解决问题的策略与故事
学生在课内和课外阅读过不少反映古人非凡智慧的历史故事，这些历史故事中所包含的智慧和策略应用于数学学习，可以收到举一反三、启迪思维之效，对于学生感悟解题策略，提高分析解决问题的能力，大有裨益。现举几例。
一、曹冲称象与转化策略
三国时，曹操的一位朋友用船给他送来一头大象，曹操很想知道大象的重量，可大象太重无法直接称量，众大臣冥思苦想仍不得法。这时，聪明的曹冲想到了一个方法：把不能直接称量的大象体重转化为能直接称量的石头重量。就是先把大象牵到船上，在船身刻上水位线，再从船上牵下大象，把石头一块块装上船，直到水位线与大象在船上时刻划的水位线相同，然后卸下石头，称出石头重量，由此间接测出大象的体重。
曹冲思考、解决称象的问题运用了转化策略。数学学习中，学生如能掌握这种转化策略，在遇到一些数量关系复杂、隐蔽而难以解决的问题时，就可通过某种转化过程，使生疏的问题熟悉化、抽象的问题具体化、复杂的问题简单化，从而顺利解决问题。
例1：一条横截面是梯形的水渠，它的下底宽1米，上口宽2米，水深1.2米，如果渠中水流的速度是每小时200米，求1小时流过的水有多少立方米?
分析与解：这是一个求流水量的问题，比较抽象，解题时，可引导学生运用转化策略将问题划归为一个等价可解的问题：求横截面是梯形的直棱柱体积问题，列式为：(2＋1)×1.2÷2×200＝360(立方米)。
例2父子俩的年龄和为63岁，父亲年龄的1/5与儿子年龄的1/2相等，求父子俩的年龄各为多少岁?
分析与解：把已知条件“父亲年龄的1/5与儿子年龄的1/2相等”转化为：父亲与儿子的年龄比是5：2，进而推出新的数量关系：“父亲年龄为父子俩年龄和的5/7，儿子年龄为父子俩年龄和的2/7”“父亲的年龄是儿子年龄的5/2倍，儿子年龄是父亲年龄的2/5”。这样，一经转化本是复杂的问题就变得十分简单。
父亲的年龄为：63×5/7＝45(岁)或63÷(1＋2/5)＝45(岁)。
儿子的年龄为：63×2/7＝18(岁)或63÷(1＋5/2)＝18(岁)。
二、司马光砸缸与逆向策略
司马光砸缸的故事是学生很熟悉的历史故事：一个小伙伴不慎跌人装满水的大缸中，司马光和伙伴们人小个矮，无法将缸内的小伙伴拉出，在使“人离开水”的情急之中，司马光想到了使“水离开人”的办法，用石头砸破缸，让水流走，救出了小伙伴。真可谓聪明之举。
司马光砸缸把“人离开水”变为“水离开人”，运用的就是一种逆向策略。数学学习中，有些问题正向思考，往往思绪繁琐，甚至束手无策而无法解答。此时，可以从问题出发，一步一步逆向推理寻找解决问题所需的条件，从而发现数量之间的本质联系，使问题迅速得到解决。
例3：某数加25，再除以5，再减去15，然后乘以7，最后得70，求某数。
分析与解：从条件“最后得70”逆向分析，如果不乘以7，结果应为70÷7＝10；如果不减去15，此数应是10＋15＝25；如果不除以5，此数应为25×5＝125；如果不加上25，某数应是125-25＝100。
例4：一本书，小亮第一天读全书的1/2少10页，第二天读余下的3/5多3页，还剩25页没读。这本书共有多少页? 分析与解：从问题出发，以还剩25页没读为着眼点，进行逆向分析比顺向分析要方便得多。还剩下25页是第二天读余下的3/5多3页后剩下的页数，因而第二天读余下的3/5后应剩25＋3＝28(页)，所以第一天读完全书的1/2少10页后余下的页数应当是28÷(1-3／5)＝70(页)。如果第一天刚好读完全书的1／2而不少10页，就会余下70-10＝60(页)，所以全书的页数应当是60÷(1-1/2)=120(页)。
三、鲁班造锯与联想策略
鲁班造锯是人们熟悉的又一个历史故事。当鲁班的手不慎被丝茅草割破后，他仔细观察，发现丝茅草的叶子边沿布满小齿，于是便产生联想，根据丝茅草的结构和特征发明了锯子。
鲁班发明锯子实际上运用了联想策略。数学学习中，教师引导学生从一个生疏问题联想到一个相似且熟悉的问题，可以帮助学生突破感官的时空限制，扩大感知领域，把以前认识的事物与所要解决的问题联系起来，丰富学生的认识，发展学生的思维，促使学生有所发现、有所创造，找到解决问题的途径，培养学生的创造能力。
例5：从时钟指向4点开始，至少经过多少分钟，分针和时针才能重合?
分析与解：时针每走一格，分针就需走12格，如果把一格看作路程单位，那么就可以联想到这样一个熟悉的行程追及问题：“甲、乙两人从两地同向而行，甲在乙前面4千米，甲每小时走1千米，乙每小时走12千米。如果甲、乙两人同时出发，问乙经过多少时间能追上甲?”通过这样的对比联想，可得例5的解法：4÷(12－1)＝4/11(小时)：240/11分钟。
例6：王老师为学校买体育用品，他所带的钱可买12个篮球或18个足球。如果王老师买了8个篮球，剩下的钱全部买足球，还可以买几个足球?
分析与解：题中既不知王老师所带的钱数，又不知每个篮球和足球的价钱，学生感到困难，无从下手。如果把总钱数理解为总工作量，把所带的钱可买12个篮球或18个足球理解为甲乙两人完成总工作量各需12天和18天，那么可联想到一道工程问题：“一项工程，甲做需12天，乙做需18天，现在甲先做8天后，再由乙接着做，还需多少天能完成?”撇开题目的具体内容，这道工程问题的结构和例6完全一样，由此可得例6的解答方法：(1-11/2×8)÷1/18＝6(个)。
四、路边李苦与假设策略
古时候，一个叫王戎的孩子与伙伴们在大路上玩耍，他们看到路旁树上结了许多李子，都蜂拥而上摘李子吃，惟有王戎没去摘。路人问之，王戎断定说李子是苦的，还不能吃。伙伴们感到奇怪，便问王戎：“你又没吃，怎知李子是苦的?”王戎说：“假设李子是甜的，早就被过路的人摘完了，树上怎么还会有这么多的李子呢?”
故事中王戎的推理分析运用了假设策略。数学学习中，经常可以运用这种假设策略，先假设需要解决问题中的某个条件成立，由此得出一些关系和结论，与已知条件产生差异和矛盾，通过找出差异的原因消除矛盾，最终达到解决问题的目的。 例7：玻璃店委托铁路局运1000块玻璃，议定每块运费0.5元，如损失一块，不但没有运费，并且要赔偿成本3.5元。货物运到目的地后，铁路局获得运费480元，铁路局完好运到目的地的玻璃有多少块?
分析与解：假设铁路局把1000块玻璃全部完好地运到目的地，则铁路局可获运费0.5×1000＝500(元)，这比实际获得的运费多500-480＝20(元)。因为损失一块玻璃比把它完好运到目的地少0.5＋3.5＝4(元)，可知比实际获得运费多20元是把损失的20÷4＝5(块)玻璃假设为完好运到目的地造成，所以铁路局完好运到目的地的玻璃是1000-5＝995(块)。 例8：水果店有梨和苹果共重137千克，已知梨重的1/5与苹果重的1/7共23千克。水果店有苹果多少千克?
分析与解：题中已知分率1/5和1/7的单位“1”不同，难以找到解题的方法。若能假设总量为单位1，再假设梨和苹果各取1/5，那么就找到了解题的突破口，即梨重×1/5＋苹果重×1/5＝(梨重＋苹果重)×1/5＝总量×1/5，就是137×1/5＝27.4（千克)。而27.4-23＝4.4(千克)也就是梨和苹果的1/5与1/7分率差的对应量，解答为：(137×1/5-23)÷(1/5-1/7)＝77(千克)。
解决问题的策略与故事
学生在课内和课外阅读过不少反映古人非凡智慧的历史故事，这些历史故事中所包含的智慧和策略应用于数学学习，可以收到举一反三、启迪思维之效，对于学生感悟解题策略，提高分析解决问题的能力，大有裨益。现举几例。
一、曹冲称象与转化策略
三国时，曹操的一位朋友用船给他送来一头大象，曹操很想知道大象的重量，可大象太重无法直接称量，众大臣冥思苦想仍不得法。这时，聪明的曹冲想到了一个方法：把不能直接称量的大象体重转化为能直接称量的石头重量。就是先把大象牵到船上，在船身刻上水位线，再从船上牵下大象，把石头一块块装上船，直到水位线与大象在船上时刻划的水位线相同，然后卸下石头，称出石头重量，由此间接测出大象的体重。
曹冲思考、解决称象的问题运用了转化策略。数学学习中，学生如能掌握这种转化策略，在遇到一些数量关系复杂、隐蔽而难以解决的问题时，就可通过某种转化过程，使生疏的问题熟悉化、抽象的问题具体化、复杂的问题简单化，从而顺利解决问题。
例1：一条横截面是梯形的水渠，它的下底宽1米，上口宽2米，水深1.2米，如果渠中水流的速度是每小时200米，求1小时流过的水有多少立方米?
分析与解：这是一个求流水量的问题，比较抽象，解题时，可引导学生运用转化策略将问题划归为一个等价可解的问题：求横截面是梯形的直棱柱体积问题，列式为：(2＋1)×1.2÷2×200＝360(立方米)。
例2父子俩的年龄和为63岁，父亲年龄的1/5与儿子年龄的1/2相等，求父子俩的年龄各为多少岁?
分析与解：把已知条件“父亲年龄的1/5与儿子年龄的1/2相等”转化为：父亲与儿子的年龄比是5：2，进而推出新的数量关系：“父亲年龄为父子俩年龄和的5/7，儿子年龄为父子俩年龄和的2/7”“父亲的年龄是儿子年龄的5/2倍，儿子年龄是父亲年龄的2/5”。这样，一经转化本是复杂的问题就变得十分简单。
父亲的年龄为：63×5/7＝45(岁)或63÷(1＋2/5)＝45(岁)。
儿子的年龄为：63×2/7＝18(岁)或63÷(1＋5/2)＝18(岁)。
二、司马光砸缸与逆向策略
司马光砸缸的故事是学生很熟悉的历史故事：一个小伙伴不慎跌人装满水的大缸中，司马光和伙伴们人小个矮，无法将缸内的小伙伴拉出，在使“人离开水”的情急之中，司马光想到了使“水离开人”的办法，用石头砸破缸，让水流走，救出了小伙伴。真可谓聪明之举。
司马光砸缸把“人离开水”变为“水离开人”，运用的就是一种逆向策略。数学学习中，有些问题正向思考，往往思绪繁琐，甚至束手无策而无法解答。此时，可以从问题出发，一步一步逆向推理寻找解决问题所需的条件，从而发现数量之间的本质联系，使问题迅速得到解决。
例3：某数加25，再除以5，再减去15，然后乘以7，最后得70，求某数。
分析与解：从条件“最后得70”逆向分析，如果不乘以7，结果应为70÷7＝10；如果不减去15，此数应是10＋15＝25；如果不除以5，此数应为25×5＝125；如果不加上25，某数应是125-25＝100。
例4：一本书，小亮第一天读全书的1/2少10页，第二天读余下的3/5多3页，还剩25页没读。这本书共有多少页? 分析与解：从问题出发，以还剩25页没读为着眼点，进行逆向分析比顺向分析要方便得多。还剩下25页是第二天读余下的3/5多3页后剩下的页数，因而第二天读余下的3/5后应剩25＋3＝28(页)，所以第一天读完全书的1/2少10页后余下的页数应当是28÷(1-3／5)＝70(页)。如果第一天刚好读完全书的1／2而不少10页，就会余下70-10＝60(页)，所以全书的页数应当是60÷(1-1/2)=120(页)。
三、鲁班造锯与联想策略
鲁班造锯是人们熟悉的又一个历史故事。当鲁班的手不慎被丝茅草割破后，他仔细观察，发现丝茅草的叶子边沿布满小齿，于是便产生联想，根据丝茅草的结构和特征发明了锯子。
鲁班发明锯子实际上运用了联想策略。数学学习中，教师引导学生从一个生疏问题联想到一个相似且熟悉的问题，可以帮助学生突破感官的时空限制，扩大感知领域，把以前认识的事物与所要解决的问题联系起来，丰富学生的认识，发展学生的思维，促使学生有所发现、有所创造，找到解决问题的途径，培养学生的创造能力。
例5：从时钟指向4点开始，至少经过多少分钟，分针和时针才能重合?
分析与解：时针每走一格，分针就需走12格，如果把一格看作路程单位，那么就可以联想到这样一个熟悉的行程追及问题：“甲、乙两人从两地同向而行，甲在乙前面4千米，甲每小时走1千米，乙每小时走12千米。如果甲、乙两人同时出发，问乙经过多少时间能追上甲?”通过这样的对比联想，可得例5的解法：4÷(12－1)＝4/11(小时)：240/11分钟。
例6：王老师为学校买体育用品，他所带的钱可买12个篮球或18个足球。如果王老师买了8个篮球，剩下的钱全部买足球，还可以买几个足球?
分析与解：题中既不知王老师所带的钱数，又不知每个篮球和足球的价钱，学生感到困难，无从下手。如果把总钱数理解为总工作量，把所带的钱可买12个篮球或18个足球理解为甲乙两人完成总工作量各需12天和18天，那么可联想到一道工程问题：“一项工程，甲做需12天，乙做需18天，现在甲先做8天后，再由乙接着做，还需多少天能完成?”撇开题目的具体内容，这道工程问题的结构和例6完全一样，由此可得例6的解答方法：(1-11/2×8)÷1/18＝6(个)。
四、路边李苦与假设策略
古时候，一个叫王戎的孩子与伙伴们在大路上玩耍，他们看到路旁树上结了许多李子，都蜂拥而上摘李子吃，惟有王戎没去摘。路人问之，王戎断定说李子是苦的，还不能吃。伙伴们感到奇怪，便问王戎：“你又没吃，怎知李子是苦的?”王戎说：“假设李子是甜的，早就被过路的人摘完了，树上怎么还会有这么多的李子呢?”
故事中王戎的推理分析运用了假设策略。数学学习中，经常可以运用这种假设策略，先假设需要解决问题中的某个条件成立，由此得出一些关系和结论，与已知条件产生差异和矛盾，通过找出差异的原因消除矛盾，最终达到解决问题的目的。 例7：玻璃店委托铁路局运1000块玻璃，议定每块运费0.5元，如损失一块，不但没有运费，并且要赔偿成本3.5元。货物运到目的地后，铁路局获得运费480元，铁路局完好运到目的地的玻璃有多少块?
分析与解：假设铁路局把1000块玻璃全部完好地运到目的地，则铁路局可获运费0.5×1000＝500(元)，这比实际获得的运费多500-480＝20(元)。因为损失一块玻璃比把它完好运到目的地少0.5＋3.5＝4(元)，可知比实际获得运费多20元是把损失的20÷4＝5(块)玻璃假设为完好运到目的地造成，所以铁路局完好运到目的地的玻璃是1000-5＝995(块)。 例8：水果店有梨和苹果共重137千克，已知梨重的1/5与苹果重的1/7共23千克。水果店有苹果多少千克?
分析与解：题中已知分率1/5和1/7的单位“1”不同，难以找到解题的方法。若能假设总量为单位1，再假设梨和苹果各取1/5，那么就找到了解题的突破口，即梨重×1/5＋苹果重×1/5＝(梨重＋苹果重)×1/5＝总量×1/5，就是137×1/5＝27.4（千克)。而27.4-23＝4.4(千克)也就是梨和苹果的1/5与1/7分率差的对应量，解答为：(137×1/5-23)÷(1/5-1/7)＝77(千克)。