§2. 线性空间的定义及其性质 复习:n 维向量空间: ①数域p 中的数作为分量的n 维向量的全体。 ②定义在它们上面的加法封闭。
③定义在它们上面的数量乘法封闭。
引例1. 在解析几何中,二维实向量的加法与数乘。
设在平面直角坐标系内有两个坐标α=(a 1, a 2), β=(b 1, b 2).
则α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2)。
k α=(ka 1, ka 2),其中k 是一个实数。 k>0,原方向伸长,k
引例2. 对于函数,也可以定义加法和函数与实数的数量乘法。
比如,全体定义在区间[a , b ]上的连续函数。构成实数域上的线性空间。 设f (x ) 和g (x ) 在[a , b ]上是连续函数,则有数学分析知识知道f (x ) +g (x ) 是连续函数。kf (x ) 还是连续函数。 k ∈R 。
从而全体定义在[a , b ]上的连续函数,也对加法和数乘运算封闭。
从以上两个例子中,我们看到,所考虑的对象虽然完全不同,但是它们有一个共同点,即,它们都有加法和数量乘法这两种运算。
在例1中,k 的取值决定了运算的范围,如果k 取有理数域中的数,则此时的数乘运算只能满足有理数域内部,若k 为实数域中的数,则扩充到实数域内运算,因此,必须先确定数域作为基础。
1. 定义:设V 是一个非空集合。P 是一个数域。在集合V 的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法。即,给出了一个运算法则,对于V 中任意的两个元素α与β,在V 中都有唯一的一个元素r 与它们对应,称r 为α与β的和,记为r=α+β。
在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法,即,对于数域P 中任一数k 与V 中任一元素α,在V 中都有唯一的一个元素δ与它们对应,称δ为k 与α的数量乘积,记为δ=kα。 线性空间定义:设V 是一个非空集合,P 是一个数域。如果加法和数量乘法运算满足下述规则:
加法: (1)交换律:α+β=β+α;
(2)结合律:(α+β)+γ=α+(β+γ);
(3)零元素:在V 中有一个元素0,不只是数域中的0,可能为其他, 对于V 中任一元素α都有0+α=α。
(4)负元素; 对于V 中每一个元素α,都有V 中的元素β,使α+β=0. 数量乘法:(1) 单位元: 1α=α;
(2) 数乘结合律: k (l α) =(kl ) α; k , l ∈p .
数乘与加法:(1)左分配律:(k +l ) α=k α+la 。
(2)右分配律:k (α+β) =k α+k β。
那么V 称为数域P 上的线性空间。k , l ∈p . α,β,γ∈v 。
例1:验证数域P 上一元多项式环p [x ],按照通常的多项式加法和数与多项式的乘法,构成一个数域P 上的线性空间。
证明:0多项式属于p [x ],因此,非空成立,
令f (x ), g (x ), h (x ) ∈p [x ],则
(1) f (x ) +g (x ) =g (x ) +f (x ); (2)(f (x ) +g (x )) +h (x ) =f (x ) +(g (x ) +h (x ));
(3) f (x ) +0=f (x ); (4) f (x ) +(-f (x )) =0;
(5) 1⋅f (x ) =f (x ); (6) k (lf (x )) =(kl ) f (x ). k , l ∈p .
(7)(k +l ) f (x ) =kf (x ) +lf (x ); (8) k (f (x ) +g (x )) =kf (x ) +kg (x )
因此,构成线性空间。
例2. p [x ]n 表示次数小于n 的多项式与零多项式的全体,验证,p [x ]n 也构成数域P 上的一个线性空间。
例3. 元素属于属于P 的m ⨯n 矩阵,按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法,构成数域P 上的一个线性空间,用p m ⨯n 表示。
3. 定义:线性空间的元素也称为向量,因此,线性空间也称维向量空间。 用α,β,γ代表线性空间V 中的元素。
a,b,c代表数域P 中的数。
4. 线性空间的简单性质
性质1. 零元素是唯一的。
证明:假设01, 02是线性空间V 中的两个零元素,只需证01=02。 由于01是零元素,所以01+02=02; 又由于02也是零元素,所以
,即01=01+02=02,从而,零元01+02=02+01=01(线性空间V 交换律成立)
素唯一。
性质2. 负元素是唯一的。即α+β=0的元素β是被元素α唯一决定的。 证明:假设α有两个负元素β与γ,即α+β=0,α+γ=0,那么 β=β+0=β+(α+γ)=(β+α) +γ=0+γ=γ。
注:向量α的负元素记为-α。
减法定义为α-β=α+(-β)。
性质3. 0⋅α=0, k 0=0.(-1) α=-α.
证明:先证0⋅α=0,因为α+0⋅α=1⋅α+0⋅α=(1+0)⋅α=1⋅α=α.两边加上 -α,即得 0⋅α=0。
k α+k 0=k (α+0) =k α=κα+0再证k 0=0,因为两边加上-k α,得k 0=0.
最后证明(-1) ⋅α=-α.因为α+(-1)α=1⋅α+(-1)⋅α=(1-1)⋅α=0⋅α=0. 两边加
上-α,即得,(-1) α=-α.
性质4. 如果k α=0,那么k =0, 或者α=0.
证明:假设k ≠0, 于是,一方面,k -1存在的且k -1⋅(k α) =k -1⋅0=0. 而另一方
面,k ⋅(k α) =(k ⋅k ) ⋅α=1⋅α=α.因此,即得 α=0. -1-1
总结:(1)掌握线性空间的定义及其验证方法
(2)理解性质1-4,并会应用。
作业:p 267. 3 (1),(3),(5),(7)。 4
§2. 线性空间的定义及其性质 复习:n 维向量空间: ①数域p 中的数作为分量的n 维向量的全体。 ②定义在它们上面的加法封闭。
③定义在它们上面的数量乘法封闭。
引例1. 在解析几何中,二维实向量的加法与数乘。
设在平面直角坐标系内有两个坐标α=(a 1, a 2), β=(b 1, b 2).
则α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2)。
k α=(ka 1, ka 2),其中k 是一个实数。 k>0,原方向伸长,k
引例2. 对于函数,也可以定义加法和函数与实数的数量乘法。
比如,全体定义在区间[a , b ]上的连续函数。构成实数域上的线性空间。 设f (x ) 和g (x ) 在[a , b ]上是连续函数,则有数学分析知识知道f (x ) +g (x ) 是连续函数。kf (x ) 还是连续函数。 k ∈R 。
从而全体定义在[a , b ]上的连续函数,也对加法和数乘运算封闭。
从以上两个例子中,我们看到,所考虑的对象虽然完全不同,但是它们有一个共同点,即,它们都有加法和数量乘法这两种运算。
在例1中,k 的取值决定了运算的范围,如果k 取有理数域中的数,则此时的数乘运算只能满足有理数域内部,若k 为实数域中的数,则扩充到实数域内运算,因此,必须先确定数域作为基础。
1. 定义:设V 是一个非空集合。P 是一个数域。在集合V 的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法。即,给出了一个运算法则,对于V 中任意的两个元素α与β,在V 中都有唯一的一个元素r 与它们对应,称r 为α与β的和,记为r=α+β。
在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法,即,对于数域P 中任一数k 与V 中任一元素α,在V 中都有唯一的一个元素δ与它们对应,称δ为k 与α的数量乘积,记为δ=kα。 线性空间定义:设V 是一个非空集合,P 是一个数域。如果加法和数量乘法运算满足下述规则:
加法: (1)交换律:α+β=β+α;
(2)结合律:(α+β)+γ=α+(β+γ);
(3)零元素:在V 中有一个元素0,不只是数域中的0,可能为其他, 对于V 中任一元素α都有0+α=α。
(4)负元素; 对于V 中每一个元素α,都有V 中的元素β,使α+β=0. 数量乘法:(1) 单位元: 1α=α;
(2) 数乘结合律: k (l α) =(kl ) α; k , l ∈p .
数乘与加法:(1)左分配律:(k +l ) α=k α+la 。
(2)右分配律:k (α+β) =k α+k β。
那么V 称为数域P 上的线性空间。k , l ∈p . α,β,γ∈v 。
例1:验证数域P 上一元多项式环p [x ],按照通常的多项式加法和数与多项式的乘法,构成一个数域P 上的线性空间。
证明:0多项式属于p [x ],因此,非空成立,
令f (x ), g (x ), h (x ) ∈p [x ],则
(1) f (x ) +g (x ) =g (x ) +f (x ); (2)(f (x ) +g (x )) +h (x ) =f (x ) +(g (x ) +h (x ));
(3) f (x ) +0=f (x ); (4) f (x ) +(-f (x )) =0;
(5) 1⋅f (x ) =f (x ); (6) k (lf (x )) =(kl ) f (x ). k , l ∈p .
(7)(k +l ) f (x ) =kf (x ) +lf (x ); (8) k (f (x ) +g (x )) =kf (x ) +kg (x )
因此,构成线性空间。
例2. p [x ]n 表示次数小于n 的多项式与零多项式的全体,验证,p [x ]n 也构成数域P 上的一个线性空间。
例3. 元素属于属于P 的m ⨯n 矩阵,按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法,构成数域P 上的一个线性空间,用p m ⨯n 表示。
3. 定义:线性空间的元素也称为向量,因此,线性空间也称维向量空间。 用α,β,γ代表线性空间V 中的元素。
a,b,c代表数域P 中的数。
4. 线性空间的简单性质
性质1. 零元素是唯一的。
证明:假设01, 02是线性空间V 中的两个零元素,只需证01=02。 由于01是零元素,所以01+02=02; 又由于02也是零元素,所以
,即01=01+02=02,从而,零元01+02=02+01=01(线性空间V 交换律成立)
素唯一。
性质2. 负元素是唯一的。即α+β=0的元素β是被元素α唯一决定的。 证明:假设α有两个负元素β与γ,即α+β=0,α+γ=0,那么 β=β+0=β+(α+γ)=(β+α) +γ=0+γ=γ。
注:向量α的负元素记为-α。
减法定义为α-β=α+(-β)。
性质3. 0⋅α=0, k 0=0.(-1) α=-α.
证明:先证0⋅α=0,因为α+0⋅α=1⋅α+0⋅α=(1+0)⋅α=1⋅α=α.两边加上 -α,即得 0⋅α=0。
k α+k 0=k (α+0) =k α=κα+0再证k 0=0,因为两边加上-k α,得k 0=0.
最后证明(-1) ⋅α=-α.因为α+(-1)α=1⋅α+(-1)⋅α=(1-1)⋅α=0⋅α=0. 两边加
上-α,即得,(-1) α=-α.
性质4. 如果k α=0,那么k =0, 或者α=0.
证明:假设k ≠0, 于是,一方面,k -1存在的且k -1⋅(k α) =k -1⋅0=0. 而另一方
面,k ⋅(k α) =(k ⋅k ) ⋅α=1⋅α=α.因此,即得 α=0. -1-1
总结:(1)掌握线性空间的定义及其验证方法
(2)理解性质1-4,并会应用。
作业:p 267. 3 (1),(3),(5),(7)。 4