连续非周期信号频谱分析及Matlab实现 作者：谢海霞 孙志雄
来源：《现代电子技术》2013年第11期
摘 要： 为了便于计算机辅助计算复杂的连续信号频谱，经常采用DFT方法。DFT不仅能反映信号的频域特征更便于用计算机处理。这里先对连续非周期信号做离散化处理，然后截短得到有限长序列，最后做DFT变换。针对常用信号DFT谱分析的原理及谱分析中的相关问题进行了较为深入的探讨，并结合实例用Matlab仿真软件进行了分析和验证。
关键词： DFT； 频谱分析； Matlab； 矩形窗； Hamming窗
中图分类号：TN911.72⁃34 文献标识码： A 文章编号： 1004⁃373X（2013）11⁃0053⁃04 0 引 言
频谱分析在数字信号处理中用途广泛：如滤波、检测等方面，这些都需要DFT（Discrete Fourier Transform）运算[1⁃3]。信号的Fourier变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应关系，可以借助DFT来分析。有限长序列的DFT可以由数字方法直接计算，且DFT存在快速算法，便于用计算机处理[4⁃6]。本文介绍具体的连续非周期信号结合Matlab软件来分析其频谱。
1 连续非周期信号谱DFT分析
在已知连续信号数学解析式的情况下，非周期信号的频谱可以根据Fourier变换的定义进行解析计算。实际应用中的多数信号不存在数学解析式，信号的频谱无法利用傅里叶分析公式方法直接计算，一般需采用数值方法进行近似计算分析频谱，在进行数字计算时，需对计算的连续变量进行离散化。由于连续非周期信号[x（t）]的频谱函数[X（jω）]是连续函数，因此，需要对其进行离散化处理得到[x[n]]以近似分析相应的频谱。通过建立序列[x[n]]的离散Fourier变换[X[m]]与连续非周期信号[x（t）]的Fourier变换[X（jω）]之间的关系，可以利用DFT对连续非周期信号频谱进行近似分析，此近似分析过程中一般将会出现三种现象：混叠现象、泄漏现象和栅栏现象[7⁃8]。这些现象与应用中信号和DFT的参数选择有关。下面分别讨论近似过程中可能出现的问题及其解决方法。
2 DFT分析过程中出现的若干问题
2.1 混叠现象
由DFT计算出的频谱是信号[x（t）]的频谱[X（jω）]周期化的抽样值，如果连续信号不是带限信号，或者抽样频率不满足抽样定理，在连续信号离散化时，就会出现信号频谱的混叠。解决连续信号离散化过程中的频谱混叠主要有两种方法：对于带限连续信号，只要提高抽样频
率使之满足时域抽样定理；对于非带限连续信号，可根据实际信号对其进行低通滤波，使之成为带限信号。工程实际中的连续信号一般都不是带限信号，连续信号在抽样前通常都经过一个模拟低通滤波器（称为抗混叠滤波器）进行低通滤波，以减少混叠误差，提高频谱分析精度。
2.2 泄漏现象
对连续非周期信号的采样序列[x[n]]进行DFT运算时，时间长度总是取有限值，在将信号截短即时域加窗处理的过程中，出现了分散的扩展谱线的现象，称为频谱泄漏。对离散序列的加窗实际上是将离散序列与窗函数相乘，加窗后信号的频谱是加窗前信号的频谱与窗函数频谱的卷积，造成截短后信号的频谱与截短前信号的频谱不同，所得的频谱在原来没有频谱的区间出现了频谱。原来比较尖锐的谱峰变得比较平缓，当两个不同频率的谱峰靠得比较近时，可能显现不出两个明显的峰值。特别是强信号谱的旁瓣可能淹没弱信号的主谱或误认为是另一假信号的主谱线。矩形窗的旁瓣幅度大，谱间干扰严重。频谱泄漏使频谱变模糊，分辨率（事实上通常规定DFT的频率分辨率为[fsN]，[fs]为采样频率，[N]是指信号[x[n]]的有效长度）变差，泄漏程度与窗函数幅度谱主瓣宽度有关。窗型一定，窗口越长，主瓣越窄，频谱泄漏越小；窗口长度一定，矩形窗主瓣最窄，频谱泄漏最小，但其旁瓣的幅度最大。因此为了尽量减少泄漏现象，应选用旁瓣幅度小、主瓣窄，即“泄漏”小的窗函数。相对而言，布莱克曼窗的旁瓣幅度比矩形窗小，谱间干扰小，但其主瓣过渡带宽，分辨率差。采样频率或采样周期是在满足混叠误差前提下选取的，当采样频率或采样周期确定后，适当增加窗口长度有利于减小泄漏误差。
2.3 栅栏现象
DFT得到的频谱[X[m]]只能是连续非周期信号频谱[X（jω）]上的有限离散频点采样，由于[X[m]]是离散序列，因而无法反映抽样点之间的细节，就如同隔着百叶窗观察窗外的景色，这种现象称为栅栏现象。栅栏现象是利用DFT分析连续非周期信号频谱过程中无法克服的现象，有时频谱中的某些重要信息恰好就在抽样点之间，将被错过，而检测不出。为了改善栅栏现象，把被“栅栏”挡住的频谱分量检测出来，可在原记录序列后面补零，增加DFT的长度，即增加频域[X（jω）]上的采样点数N，改变离散谱线的分布，就可能检测出原来看不到的频谱分量。
3 利用DFT进行谱分析的参数选择
在利用DFT分析连续时间信号的频谱时，涉及频谱混叠、频率泄漏及栅栏现象。频率混叠与连续信号的时域抽样间隔有关，频率泄漏与信号的时域加窗截短的长度及窗型有关，栅栏现象与DFT的点数有关。在大多数情况下，一般已知待分析连续信号的最高频率，以及希望的DFT分析的频率分辨率。下面根据信号的Fourier变换的理论，讨论利用DFT进行谱分析的参数（抽样频率、持续时间、样点数等）选择的原则。
首先确定信号抽样频率[fs]，[fs]应满足时域抽样定理，即[fs≥2fm，]其中[fm]为待分析的连续信号的最高频率，抽样间隔T应满足：
连续非周期信号频谱分析及Matlab实现 作者：谢海霞 孙志雄
来源：《现代电子技术》2013年第11期
摘 要： 为了便于计算机辅助计算复杂的连续信号频谱，经常采用DFT方法。DFT不仅能反映信号的频域特征更便于用计算机处理。这里先对连续非周期信号做离散化处理，然后截短得到有限长序列，最后做DFT变换。针对常用信号DFT谱分析的原理及谱分析中的相关问题进行了较为深入的探讨，并结合实例用Matlab仿真软件进行了分析和验证。
关键词： DFT； 频谱分析； Matlab； 矩形窗； Hamming窗
中图分类号：TN911.72⁃34 文献标识码： A 文章编号： 1004⁃373X（2013）11⁃0053⁃04 0 引 言
频谱分析在数字信号处理中用途广泛：如滤波、检测等方面，这些都需要DFT（Discrete Fourier Transform）运算[1⁃3]。信号的Fourier变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应关系，可以借助DFT来分析。有限长序列的DFT可以由数字方法直接计算，且DFT存在快速算法，便于用计算机处理[4⁃6]。本文介绍具体的连续非周期信号结合Matlab软件来分析其频谱。
1 连续非周期信号谱DFT分析
在已知连续信号数学解析式的情况下，非周期信号的频谱可以根据Fourier变换的定义进行解析计算。实际应用中的多数信号不存在数学解析式，信号的频谱无法利用傅里叶分析公式方法直接计算，一般需采用数值方法进行近似计算分析频谱，在进行数字计算时，需对计算的连续变量进行离散化。由于连续非周期信号[x（t）]的频谱函数[X（jω）]是连续函数，因此，需要对其进行离散化处理得到[x[n]]以近似分析相应的频谱。通过建立序列[x[n]]的离散Fourier变换[X[m]]与连续非周期信号[x（t）]的Fourier变换[X（jω）]之间的关系，可以利用DFT对连续非周期信号频谱进行近似分析，此近似分析过程中一般将会出现三种现象：混叠现象、泄漏现象和栅栏现象[7⁃8]。这些现象与应用中信号和DFT的参数选择有关。下面分别讨论近似过程中可能出现的问题及其解决方法。
2 DFT分析过程中出现的若干问题
2.1 混叠现象
由DFT计算出的频谱是信号[x（t）]的频谱[X（jω）]周期化的抽样值，如果连续信号不是带限信号，或者抽样频率不满足抽样定理，在连续信号离散化时，就会出现信号频谱的混叠。解决连续信号离散化过程中的频谱混叠主要有两种方法：对于带限连续信号，只要提高抽样频
率使之满足时域抽样定理；对于非带限连续信号，可根据实际信号对其进行低通滤波，使之成为带限信号。工程实际中的连续信号一般都不是带限信号，连续信号在抽样前通常都经过一个模拟低通滤波器（称为抗混叠滤波器）进行低通滤波，以减少混叠误差，提高频谱分析精度。
2.2 泄漏现象
对连续非周期信号的采样序列[x[n]]进行DFT运算时，时间长度总是取有限值，在将信号截短即时域加窗处理的过程中，出现了分散的扩展谱线的现象，称为频谱泄漏。对离散序列的加窗实际上是将离散序列与窗函数相乘，加窗后信号的频谱是加窗前信号的频谱与窗函数频谱的卷积，造成截短后信号的频谱与截短前信号的频谱不同，所得的频谱在原来没有频谱的区间出现了频谱。原来比较尖锐的谱峰变得比较平缓，当两个不同频率的谱峰靠得比较近时，可能显现不出两个明显的峰值。特别是强信号谱的旁瓣可能淹没弱信号的主谱或误认为是另一假信号的主谱线。矩形窗的旁瓣幅度大，谱间干扰严重。频谱泄漏使频谱变模糊，分辨率（事实上通常规定DFT的频率分辨率为[fsN]，[fs]为采样频率，[N]是指信号[x[n]]的有效长度）变差，泄漏程度与窗函数幅度谱主瓣宽度有关。窗型一定，窗口越长，主瓣越窄，频谱泄漏越小；窗口长度一定，矩形窗主瓣最窄，频谱泄漏最小，但其旁瓣的幅度最大。因此为了尽量减少泄漏现象，应选用旁瓣幅度小、主瓣窄，即“泄漏”小的窗函数。相对而言，布莱克曼窗的旁瓣幅度比矩形窗小，谱间干扰小，但其主瓣过渡带宽，分辨率差。采样频率或采样周期是在满足混叠误差前提下选取的，当采样频率或采样周期确定后，适当增加窗口长度有利于减小泄漏误差。
2.3 栅栏现象
DFT得到的频谱[X[m]]只能是连续非周期信号频谱[X（jω）]上的有限离散频点采样，由于[X[m]]是离散序列，因而无法反映抽样点之间的细节，就如同隔着百叶窗观察窗外的景色，这种现象称为栅栏现象。栅栏现象是利用DFT分析连续非周期信号频谱过程中无法克服的现象，有时频谱中的某些重要信息恰好就在抽样点之间，将被错过，而检测不出。为了改善栅栏现象，把被“栅栏”挡住的频谱分量检测出来，可在原记录序列后面补零，增加DFT的长度，即增加频域[X（jω）]上的采样点数N，改变离散谱线的分布，就可能检测出原来看不到的频谱分量。
3 利用DFT进行谱分析的参数选择
在利用DFT分析连续时间信号的频谱时，涉及频谱混叠、频率泄漏及栅栏现象。频率混叠与连续信号的时域抽样间隔有关，频率泄漏与信号的时域加窗截短的长度及窗型有关，栅栏现象与DFT的点数有关。在大多数情况下，一般已知待分析连续信号的最高频率，以及希望的DFT分析的频率分辨率。下面根据信号的Fourier变换的理论，讨论利用DFT进行谱分析的参数（抽样频率、持续时间、样点数等）选择的原则。
首先确定信号抽样频率[fs]，[fs]应满足时域抽样定理，即[fs≥2fm，]其中[fm]为待分析的连续信号的最高频率，抽样间隔T应满足：