第28卷第2期 唐山师范学院学报 2006年3月 Vol. 28 No.2 Journal of Tangshan Teachers College Mar. 2006
关于各种形状透镜的焦距公式
石凤良
（唐山师范学院 物理系，河北 唐山 063000）
摘 要：采用直观的方法得出了空气中各种形状的薄透镜的焦距公式，使其物理意义更加明显。 关键词：透镜；焦距；公式
中图分类号：O435.1 文献标识码：A 文章编号：1009-9115（2006）02-0072-03
在中学物理教材中，一般不讨论透镜的焦距与其形状、材质的关系。大学物理教材通常借助虚物的概念或费马原理给出焦距公式[1]。本文采用较直观的方法给出空气中各种形状的薄透镜的焦距公式，物理意义更加明显。
触的两凹透镜，或凸透镜与凹透镜仍然成立。但应注意：凸透镜焦距为正，凹透镜焦距为负。
1.2 两侧不对称的透镜，两侧焦距依然相等
对于两侧严格对称的双凸透镜或双凹透镜，其两侧的焦距严格相等是很容易理解的。实际上，两侧不对称的透镜（比如平凸、平凹透镜），其两侧的焦距依然相等。这是因为无论何种透镜，只要其身处空气之中，通过镜心的光线的方向将不改变（透镜的中心部位很近似平行玻璃板）[3]，而这一点必然要求两侧的焦距相等。以图2所示平凸透镜为例解释如下。
1 预备知识
1.1 两个密接薄透镜的组合问题
如图1所示，薄凸透镜L1、L2零距离接触，其焦点分别为F1、F2；焦距分别为f1、f2。平行于主光轴的光线AB经L1折射后射向F1点，过O2点作光线BC的平行光线并与过F2点的焦平面交于D点，则光线CD即为AB经L1、L2折射后的最终出射光线，与主光轴的交点F是L1、L2的合成焦点。F点到O
点的距离便是合成焦距f。
A
图2 不对称透镜
高度为y的物体AB经凸透镜成像为高度y’的A’B’，光线BC经平凸透镜的凸面折射一次成为出射光线DB'，右侧焦点F右到O点的距离为右侧焦距f右。假象B'点发出平行于光轴的光线B'D'，该光线将经过凸面及平面的两次折射后成为焦点F左到O点距离为左侧焦距f左。设A点出射光线C’B。
到O点的物距为u，A'点到O点的像距为V，由于ΔABO相似于ΔA′B′O，则
图1 透镜组合
由ΔCFO2∽ΔDFF2得
fCF
=，化简得f2−fFD
f=
f1f2f−fCF
=；由ΔCF1F∽ΔDO2F得1，则
f1+f2fFD
y′v
=。而△A'F右B相似于△OF右D（实yu
际上OD也很近似垂直光轴且OD=y）。于是故
ff−f
。 =1
f2−ff
上述公式[2]不仅对紧密接触的两凸透镜成立，对紧密接
y′v−f右
，=
yf右
vv−f右uv
=，整理得f右=，同时△AF左B相似于uf右u+v
──────────
收稿日期：2005-09-10
作者简介：石凤良（1965-），男，河北乐亭人，唐山师范学院物理系副教授，理学硕士。 - 72 -
石凤良：关于各种形状透镜的焦距公式
△OF
右
D’（实际上OD’也很近似垂直光轴OD’=y’），于是
f左f左y′v
，故=，整理得 =
yu−f左uu−f左
f左=
uv
，显然f左=f右。 u+v
f1=f2=
r1
>0n−1
（该式利用了预备知识1.2中的f左=f右），
r2
>0，于是利用预备知识1.1可得 n−1
f双凸=
2 各种形状透镜的焦距公式 2.1 平凸透镜
如图3所示，设与平凸透镜的凸面相应的球面半径为r，其球心为C。距主光轴很近且平行主光轴的入射光线AB，无折射地变成光线AD而入射到凸面上，CD为法线，入射，设透镜的折射率为n，则其折射角近似为角为α（很小）
ODnα，图3中OD
第28卷第2期 唐山师范学院学报 2006年3月 Vol. 28 No.2 Journal of Tangshan Teachers College Mar. 2006
关于各种形状透镜的焦距公式
石凤良
（唐山师范学院 物理系，河北 唐山 063000）
摘 要：采用直观的方法得出了空气中各种形状的薄透镜的焦距公式，使其物理意义更加明显。 关键词：透镜；焦距；公式
中图分类号：O435.1 文献标识码：A 文章编号：1009-9115（2006）02-0072-03
在中学物理教材中，一般不讨论透镜的焦距与其形状、材质的关系。大学物理教材通常借助虚物的概念或费马原理给出焦距公式[1]。本文采用较直观的方法给出空气中各种形状的薄透镜的焦距公式，物理意义更加明显。
触的两凹透镜，或凸透镜与凹透镜仍然成立。但应注意：凸透镜焦距为正，凹透镜焦距为负。
1.2 两侧不对称的透镜，两侧焦距依然相等
对于两侧严格对称的双凸透镜或双凹透镜，其两侧的焦距严格相等是很容易理解的。实际上，两侧不对称的透镜（比如平凸、平凹透镜），其两侧的焦距依然相等。这是因为无论何种透镜，只要其身处空气之中，通过镜心的光线的方向将不改变（透镜的中心部位很近似平行玻璃板）[3]，而这一点必然要求两侧的焦距相等。以图2所示平凸透镜为例解释如下。
1 预备知识
1.1 两个密接薄透镜的组合问题
如图1所示，薄凸透镜L1、L2零距离接触，其焦点分别为F1、F2；焦距分别为f1、f2。平行于主光轴的光线AB经L1折射后射向F1点，过O2点作光线BC的平行光线并与过F2点的焦平面交于D点，则光线CD即为AB经L1、L2折射后的最终出射光线，与主光轴的交点F是L1、L2的合成焦点。F点到O
点的距离便是合成焦距f。
A
图2 不对称透镜
高度为y的物体AB经凸透镜成像为高度y’的A’B’，光线BC经平凸透镜的凸面折射一次成为出射光线DB'，右侧焦点F右到O点的距离为右侧焦距f右。假象B'点发出平行于光轴的光线B'D'，该光线将经过凸面及平面的两次折射后成为焦点F左到O点距离为左侧焦距f左。设A点出射光线C’B。
到O点的物距为u，A'点到O点的像距为V，由于ΔABO相似于ΔA′B′O，则
图1 透镜组合
由ΔCFO2∽ΔDFF2得
fCF
=，化简得f2−fFD
f=
f1f2f−fCF
=；由ΔCF1F∽ΔDO2F得1，则
f1+f2fFD
y′v
=。而△A'F右B相似于△OF右D（实yu
际上OD也很近似垂直光轴且OD=y）。于是故
ff−f
。 =1
f2−ff
上述公式[2]不仅对紧密接触的两凸透镜成立，对紧密接
y′v−f右
，=
yf右
vv−f右uv
=，整理得f右=，同时△AF左B相似于uf右u+v
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收稿日期：2005-09-10
作者简介：石凤良（1965-），男，河北乐亭人，唐山师范学院物理系副教授，理学硕士。 - 72 -
石凤良：关于各种形状透镜的焦距公式
△OF
右
D’（实际上OD’也很近似垂直光轴OD’=y’），于是
f左f左y′v
，故=，整理得 =
yu−f左uu−f左
f左=
uv
，显然f左=f右。 u+v
f1=f2=
r1
>0n−1
（该式利用了预备知识1.2中的f左=f右），
r2
>0，于是利用预备知识1.1可得 n−1
f双凸=
2 各种形状透镜的焦距公式 2.1 平凸透镜
如图3所示，设与平凸透镜的凸面相应的球面半径为r，其球心为C。距主光轴很近且平行主光轴的入射光线AB，无折射地变成光线AD而入射到凸面上，CD为法线，入射，设透镜的折射率为n，则其折射角近似为角为α（很小）
ODnα，图3中OD