第二讲：一元二次方程
一、考点、热点回顾
1. 一元二次方程的四种解法：
直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
2. 根的判别式：
关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)
∆=b 2-4ac
当∆>0时，方程有两个不相等的实根
当∆=0时，方程有两个相等的实根
当∆
3. 根与系数关系
关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)
当∆≥0时，有x 1+x 2=-b
a ，x c
1x 2=a
二、典型例题
一、复习引入
（学生活动）用配方法解下列方程
（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52
（老师点评） （1）移项，得：6x 2-7x=-1
二次项系数化为1，得：x 2-71
6x=-6
配方，得：x 2-772172
6x+（12）=-6+（12）
（x-7）225
12=144 x-7
12=±5
12 x 577+5
1=12+12=12=1
x =-5
12+7
12=7-5
12=1
26
（2）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
-b + 问题：已知ax +bx+c=0（a ≠0）且b -4ac ≥0，试推导它的两个根x 1
=，2a 22
x 2
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax 2+bx=-c
b c x=- a a
b b 2c b 2 配方，得：x 2+x+（）=-+（）a 2a a 2a 二次项系数化为1，得x 2+
b 2b 2-4ac 即（x+）= 22a 4a
∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0
b 2-4ac ∴≥0 24a
b 直接开平方，得：x+=
± 2a 2a
即
∴x 1
x 2
由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、
c 代入式子
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
解：（1）a=2，b=-4，c=-1
b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
x=-(-4) ±2⨯2== ∴x 1
x 2
（2）将方程化为一般形式
3x 2-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0
5±
=7
6
x 1
1=2，x 2=-3
（3）将方程化为一般形式
3x 2-11x+9=0
a=3，b=-11，c=9
b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0
∴x=-(-11) ±112⨯3=6
∴x 1
x 2
（3）a=4，b=-3，c=1
b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．
三、巩固练习
教材P 42 练习1．（1）、（3）、（5）
四、应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）x m 2+2+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
⎧m 2+1=1⎧m 2+1=0⎧m +1=0①⎨或②⎨或③⎨ m -2≠0⎩⎩(m +1) +(m -2) ≠0⎩m -2≠0
解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2
m 2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=-(-1) 1±3 =2⨯24
1 2
1． 2 x 1=，x 2=- 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-
（2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m 2+1=0，m 不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-1 3
1． 3 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-
五、归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
六、布置作业
1．教材P 45 复习巩固4．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．
A ．
x=3±-3± B ．
x= 22
C ．
3± D ．
x= 2 2
2
的根是（ ）．
A ．x 1
x 2
B ．x 1=6，x 2
C ．x 1
x 2
D ．x 1=x2
3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．
A ．4 B ．-2 C ．4或-2 D ．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．
3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a2=0．
2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x2=-b c ，x 1·x 2=；（2）a a •求代数式a （x 13+x23）+b（x 12+x22）+c（x 1+x2）的值．
3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时A
100
元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示）
（2
根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？
答案:
一、1．D 2．D 3．C
二、1．
x=-b ±2a ，b 2-4ac ≥0 2．4 3．-3
1．
x=2a ±三、2=a±│b │
2．（1）∵x 1、x 2是ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根， ∴x 1x 2
∴x =-b b b
1+x22a =-a ， -b + x x -b c
1·2=2a 2a =a
（2）∵x 1，x 2是ax 2+bx+c=0的两根，∴ax 12+bx1+c=0，ax 22+bx2+c=0 原式=ax13+bx12+c1x 1+ax23+bx22+cx2
=x1（ax 12+bx1+c）+x2（ax 22+bx2+c） =0
3．（1）超过部分电费=（90-A ）·A 12100=-100A +9
10A
（2）依题意，得：（80-A ）·A
100=15，A 1=30（舍去），A 2=50
第二讲：一元二次方程
一、考点、热点回顾
1. 一元二次方程的四种解法：
直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
2. 根的判别式：
关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)
∆=b 2-4ac
当∆>0时，方程有两个不相等的实根
当∆=0时，方程有两个相等的实根
当∆
3. 根与系数关系
关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)
当∆≥0时，有x 1+x 2=-b
a ，x c
1x 2=a
二、典型例题
一、复习引入
（学生活动）用配方法解下列方程
（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52
（老师点评） （1）移项，得：6x 2-7x=-1
二次项系数化为1，得：x 2-71
6x=-6
配方，得：x 2-772172
6x+（12）=-6+（12）
（x-7）225
12=144 x-7
12=±5
12 x 577+5
1=12+12=12=1
x =-5
12+7
12=7-5
12=1
26
（2）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
-b + 问题：已知ax +bx+c=0（a ≠0）且b -4ac ≥0，试推导它的两个根x 1
=，2a 22
x 2
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax 2+bx=-c
b c x=- a a
b b 2c b 2 配方，得：x 2+x+（）=-+（）a 2a a 2a 二次项系数化为1，得x 2+
b 2b 2-4ac 即（x+）= 22a 4a
∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0
b 2-4ac ∴≥0 24a
b 直接开平方，得：x+=
± 2a 2a
即
∴x 1
x 2
由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、
c 代入式子
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
解：（1）a=2，b=-4，c=-1
b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
x=-(-4) ±2⨯2== ∴x 1
x 2
（2）将方程化为一般形式
3x 2-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0
5±
=7
6
x 1
1=2，x 2=-3
（3）将方程化为一般形式
3x 2-11x+9=0
a=3，b=-11，c=9
b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0
∴x=-(-11) ±112⨯3=6
∴x 1
x 2
（3）a=4，b=-3，c=1
b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．
三、巩固练习
教材P 42 练习1．（1）、（3）、（5）
四、应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）x m 2+2+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
⎧m 2+1=1⎧m 2+1=0⎧m +1=0①⎨或②⎨或③⎨ m -2≠0⎩⎩(m +1) +(m -2) ≠0⎩m -2≠0
解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2
m 2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=-(-1) 1±3 =2⨯24
1 2
1． 2 x 1=，x 2=- 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-
（2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m 2+1=0，m 不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-1 3
1． 3 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-
五、归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
六、布置作业
1．教材P 45 复习巩固4．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．
A ．
x=3±-3± B ．
x= 22
C ．
3± D ．
x= 2 2
2
的根是（ ）．
A ．x 1
x 2
B ．x 1=6，x 2
C ．x 1
x 2
D ．x 1=x2
3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．
A ．4 B ．-2 C ．4或-2 D ．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．
3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a2=0．
2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x2=-b c ，x 1·x 2=；（2）a a •求代数式a （x 13+x23）+b（x 12+x22）+c（x 1+x2）的值．
3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时A
100
元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示）
（2
根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？
答案:
一、1．D 2．D 3．C
二、1．
x=-b ±2a ，b 2-4ac ≥0 2．4 3．-3
1．
x=2a ±三、2=a±│b │
2．（1）∵x 1、x 2是ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根， ∴x 1x 2
∴x =-b b b
1+x22a =-a ， -b + x x -b c
1·2=2a 2a =a
（2）∵x 1，x 2是ax 2+bx+c=0的两根，∴ax 12+bx1+c=0，ax 22+bx2+c=0 原式=ax13+bx12+c1x 1+ax23+bx22+cx2
=x1（ax 12+bx1+c）+x2（ax 22+bx2+c） =0
3．（1）超过部分电费=（90-A ）·A 12100=-100A +9
10A
（2）依题意，得：（80-A ）·A
100=15，A 1=30（舍去），A 2=50