§2. 线性空间的定义及其性质 复习：n 维向量空间： ①数域p 中的数作为分量的n 维向量的全体。 ②定义在它们上面的加法封闭。
③定义在它们上面的数量乘法封闭。
引例1. 在解析几何中，二维实向量的加法与数乘。
设在平面直角坐标系内有两个坐标α=（a 1, a 2）, β=(b 1, b 2）.
则α+β=（a 1+b 1, a 2+b 2）。
k α=（ka 1, ka 2），其中k 是一个实数。 k>0，原方向伸长，k
引例2. 对于函数，也可以定义加法和函数与实数的数量乘法。
比如，全体定义在区间[a , b ]上的连续函数。构成实数域上的线性空间。 设f (x ) 和g (x ) 在[a , b ]上是连续函数，则有数学分析知识知道f (x ) +g (x ) 是连续函数。kf (x ) 还是连续函数。 k ∈R 。
从而全体定义在[a , b ]上的连续函数，也对加法和数乘运算封闭。
从以上两个例子中，我们看到，所考虑的对象虽然完全不同，但是它们有一个共同点，即，它们都有加法和数量乘法这两种运算。
在例1中，k 的取值决定了运算的范围，如果k 取有理数域中的数，则此时的数乘运算只能满足有理数域内部，若k 为实数域中的数，则扩充到实数域内运算，因此，必须先确定数域作为基础。
1. 定义：设V 是一个非空集合。P 是一个数域。在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法。即，给出了一个运算法则，对于V 中任意的两个元素α与β，在V 中都有唯一的一个元素r 与它们对应，称r 为α与β的和，记为r=α+β。
在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即，对于数域P 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为k 与α的数量乘积，记为δ=kα。 线性空间定义：设V 是一个非空集合，P 是一个数域。如果加法和数量乘法运算满足下述规则：
加法： （1）交换律：α+β=β+α；
（2）结合律：（α+β）+γ=α+（β+γ）；
（3）零元素：在V 中有一个元素0，不只是数域中的0，可能为其他， 对于V 中任一元素α都有0+α=α。
（4）负元素; 对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素β，使α+β=0. 数量乘法：（1） 单位元： 1α=α；
（2） 数乘结合律： k (l α) =(kl ) α; k , l ∈p .
数乘与加法：（1）左分配律：(k +l ) α=k α+la 。
（2）右分配律：k (α+β) =k α+k β。
那么V 称为数域P 上的线性空间。k , l ∈p . α,β,γ∈v 。
例1：验证数域P 上一元多项式环p [x ]，按照通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间。
证明：0多项式属于p [x ]，因此，非空成立，
令f (x ), g (x ), h (x ) ∈p [x ],则
(1) f (x ) +g (x ) =g (x ) +f (x ); (2)(f (x ) +g (x )) +h (x ) =f (x ) +(g (x ) +h (x ));
(3) f (x ) +0=f (x ); (4) f (x ) +(-f (x )) =0;
(5) 1⋅f (x ) =f (x ); (6) k (lf (x )) =(kl ) f (x ). k , l ∈p .
(7)(k +l ) f (x ) =kf (x ) +lf (x ); (8) k (f (x ) +g (x )) =kf (x ) +kg (x )
因此，构成线性空间。
例2. p [x ]n 表示次数小于n 的多项式与零多项式的全体，验证，p [x ]n 也构成数域P 上的一个线性空间。
例3. 元素属于属于P 的m ⨯n 矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法，构成数域P 上的一个线性空间，用p m ⨯n 表示。
3. 定义：线性空间的元素也称为向量，因此，线性空间也称维向量空间。 用α,β,γ代表线性空间V 中的元素。
a,b,c代表数域P 中的数。
4. 线性空间的简单性质
性质1. 零元素是唯一的。
证明：假设01, 02是线性空间V 中的两个零元素，只需证01=02。 由于01是零元素，所以01+02=02; 又由于02也是零元素，所以
，即01=01+02=02，从而，零元01+02=02+01=01（线性空间V 交换律成立）
素唯一。
性质2. 负元素是唯一的。即α+β=0的元素β是被元素α唯一决定的。 证明：假设α有两个负元素β与γ，即α+β=0,α+γ=0，那么 β=β+0=β+(α+γ)=(β+α) +γ=0+γ=γ。
注：向量α的负元素记为-α。
减法定义为α-β=α+(-β)。
性质3. 0⋅α=0, k 0=0.(-1) α=-α.
证明：先证0⋅α=0,因为α+0⋅α=1⋅α+0⋅α=(1+0)⋅α=1⋅α=α.两边加上 -α，即得 0⋅α=0。
k α+k 0=k (α+0) =k α=κα+0再证k 0=0，因为两边加上-k α，得k 0=0.
最后证明(-1) ⋅α=-α.因为α+(-1)α=1⋅α+(-1)⋅α=(1-1)⋅α=0⋅α=0. 两边加
上-α，即得，(-1) α=-α.
性质4. 如果k α=0,那么k =0, 或者α=0.
证明：假设k ≠0, 于是，一方面，k -1存在的且k -1⋅(k α) =k -1⋅0=0. 而另一方
面，k ⋅(k α) =(k ⋅k ) ⋅α=1⋅α=α.因此，即得 α=0. -1-1
总结：（1）掌握线性空间的定义及其验证方法
（2）理解性质1－4，并会应用。
作业：p 267. 3 （1），（3），（5），（7）。 4
§2. 线性空间的定义及其性质 复习：n 维向量空间： ①数域p 中的数作为分量的n 维向量的全体。 ②定义在它们上面的加法封闭。
③定义在它们上面的数量乘法封闭。
引例1. 在解析几何中，二维实向量的加法与数乘。
设在平面直角坐标系内有两个坐标α=（a 1, a 2）, β=(b 1, b 2）.
则α+β=（a 1+b 1, a 2+b 2）。
k α=（ka 1, ka 2），其中k 是一个实数。 k>0，原方向伸长，k
引例2. 对于函数，也可以定义加法和函数与实数的数量乘法。
比如，全体定义在区间[a , b ]上的连续函数。构成实数域上的线性空间。 设f (x ) 和g (x ) 在[a , b ]上是连续函数，则有数学分析知识知道f (x ) +g (x ) 是连续函数。kf (x ) 还是连续函数。 k ∈R 。
从而全体定义在[a , b ]上的连续函数，也对加法和数乘运算封闭。
从以上两个例子中，我们看到，所考虑的对象虽然完全不同，但是它们有一个共同点，即，它们都有加法和数量乘法这两种运算。
在例1中，k 的取值决定了运算的范围，如果k 取有理数域中的数，则此时的数乘运算只能满足有理数域内部，若k 为实数域中的数，则扩充到实数域内运算，因此，必须先确定数域作为基础。
1. 定义：设V 是一个非空集合。P 是一个数域。在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法。即，给出了一个运算法则，对于V 中任意的两个元素α与β，在V 中都有唯一的一个元素r 与它们对应，称r 为α与β的和，记为r=α+β。
在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即，对于数域P 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为k 与α的数量乘积，记为δ=kα。 线性空间定义：设V 是一个非空集合，P 是一个数域。如果加法和数量乘法运算满足下述规则：
加法： （1）交换律：α+β=β+α；
（2）结合律：（α+β）+γ=α+（β+γ）；
（3）零元素：在V 中有一个元素0，不只是数域中的0，可能为其他， 对于V 中任一元素α都有0+α=α。
（4）负元素; 对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素β，使α+β=0. 数量乘法：（1） 单位元： 1α=α；
（2） 数乘结合律： k (l α) =(kl ) α; k , l ∈p .
数乘与加法：（1）左分配律：(k +l ) α=k α+la 。
（2）右分配律：k (α+β) =k α+k β。
那么V 称为数域P 上的线性空间。k , l ∈p . α,β,γ∈v 。
例1：验证数域P 上一元多项式环p [x ]，按照通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间。
证明：0多项式属于p [x ]，因此，非空成立，
令f (x ), g (x ), h (x ) ∈p [x ],则
(1) f (x ) +g (x ) =g (x ) +f (x ); (2)(f (x ) +g (x )) +h (x ) =f (x ) +(g (x ) +h (x ));
(3) f (x ) +0=f (x ); (4) f (x ) +(-f (x )) =0;
(5) 1⋅f (x ) =f (x ); (6) k (lf (x )) =(kl ) f (x ). k , l ∈p .
(7)(k +l ) f (x ) =kf (x ) +lf (x ); (8) k (f (x ) +g (x )) =kf (x ) +kg (x )
因此，构成线性空间。
例2. p [x ]n 表示次数小于n 的多项式与零多项式的全体，验证，p [x ]n 也构成数域P 上的一个线性空间。
例3. 元素属于属于P 的m ⨯n 矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法，构成数域P 上的一个线性空间，用p m ⨯n 表示。
3. 定义：线性空间的元素也称为向量，因此，线性空间也称维向量空间。 用α,β,γ代表线性空间V 中的元素。
a,b,c代表数域P 中的数。
4. 线性空间的简单性质
性质1. 零元素是唯一的。
证明：假设01, 02是线性空间V 中的两个零元素，只需证01=02。 由于01是零元素，所以01+02=02; 又由于02也是零元素，所以
，即01=01+02=02，从而，零元01+02=02+01=01（线性空间V 交换律成立）
素唯一。
性质2. 负元素是唯一的。即α+β=0的元素β是被元素α唯一决定的。 证明：假设α有两个负元素β与γ，即α+β=0,α+γ=0，那么 β=β+0=β+(α+γ)=(β+α) +γ=0+γ=γ。
注：向量α的负元素记为-α。
减法定义为α-β=α+(-β)。
性质3. 0⋅α=0, k 0=0.(-1) α=-α.
证明：先证0⋅α=0,因为α+0⋅α=1⋅α+0⋅α=(1+0)⋅α=1⋅α=α.两边加上 -α，即得 0⋅α=0。
k α+k 0=k (α+0) =k α=κα+0再证k 0=0，因为两边加上-k α，得k 0=0.
最后证明(-1) ⋅α=-α.因为α+(-1)α=1⋅α+(-1)⋅α=(1-1)⋅α=0⋅α=0. 两边加
上-α，即得，(-1) α=-α.
性质4. 如果k α=0,那么k =0, 或者α=0.
证明：假设k ≠0, 于是，一方面，k -1存在的且k -1⋅(k α) =k -1⋅0=0. 而另一方
面，k ⋅(k α) =(k ⋅k ) ⋅α=1⋅α=α.因此，即得 α=0. -1-1
总结：（1）掌握线性空间的定义及其验证方法
（2）理解性质1－4，并会应用。
作业：p 267. 3 （1），（3），（5），（7）。 4