第二章 一元二次方程单元综合测试题
一、填空题（每题2分，共20分）
1．方程1x （x －3）=5（x －3）的根是_______． 2
222．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________． （1）2y +y－1=0；（2）x （2x －1）=2x；（3）1122－2x=1；（4）ax +bx+c=0；（5）x =0． 22x
3．把方程（1－2x ）（1+2x）=2x2－1化为一元二次方程的一般形式为________．
4．如果121－－8=0，则的值是________． x x x 2
5．关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m－1=0是一元二次方程的条件是________．
6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0•有两个不相等的实数根，则m•的取值范围是定______________．
7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________．
4228．方程x －5x +6=0，设y=x，则原方程变形_________
原方程的根为________．
9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________（写一个即可）．
10．代数式12x +8x+5的最小值是_________． 2
二、选择题（每题2分，共12分）
11．若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则必有（ ）．
A．a=b=c B．一根为1 C．一根为－1 D．以上都不对
x 2-x -612．若分式2的值为0，则x 的值为（ ）． x -3x +2
A．3或－2 B．3 C．－2 D．－3或2
22222213．已知（x +y+1）（x +y+3）=8，则x +y的值为（ ）．
A．－5或1 B．1 C．5 D．5或－1
2214．已知方程x +px+q=0的两个根分别是2和－3，则x －px+q可分解为（ ）．
A．（x+2）（x+3） B．（x －2）（x －3）
C．（x －2）（x+3） D．（x+2）（x －3）
22215已知α，β是方程x +2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α）（1+2008β+β）的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
216．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x －6x+8=0的解，•则这个三角形的周长是（ ）．
A．8 B．8或10 C．10 D．8和10
三、用适当的方法解方程（每小题4分，共16分）
17．（1）2（x+2）2－8=0； （2）x （x －3）=x；
（3
2=6x
（4）（x+3）2+3（x+3）－4=0．
四、解答题（18-23题每题5分，24-25题各7分，26题8分，共52分）
18．如果x 2－10x+y2－16y+89=0，求x 的值． y
19．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x 4－5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
2422设x =y，那么x =y，于是原方程可变为y －5y+4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4．
当y=1时，x 2=1，∴x=±1；
当y=4时，x 2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=－1，x 3=2，x 4=－2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，•体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x 2+x）2－4（x 2+x）－12=0．
20．如图，是丽水市统计局公布的2000～2003年全社会用电量的折线统计图．
（1）填写统计表：
2000～2003年丽水市全社会用电量统计表:
（2）根据丽水市2001年至2003年全社会用电量统计数据，求这两年年平均增长的百分率（保留两个有效数字）．
21．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．
22．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，关于x 的方程12
1x x+c－a=0有两个相等的实数根，•方程22
3cx+2b=2a的根为x=0．
（1）试判断△ABC 的形状．
（2）若a ，b 为方程x 2+mx－3m=0的两个根，求m 的值．
23．已知关于x 的方程a 2x 2+（2a －1）x+1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由． 解：（1）根据题意，得△=（2a －1）2－4a 2>0，解得a
∴当a
（2）存在，如果方程的两个实数根x 1，x 2互为相反数，则x 1+x2=－1． 42a 1=0 ①， a
11，经检验，a=是方程①的根． 22
1 ∴当a=时，方程的两个实数根x 1与x 2互为相反数． 2 解得a=
上述解答过程是否有错误？如果有，请指出错误之处，并解答．
24、如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm/s的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；点Q 以2cm/s的速度向点B 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm?
D Q
B P
25、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/s的
速度移动（不与B 点重合），动直线QD 从AB 开始以2cm/sBC 、AC 交于Q 、D 点，连结DP ，设动点P 与动直线QD 同时出发，运动时间为t 秒，（1BPDQ 是什么特殊的四边形？如果P 点的速度是以1cm/s，
则四边形BPDQ 还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？
（2）求t 为何值时，四边形BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？ D ↑ A B P
26、有一边为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1cm/s的速度沿直线l 按箭头方向匀速运动，
（1）t 秒后正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为5，求时间t ；
（2）当正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为7，求时间t ；
A D
l R C B
一元二次方程答案:
1．x 1=3，x 2=102．（5） 3．6x 2－2=04．4 －2 点拨：把
6．m>－
21看做一个整体．5．m ≠±1 x 1 点拨：理解定义是关键．7．0 点拨：绝对值方程的解法要掌握分类讨论的思想． 1228．y －5y+6=0 x1
x 2=
x 3
x 4=
．x －x=0（答案不唯一）
10．－2711．D 点拨：满足一元二次方程的条件是二次项系数不为0．
12．A 点拨：准确掌握分式值为0的条件，同时灵活解方程是关键．
13．B 点拨：理解运用整体思想或换元法是解决问题的关键，同时要注意x 2+y2式子本身的属性．
14．C 点拨：灵活掌握因式分解法解方程的思想特点是关键．
15．D 点拨：本题的关键是整体思想的运用．
16．C 点拨：•本题的关键是对方程解的概念的理解和三角形三边关系定理的运用．
17．（1）整理得（x+2）2=4， 即（x+2）=±2，∴x 1=0，x 2=－4
（2）x （x －3）－x=0，x （x －3－1）=0，x （x －4）=0，∴x 1=0，x 2=4．
（3
2
6x=0，x 2－
，由求根公式得x 1
x 2
（4）设x+3=y，原式可变为y 2+3y－4=0， 解得y 1=－4，y 2=1，即x+3=－4，x=－7．由x+3=1，得x=－2．∴原方程的解为x 1=－7，x 2=－2．
18．由已知x 2－10x+y2－16y+89=0，得（x －5）2+（y －8）2=0，∴x=5，y=8，∴x 5=． y 8
19．（1）换元 降次
（2）设x 2+x=y，原方程可化为y 2－4y －12=0，解得y 1=6，y 2=－2．由x 2+x=6，得x 1=－3，x 2=2． 由x 2+x=－2，得方程x 2+x+2=0，b 2－4ac=1－4³2=－7
20
年用电量为14.73亿kW ²h ，
2002年为14.73（1+x）亿kW ²h ， 2003年为14.73（1+x）2亿kW ²h ．
则可列方程：14.73（1+x）2=21.92，1+x=±1.22， ∴x 1=0.22=22%，x 2=－2.22（舍去）． 则2001～2003年年平均增长率的百分率为22%．
21．（1）设每件应降价x 元，由题意可列方程为（40－x ）²（30+2x）=1200，
解得x 1=0，x 2=25， 当
x=0时，能卖出30件；当x=25时，能卖出80件．
根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意．故每件衬衫应降价25元．
（2）设商场每天盈利为W 元 W=（40－x ）（30+2x）=－2x 2+50x+1200=－2（x 2－25x ）+1200=－2（x －12.5）2+1512.5当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元．
22．∵12111x －a=0有两个相等的实数根， ∴判别式=2－4³（c －a ）=0， 2222整理得a+b－2c=0 ①，又∵3cx+2b=2a的根为x=0，
∴a=b ②．
把②代入①得a=c，
∴a=b=c，∴△ABC 为等边三角形．
（2）a ，b 是方程x 2+mx－3m=0的两个根，
22 所以m －4³（－3m ）=0，即m +12m=0，
∴m 1=0，m 2=－12．
当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去），
∴m=12．
23．上述解答有错误．
（1）若方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程， ∴a 2≠0且满足（2a －1）2－4a 2>0，∴a
（2）a 不可能等于1且a ≠0． 41． 2
1且a ≠0， 4∵（1）中求得方程有两个不相等实数根，同时a 的取值范围是a
而a=11>（不符合题意） 24
所以不存在这样的a 值，使方程的两个实数根互为相反数．
第二章 一元二次方程单元综合测试题
一、填空题（每题2分，共20分）
1．方程1x （x －3）=5（x －3）的根是_______． 2
222．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________． （1）2y +y－1=0；（2）x （2x －1）=2x；（3）1122－2x=1；（4）ax +bx+c=0；（5）x =0． 22x
3．把方程（1－2x ）（1+2x）=2x2－1化为一元二次方程的一般形式为________．
4．如果121－－8=0，则的值是________． x x x 2
5．关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m－1=0是一元二次方程的条件是________．
6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0•有两个不相等的实数根，则m•的取值范围是定______________．
7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________．
4228．方程x －5x +6=0，设y=x，则原方程变形_________
原方程的根为________．
9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________（写一个即可）．
10．代数式12x +8x+5的最小值是_________． 2
二、选择题（每题2分，共12分）
11．若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则必有（ ）．
A．a=b=c B．一根为1 C．一根为－1 D．以上都不对
x 2-x -612．若分式2的值为0，则x 的值为（ ）． x -3x +2
A．3或－2 B．3 C．－2 D．－3或2
22222213．已知（x +y+1）（x +y+3）=8，则x +y的值为（ ）．
A．－5或1 B．1 C．5 D．5或－1
2214．已知方程x +px+q=0的两个根分别是2和－3，则x －px+q可分解为（ ）．
A．（x+2）（x+3） B．（x －2）（x －3）
C．（x －2）（x+3） D．（x+2）（x －3）
22215已知α，β是方程x +2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α）（1+2008β+β）的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
216．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x －6x+8=0的解，•则这个三角形的周长是（ ）．
A．8 B．8或10 C．10 D．8和10
三、用适当的方法解方程（每小题4分，共16分）
17．（1）2（x+2）2－8=0； （2）x （x －3）=x；
（3
2=6x
（4）（x+3）2+3（x+3）－4=0．
四、解答题（18-23题每题5分，24-25题各7分，26题8分，共52分）
18．如果x 2－10x+y2－16y+89=0，求x 的值． y
19．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x 4－5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
2422设x =y，那么x =y，于是原方程可变为y －5y+4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4．
当y=1时，x 2=1，∴x=±1；
当y=4时，x 2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=－1，x 3=2，x 4=－2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，•体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x 2+x）2－4（x 2+x）－12=0．
20．如图，是丽水市统计局公布的2000～2003年全社会用电量的折线统计图．
（1）填写统计表：
2000～2003年丽水市全社会用电量统计表:
（2）根据丽水市2001年至2003年全社会用电量统计数据，求这两年年平均增长的百分率（保留两个有效数字）．
21．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．
22．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，关于x 的方程12
1x x+c－a=0有两个相等的实数根，•方程22
3cx+2b=2a的根为x=0．
（1）试判断△ABC 的形状．
（2）若a ，b 为方程x 2+mx－3m=0的两个根，求m 的值．
23．已知关于x 的方程a 2x 2+（2a －1）x+1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由． 解：（1）根据题意，得△=（2a －1）2－4a 2>0，解得a
∴当a
（2）存在，如果方程的两个实数根x 1，x 2互为相反数，则x 1+x2=－1． 42a 1=0 ①， a
11，经检验，a=是方程①的根． 22
1 ∴当a=时，方程的两个实数根x 1与x 2互为相反数． 2 解得a=
上述解答过程是否有错误？如果有，请指出错误之处，并解答．
24、如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm/s的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；点Q 以2cm/s的速度向点B 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm?
D Q
B P
25、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/s的
速度移动（不与B 点重合），动直线QD 从AB 开始以2cm/sBC 、AC 交于Q 、D 点，连结DP ，设动点P 与动直线QD 同时出发，运动时间为t 秒，（1BPDQ 是什么特殊的四边形？如果P 点的速度是以1cm/s，
则四边形BPDQ 还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？
（2）求t 为何值时，四边形BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？ D ↑ A B P
26、有一边为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1cm/s的速度沿直线l 按箭头方向匀速运动，
（1）t 秒后正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为5，求时间t ；
（2）当正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为7，求时间t ；
A D
l R C B
一元二次方程答案:
1．x 1=3，x 2=102．（5） 3．6x 2－2=04．4 －2 点拨：把
6．m>－
21看做一个整体．5．m ≠±1 x 1 点拨：理解定义是关键．7．0 点拨：绝对值方程的解法要掌握分类讨论的思想． 1228．y －5y+6=0 x1
x 2=
x 3
x 4=
．x －x=0（答案不唯一）
10．－2711．D 点拨：满足一元二次方程的条件是二次项系数不为0．
12．A 点拨：准确掌握分式值为0的条件，同时灵活解方程是关键．
13．B 点拨：理解运用整体思想或换元法是解决问题的关键，同时要注意x 2+y2式子本身的属性．
14．C 点拨：灵活掌握因式分解法解方程的思想特点是关键．
15．D 点拨：本题的关键是整体思想的运用．
16．C 点拨：•本题的关键是对方程解的概念的理解和三角形三边关系定理的运用．
17．（1）整理得（x+2）2=4， 即（x+2）=±2，∴x 1=0，x 2=－4
（2）x （x －3）－x=0，x （x －3－1）=0，x （x －4）=0，∴x 1=0，x 2=4．
（3
2
6x=0，x 2－
，由求根公式得x 1
x 2
（4）设x+3=y，原式可变为y 2+3y－4=0， 解得y 1=－4，y 2=1，即x+3=－4，x=－7．由x+3=1，得x=－2．∴原方程的解为x 1=－7，x 2=－2．
18．由已知x 2－10x+y2－16y+89=0，得（x －5）2+（y －8）2=0，∴x=5，y=8，∴x 5=． y 8
19．（1）换元 降次
（2）设x 2+x=y，原方程可化为y 2－4y －12=0，解得y 1=6，y 2=－2．由x 2+x=6，得x 1=－3，x 2=2． 由x 2+x=－2，得方程x 2+x+2=0，b 2－4ac=1－4³2=－7
20
年用电量为14.73亿kW ²h ，
2002年为14.73（1+x）亿kW ²h ， 2003年为14.73（1+x）2亿kW ²h ．
则可列方程：14.73（1+x）2=21.92，1+x=±1.22， ∴x 1=0.22=22%，x 2=－2.22（舍去）． 则2001～2003年年平均增长率的百分率为22%．
21．（1）设每件应降价x 元，由题意可列方程为（40－x ）²（30+2x）=1200，
解得x 1=0，x 2=25， 当
x=0时，能卖出30件；当x=25时，能卖出80件．
根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意．故每件衬衫应降价25元．
（2）设商场每天盈利为W 元 W=（40－x ）（30+2x）=－2x 2+50x+1200=－2（x 2－25x ）+1200=－2（x －12.5）2+1512.5当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元．
22．∵12111x －a=0有两个相等的实数根， ∴判别式=2－4³（c －a ）=0， 2222整理得a+b－2c=0 ①，又∵3cx+2b=2a的根为x=0，
∴a=b ②．
把②代入①得a=c，
∴a=b=c，∴△ABC 为等边三角形．
（2）a ，b 是方程x 2+mx－3m=0的两个根，
22 所以m －4³（－3m ）=0，即m +12m=0，
∴m 1=0，m 2=－12．
当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去），
∴m=12．
23．上述解答有错误．
（1）若方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程， ∴a 2≠0且满足（2a －1）2－4a 2>0，∴a
（2）a 不可能等于1且a ≠0． 41． 2
1且a ≠0， 4∵（1）中求得方程有两个不相等实数根，同时a 的取值范围是a
而a=11>（不符合题意） 24
所以不存在这样的a 值，使方程的两个实数根互为相反数．