续购买外星人 3%选择苹果6%选择其他。现在使用苹果品牌的人数为3，这3人中未来下期的购买意向变动情况分别为 15%选择联想，11%选择戴尔，9%选择惠普 8%选择华硕 6%选择索尼 5%选择外星人 40%选择继续购买苹果6%选择其他。现在使用其他品牌的人数为6，这6人中未来下期的购买意向变动情况分别为 22%选择联想，9%选择戴尔，14%选择惠普 12%选择华硕 8%选择索尼 9%选择外星人8%选择继续购买苹果20%选择其他。

0.12,0.10,0.08，0.07,0.04,0.03,0.060.5，0.13，0.45,，0.10,0.08,0.08,0.04,0.05，0.070.15,0.08,0.43,0.09，0.08,0.06,0.05，0.060.35,0.07,0.05,0.04，0.070.20,0.12,0.10，得到转移矩阵P 0.10,0.08,0.08,0.45，0.04,0.05，0.070.13，

0.12,0.10,0.08，0.07,0.04,0.5，0.03,0.060.15,0.11,0.09，0.08,0.06,0.05，0.40,0.060.22,0.09,0.14,0.12,0.08,0.09,0.08,0.20

第二步 建立数学模型．

由P我们可以用MATLAB计算任意的k步转移矩阵，如三步转移矩阵：>> p=[0.5 0.12 0.10 0.08 0.07 0.04 0.03 0.06;0.13 0.45 0.10 0.08 0.08 0.04 0.05 0.07;0.15 0.08 0.43 0.09 0.08 0.06 0.05 0.06;0.20 0.12 0.10 0.35 0.07 0.05 0.04 0.07;0.13 0.10 0.08 0.08 0.45 0.04 0.05 0.07;0.12 0.10 0.08 0.07 0.04 0.5 0.03 0.06;0.15 0.11 0.09 0.08 0.06 0.05 0.40 0.06;0.22 0.09 0.14 0.12 0.08 0.09 0.08 0.20];

>> y=p^3

y =

0.2683 0.1589 0.1431 0.1119 0.1084 0.0775 0.0610 0.0736

0.2189 0.1942 0.1430 0.1122 0.1120 0.0782 0.0690 0.0754

0.2259 0.1450 0.1782 0.1143 0.1108 0.0872 0.0678 0.0734

0.2402 0.1583 0.1431 0.1317 0.1080 0.0821 0.0645 0.0749

0.2185 0.1517 0.1356 0.1120 0.1627 0.0777 0.0691 0.0756

0.2112 0.1510 0.1343 0.1076 0.0920 0.1742 0.0593 0.0730

0.2255 0.1556 0.1394 0.1117 0.1036 0.0824 0.1110 0.0734

0.2438 0.1542 0.1515 0.1192 0.1108 0.0952 0.0731 0.0779

整理得到下面的矩阵

0.1589 0.1431 0.1119 0.1084 0.0775 0.0610 0.0736 0.2683 0.1942 0.1430 0.1122 0.1120 0.0782 0.0690 0.0754 0.2189 0.2259 0.1450 0.1782 0.1143 0.1108 0.0872 0.0678 0.0734 0.1583 0.1431 0.1317 0.1080 0.0821 0.0645 0.0749 0.2402 0.2185 0.1517 0.1356 0.1120 0.1627 0.0777 0.0691 0.0756 0.2112 0.1510 0.1343 0.1076 0.0920 0.1742 0.0593 0.0730 0.2255 0.1556 0.1394 0.1117 0.1036 0.0824 0.1110 0.0734 0.2438 0.1542 0.1515 0.1192 0.1108 0.0952 0.0731 0.0779

从这个矩阵的各行可知三个季度以后各品牌顾客的流动情况．

第三步 进行预测．

(k)(k)(k)(k)(k)(k)(k)(k),p2,p3，p4，p5p6，p7，p8)表示预测对象k季度以后的设S(k)(p1

(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0),p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8) 市场占有率，初始分布则为S(0)(p1

市场占有率的预测模型为

S(k)S(0)PkS(k1)P （1-6）

（0.34，0.17,0.14,0.13.0.07,0.06,0.03,0.06）现在，由第一步，我们有S(0)，由

此，我们可预测任意时期各品牌的市场占有率．三个季度以后的预测值为：

(3))(3)(3)(3)(3)(3)S(3)(p1(3),p2,p(3

3,p4,p5,p6,p7,p8)S(0)P3

(0.34，0.17,0.14,0.13.0.07,0.06,0.03,0.06）

0.1589 0.1431 0.1119 0.1084 0.0775 0.0610 0.0736 0.2683 0.1942 0.1430 0.1122 0.1120 0.0782 0.0690 0.0754 0.2189 0.2259 0.1450 0.1782 0.1143 0.1108 0.0872 0.0678 0.0734 0.2402 0.1583 0.1431 0.1317 0.1080 0.0821 0.0645 0.0749 0.2185 0.1517 0.1356 0.1120 0.1627 0.0777 0.0691 0.0756 0.2112 0.1510 0.1343 0.1076 0.0920 0.1742 0.0593 0.0730 0.2255 0.1556 0.1394 0.1117 0.1036 0.0824 0.1110 0.0734 0.2438 0.1542 0.1515 0.1192 0.1108 0.0952 0.0731 0.0779

(0.2407 0.1615 0.1473 0.1150 0.1121 0.0866 0.0665 0.0744)

依次类推下去可以求得以后任一个季度的市场占有率，最终达到一个稳定的市场占有率。

当市场出现平衡状态时，从公式（1-3）可得方程如下：

0.12,0.10,0.08，0.07,0.04,0.03,0.060.5，0.13，0.45,，0.10,0.08,0.08,0.04,0.05，0.070.15,0.08,0.43,0.09，0.08,0.06,0.05，0.060.35,0.07,0.05,0.04，0.070.20,0.12,0.10，(p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8)(p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8)0.13，0.10,0.08,0.08,0.45，0.04,0.05，0.070.12,0.10,0.08，0.07,0.04,0.5，0.03,0.060.15,0.11,0.09，0.08,0.06,0.05，0.40,0.060.22,0.09,0.14,0.12,0.08,0.09,0.08,0.20

由此得

p0.5p0.12p0.10p0.08p0.07p0.04p0.03p0.06p1123456780.130.450.100.080.080.040.050.07ppppppppp212345678p30.15p10.08p20.43p30.09p40.08p50.06p60.05p70.06p8p40.20p10.12p20.10p30.35p40.07p50.05p60.04p70.07p8p0.13p0.10p0.08p0.08p0.45p0.04p0.05p0.07p123456785p0.12p0.10p0.08p0.07p0.04p0.5p0.03p0.06p123456786p0.15p0.11p0.09p0.08p0.06p0.05p0.40p0.06p

123456787

0.22p0.09p0.14p0.12p0.08p0.09p0.08p0.20pP812345678

经整理，并加上条件p1p2p3p4p5p6p7p81，得

p10.2348 p20.1600 p30.1465 p40.1143

p5 0.1136 p6 0.0896 p70.0685 p8 0.0726

这就是各品牌的最终市场占有率．

综上所述，利用马尔可夫决策法可以对企业未来市场占有率发展趋势进行预测，给企业决策提供有用信息。当然马尔可夫决策法只是一种概率预测方法，得到的预测结果仅仅表示企业未来市场占有率处于某一水平的概率，而绝非市场占有率一定处于某一水平。市场占有率的变化还要受到很多因素的影响，马尔可夫决策法并不能准确的预测出企业未来的市场占有率变化情况。当然对于企业来说要提高市场占有率就要想法设法留住原有顾客，还要尽量争取新顾客。企业不仅可以进行技术创新，开发新产品，还可以通过做广告、提供个性化服务、开展各种促销活动和调整经营策略等各种方式来保持和扩大市场占有率

五 使用马尔可夫链理论分析和预测市场占有率应注意的问题 1 市场情况必须经验证满足上面提到的两个假设前提: 马尔可夫性和转移概率的稳定性。建议根据历史资料或取多个样本来进行检验。

2 由于马尔可夫预测法只用到某期市场占有率和转移概率矩阵, 因此, 对于初始市场占有率的选择非常重要,通常选择市场情况相对正常稳定的时期, 而避免促销期、广告期、销售旺季、淡季时市场占有率很高或很低的时期。部分商品的选择可能出现季节性现象, 也应适当地加以调整。

3 马尔可夫预测法应尽量避免偶发性事件对市场影响的时期。但各种现象在市场中不可避免, 此时, 对马尔可夫预测法相应调整并结合其他定性、定量方法综合预测, 会取得更好的效果。

4 市场发展瞬息万变, 运用马尔可夫预测法就用最新的市场资料不断做出理性调整, 才能达到科学、准确预测的目的。

参考文献：

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