安徽省暑假作业数学部分难题答案（部分）
P12.第11题：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD
又PD⊥平面ABCD,AC在平面ABCD内
所以PD⊥AC
又PD和BD是平面PDB内的两条相交直线
则由线面垂直的判定定理知：
AC⊥平面PDB
又AC在平面PAC内
所以由面面垂直的判定定理可得：
平面PAC⊥PDB.
（2）三分之二倍根号三
P15.第8题：如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC。
问题补充：
解; 取BC中点O，连接OA,OS
∵SA=SB=SC,∠ASB=∠ASC=60°
∴△SAB与△SAC是正三角形
∴AB=SA=AC
△ABC是等腰三角形
∵O是BC中点
∴AO⊥BC
AO^2=AC^2-OC^2
而∠BSC=90°
则△SBC是等腰直角三角形
∵O是BC中点
∴SO=1/2BC=OC
SO^2=OC^2
则AO^2+SO^2=AC^2=AS^2
即AO⊥SO
又∵AO⊥BC,SO∩BC=O
∴AO⊥面BSC
而AO∈面ABC
∴平面ABC⊥平面B
9. (题目稍有改动)已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角
梯形，AB∥CD，AB=12
CD=1，∠BAD=90°，△PAD为正三角形，且面PAD丄面
ABCD，异面直线PB与AD所成的角的余弦值为 5 ，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求点B到平面PCD的距离；
（Ⅲ）求平面PAD与平面PBC相交所成的锐二面角的大小．考
点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；
点、线、面间的距离计算．专题：综合题．分析：（Ⅰ）取PD
的中点F，连接EF，AF，先证出BE∥AF，继而可证出BE∥平
面PAD
（Ⅱ）先证出AB∥面PCD，将点B到平面PCD的距离转化为
点A到平面PCD的距离，即为AF的长度．再在△PAD中求解．
（Ⅲ）延长CB交DA于H，连接PH，证出∠DPC为面PAD
与面PBC所成二面角的平面角，在直角△PCD中求解．解答：
解：（Ⅰ） 证明：如图
取PD的中点F，连接EF，AF，由E为PC的中点知：EF∥CD，
EF=1 2 CD，
又AB∥CD，AB=1 2 CD，所以四边形ABEF为平行四边形，所
以 BE∥AF，又BE⊄面PAD，AF⊂面PAD，∴BE∥平面PAD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AF⊥PD，面PAD⊥面ABCD，CD⊥
AD
∴CD⊥面PAD，又AF⊂面PAD
∴AF⊥CD，且PD∩CD=D
∴AF⊥面PCD
又AB∥CD，∴AB∥面PCD，∴点A到平面PCD的距离AF
等于点B到平面PCD的距 离． 取CD的中点G，连接BG，PG由题意知四边形ABCD为矩形，
∴∠PBC为异面直线所成的角或其补角．
设正△PAD的边长为a，则在△PBG中易知PB=PG= a2+1 ，
BG=a，
∴∠PBG为锐角，由题意得a2+a2+ 1-a2-1 2a a2+1 = 5 5 ，
解得a=2，∴AF= 3
即点B到平面PCD的距离为 3 ．
（Ⅲ） 延长CB交DA于H，连接PH
，如图
∵AB∥CD，AB=CD=1，PA=AD=2
∴HA=AD=AP
∴DP⊥H，P又CD⊥面PAD
∴PD 为PC在PAD内的射影
∴PC⊥HP
∴∠DPC为面PAD与面PBC所成二面角的平面角 在直角△PCD中，tan∠DPC=CD DP =1
∴∠DPC=45°即平面PAD与平面PBC相交所成的锐二面角的大小为45°．点评：本题考查线面位置关系、点面距的计算、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．
安徽省暑假作业数学部分难题答案（部分）
P12.第11题：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD
又PD⊥平面ABCD,AC在平面ABCD内
所以PD⊥AC
又PD和BD是平面PDB内的两条相交直线
则由线面垂直的判定定理知：
AC⊥平面PDB
又AC在平面PAC内
所以由面面垂直的判定定理可得：
平面PAC⊥PDB.
（2）三分之二倍根号三
P15.第8题：如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC。
问题补充：
解; 取BC中点O，连接OA,OS
∵SA=SB=SC,∠ASB=∠ASC=60°
∴△SAB与△SAC是正三角形
∴AB=SA=AC
△ABC是等腰三角形
∵O是BC中点
∴AO⊥BC
AO^2=AC^2-OC^2
而∠BSC=90°
则△SBC是等腰直角三角形
∵O是BC中点
∴SO=1/2BC=OC
SO^2=OC^2
则AO^2+SO^2=AC^2=AS^2
即AO⊥SO
又∵AO⊥BC,SO∩BC=O
∴AO⊥面BSC
而AO∈面ABC
∴平面ABC⊥平面B
9. (题目稍有改动)已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角
梯形，AB∥CD，AB=12
CD=1，∠BAD=90°，△PAD为正三角形，且面PAD丄面
ABCD，异面直线PB与AD所成的角的余弦值为 5 ，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求点B到平面PCD的距离；
（Ⅲ）求平面PAD与平面PBC相交所成的锐二面角的大小．考
点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；
点、线、面间的距离计算．专题：综合题．分析：（Ⅰ）取PD
的中点F，连接EF，AF，先证出BE∥AF，继而可证出BE∥平
面PAD
（Ⅱ）先证出AB∥面PCD，将点B到平面PCD的距离转化为
点A到平面PCD的距离，即为AF的长度．再在△PAD中求解．
（Ⅲ）延长CB交DA于H，连接PH，证出∠DPC为面PAD
与面PBC所成二面角的平面角，在直角△PCD中求解．解答：
解：（Ⅰ） 证明：如图
取PD的中点F，连接EF，AF，由E为PC的中点知：EF∥CD，
EF=1 2 CD，
又AB∥CD，AB=1 2 CD，所以四边形ABEF为平行四边形，所
以 BE∥AF，又BE⊄面PAD，AF⊂面PAD，∴BE∥平面PAD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AF⊥PD，面PAD⊥面ABCD，CD⊥
AD
∴CD⊥面PAD，又AF⊂面PAD
∴AF⊥CD，且PD∩CD=D
∴AF⊥面PCD
又AB∥CD，∴AB∥面PCD，∴点A到平面PCD的距离AF
等于点B到平面PCD的距 离． 取CD的中点G，连接BG，PG由题意知四边形ABCD为矩形，
∴∠PBC为异面直线所成的角或其补角．
设正△PAD的边长为a，则在△PBG中易知PB=PG= a2+1 ，
BG=a，
∴∠PBG为锐角，由题意得a2+a2+ 1-a2-1 2a a2+1 = 5 5 ，
解得a=2，∴AF= 3
即点B到平面PCD的距离为 3 ．
（Ⅲ） 延长CB交DA于H，连接PH
，如图
∵AB∥CD，AB=CD=1，PA=AD=2
∴HA=AD=AP
∴DP⊥H，P又CD⊥面PAD
∴PD 为PC在PAD内的射影
∴PC⊥HP
∴∠DPC为面PAD与面PBC所成二面角的平面角 在直角△PCD中，tan∠DPC=CD DP =1
∴∠DPC=45°即平面PAD与平面PBC相交所成的锐二面角的大小为45°．点评：本题考查线面位置关系、点面距的计算、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．