圆中的分类讨论(多解问题)
一、由于点与圆的位置关系的多样性引起的不唯一性
方法归纳：点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，但圆上的点具有唯一性．所以，只考虑点在圆内和点在圆外两种情况．
【例1】 已知点A 到⊙O 的最近距离和最远距离分别是3 cm和9 cm，求⊙O 的半径．
1．点A 到圆的最近距离是a ，最远距离是b ，则该圆的直径是__________．
2. 已知：⊙O 的直径为14cm ，弦AB=10cm，点P 为AB 上一点，OP=5cm，则AP 的长为______cm．
3. 已知∆内接于圆O ，∠=，则∠A B C O B C 35︒A 的度数为_______
4. 已知△ABC 中，AB=15，BC=14，△ABC 的面积为84，⊙A 的半径为13，则点C 与⊙A 的位置关系是
_____________________________________________.
二、由于圆的对称性引起的不唯一性
方法归纳：平行弦位于圆心O 的同侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之差；平行弦位于圆心O 的异侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之和．
【例2】 已知，⊙O 的直径是10 cm，弦AB ∥CD ，AB ＝6 cm，CD ＝8 cm，求AB 与CD 之间的距离．
5．如图，⊙O 的半径为17 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝30 cm ，CD ＝16 cm ，圆心O 位于AB ，CD 的上方，则AB 和CD 的距离为________．
6．在半径为5 cm的⊙O 中，如果弦CD ＝8 cm，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，那么AE 的长为________．
7．如图，已知PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 分别为切点，C 为⊙O 上不与A ，B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________．
8．在半径为1的⊙O 中，弦AB 2，AC ＝3，那么∠BAC ＝________．
6. 已知点P 是半径为2的⊙O 外一点，PA 是⊙的切线，切点为A ，且PA=2，在⊙O 内作长为2
PB ，则PB 的长为______． 的弦AB ，连接
三、由于一弦对二弧而引起的不唯一性
方法归纳：一弧对一圆心角和一圆周角，但一弦却对一圆心角和二圆周角，且同弦所对两圆周角互补．
【例3】 弦AB 的长等于半径，则AB 所对的圆周角等于多少度？
9．⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BOC ＝100°，则∠A ＝________．
四、由于动点问题而引发的直线与圆位置关系的不唯一性
方法归纳：由于动点的移动而导致的图形整体运动，要抓住在图形变化时几种特殊静态位置的关键要素．从而分类型以静态位置的条件达到解题的目的．
3【例4】 如图，P 为正比例函数y ＝x 图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x，y) ．求⊙P 2
与直线x ＝2相切时点P 的坐标．
10．(无锡期中) 如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8 cm，AD ＝24 cm，BC ＝26 cm，AB 为⊙O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1 cm/s的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以3 cm/s的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s，问：
(1)t为何值时，P ，Q 两点之间的距离为10 cm?
(2)t分别为何值时，直线PQ 与⊙O 相切？相离？相交？
11. 已知△ABC 内接与圆O ，AB=AC=a，BC=b，AE 切○O 于点A ，BC ∥AE ，在射线AE 上是否存在一点P ，使得以A 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似？若不存在，请说明理由；若存在，求出AP 的长。
12、如图，形如量角器的半圆O 的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。半圆O 以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上。设运动时间为t (s)，当t=0s
时，半圆O 在⊿ABC 的左侧，OC=8cm。（1）当t 为何值时，⊿ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切？
（2）当⊿ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切时，如果半圆O 与直线DE 围成的区域与⊿ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
413如图, 在平面直角坐标系中, 已知⊙C 的半径为r, 直线l :y=x-4, 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点. 3
（1）当r=1.5时，将⊙C 从点C 与坐标原点重合开始, 沿y 轴向下运动, 当⊙C 与直线l 相切时, 点C 移动的距离是 ________
（2）若点C 位于坐标原点O, 当⊙C 与△OAB 的斜边AB 有1个公共点时,r 的取值范围是 ________
（3）若点C 位于坐标原点O, 当⊙C 与△OAB 的边有2个交点时,r 的取值范围是____________
圆中的分类讨论(多解问题)
一、由于点与圆的位置关系的多样性引起的不唯一性
方法归纳：点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，但圆上的点具有唯一性．所以，只考虑点在圆内和点在圆外两种情况．
【例1】 已知点A 到⊙O 的最近距离和最远距离分别是3 cm和9 cm，求⊙O 的半径．
1．点A 到圆的最近距离是a ，最远距离是b ，则该圆的直径是__________．
2. 已知：⊙O 的直径为14cm ，弦AB=10cm，点P 为AB 上一点，OP=5cm，则AP 的长为______cm．
3. 已知∆内接于圆O ，∠=，则∠A B C O B C 35︒A 的度数为_______
4. 已知△ABC 中，AB=15，BC=14，△ABC 的面积为84，⊙A 的半径为13，则点C 与⊙A 的位置关系是
_____________________________________________.
二、由于圆的对称性引起的不唯一性
方法归纳：平行弦位于圆心O 的同侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之差；平行弦位于圆心O 的异侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之和．
【例2】 已知，⊙O 的直径是10 cm，弦AB ∥CD ，AB ＝6 cm，CD ＝8 cm，求AB 与CD 之间的距离．
5．如图，⊙O 的半径为17 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝30 cm ，CD ＝16 cm ，圆心O 位于AB ，CD 的上方，则AB 和CD 的距离为________．
6．在半径为5 cm的⊙O 中，如果弦CD ＝8 cm，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，那么AE 的长为________．
7．如图，已知PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 分别为切点，C 为⊙O 上不与A ，B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________．
8．在半径为1的⊙O 中，弦AB 2，AC ＝3，那么∠BAC ＝________．
6. 已知点P 是半径为2的⊙O 外一点，PA 是⊙的切线，切点为A ，且PA=2，在⊙O 内作长为2
PB ，则PB 的长为______． 的弦AB ，连接
三、由于一弦对二弧而引起的不唯一性
方法归纳：一弧对一圆心角和一圆周角，但一弦却对一圆心角和二圆周角，且同弦所对两圆周角互补．
【例3】 弦AB 的长等于半径，则AB 所对的圆周角等于多少度？
9．⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BOC ＝100°，则∠A ＝________．
四、由于动点问题而引发的直线与圆位置关系的不唯一性
方法归纳：由于动点的移动而导致的图形整体运动，要抓住在图形变化时几种特殊静态位置的关键要素．从而分类型以静态位置的条件达到解题的目的．
3【例4】 如图，P 为正比例函数y ＝x 图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x，y) ．求⊙P 2
与直线x ＝2相切时点P 的坐标．
10．(无锡期中) 如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8 cm，AD ＝24 cm，BC ＝26 cm，AB 为⊙O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1 cm/s的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以3 cm/s的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s，问：
(1)t为何值时，P ，Q 两点之间的距离为10 cm?
(2)t分别为何值时，直线PQ 与⊙O 相切？相离？相交？
11. 已知△ABC 内接与圆O ，AB=AC=a，BC=b，AE 切○O 于点A ，BC ∥AE ，在射线AE 上是否存在一点P ，使得以A 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似？若不存在，请说明理由；若存在，求出AP 的长。
12、如图，形如量角器的半圆O 的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。半圆O 以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上。设运动时间为t (s)，当t=0s
时，半圆O 在⊿ABC 的左侧，OC=8cm。（1）当t 为何值时，⊿ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切？
（2）当⊿ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切时，如果半圆O 与直线DE 围成的区域与⊿ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
413如图, 在平面直角坐标系中, 已知⊙C 的半径为r, 直线l :y=x-4, 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点. 3
（1）当r=1.5时，将⊙C 从点C 与坐标原点重合开始, 沿y 轴向下运动, 当⊙C 与直线l 相切时, 点C 移动的距离是 ________
（2）若点C 位于坐标原点O, 当⊙C 与△OAB 的斜边AB 有1个公共点时,r 的取值范围是 ________
（3）若点C 位于坐标原点O, 当⊙C 与△OAB 的边有2个交点时,r 的取值范围是____________