第38卷第17期2008年9月数学的实践与认识V o l 138 N o 117
Sep. , 2008 “席位分配问题的数学模型”的一个注解杨学伟1, 刘红卫2
(1. 南开大学数学科学学院, )
(2. 西安电子科技大学)
(年7, ) 中的摘要: 对《席位分配问题的数学模型》一文作了
注解, 反例
1]:设某个部门由m 个单位组成, 其中A i 的人数为p i 且整个部门的总人数为p . 如果该部门需要召开一个由n
个代表参加的代表大会,
那么会议的组织者就必须把n
个席位分配到m 个单位中去
. 设每个单位分配到的席位数为n i (1Φi Φm ) , 则非负整数向量X =(n 1, n 2, …, n m ) 满足n 1+n 2+…+n m , 此时, 称X 为席位分配方
p i 均为整数, 则最合理的分配方案为n i =q i , 但是在实p 际中, 所有q i 是整数的情况非常少见, 在大多数情下, {q i 1Φi Φm }中一定存在非整数. 案或简称为方案. 当然, 如果q i =令:x 表示不大于x 的最大整数, x 表示不小于x 的最小整数.
文献[1]对席位分配问题作了深入地研究, 提到了席位分配问题的4个模型. 其中模型2如下:
m
m in D 2(X ) =∑∑i =1b ∈B i
m
-n i
i n
2m =∑i =1-n i 2n 2m 原文误为∑i =1-n i 22n 2s . t . ∑n
i =1=n , n i Ε1为自然数, 1Φi Φm
文献[1]证明了模型2与H un tington 方法(Q 值分配法) 等价, 其中的定理2指出:设n 为自然数(n Εm ) , 则由模型2得到的席位分配方案满足:
1) 满足除公理4以外的所有公理;
2) 可能违背公理4, 但是不存在1Φt , s Φm 使得n t
这里的公理是指由M . L . B alin sky 和H . P . Young 在1974年为研究席位分配问题而引入的公理化体系[1, 2], 其中的公理5为:
公理(接近份额性) 没有从一个单位到另一个单位的名额转让使得这两个单位都接近于它们应得的份额, 即对任意1Φi ≠j Φm , 不等式: n i +1-np i p
我们通过研究发现, 模型2得到的席位分配方案是不满足公理5的, 反例如下:取(p =19, n =4, p 1=12, p 2=7) , 由模型2得到的结果为n 1=n 2=2. 对此例显然有:
收稿日期:2005205214
17期杨学伟, 等:“席位分配问题的数学模型”
的一个注解99
0. 474= n 1+1-np 1 p
和
0. 474= n 2-1-np 2 p
这说明, 模型2得到的席位分配方案违背公理5. 事实上, 说明模型2违背公理5. 例如:
(p =38, n =8, p 1=p 2=12, p 3=p 4=7(p =n p 39) 等.
可见, 文献[1]中定理2参考文献:
[1]. [J ]. 数学的实践与认识, 2002, 32(4) :5412548.
[2]. [M ]. 北京:北京师范大学出版社, 1997. A Note of ″The M athematicsM odel
of the D istr ibuti ng Seats ″
YAN G Xue 2w ei , L I U Hong 2w ei 12
(1. Schoo l of M athem atical Sciences , N ankaiU niversity , T ianjin 300071, Ch ina )
(2. D epartm ent of M athem atics , X idian U niversity , X i ′an 710071, Ch ina )
Abstract : W e m ake a no te of 《T he M athem atics M odel of the D istributing Seats 》in the j our 2
(V o l . 32, N o . 4, July , 2002) , w e po int nal 《M A TH E M A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EOR Y 》
out one erro r of the article .
Keywords : seat ; distribute ; counter examp le
第38卷第17期2008年9月数学的实践与认识V o l 138 N o 117
Sep. , 2008 “席位分配问题的数学模型”的一个注解杨学伟1, 刘红卫2
(1. 南开大学数学科学学院, )
(2. 西安电子科技大学)
(年7, ) 中的摘要: 对《席位分配问题的数学模型》一文作了
注解, 反例
1]:设某个部门由m 个单位组成, 其中A i 的人数为p i 且整个部门的总人数为p . 如果该部门需要召开一个由n
个代表参加的代表大会,
那么会议的组织者就必须把n
个席位分配到m 个单位中去
. 设每个单位分配到的席位数为n i (1Φi Φm ) , 则非负整数向量X =(n 1, n 2, …, n m ) 满足n 1+n 2+…+n m , 此时, 称X 为席位分配方
p i 均为整数, 则最合理的分配方案为n i =q i , 但是在实p 际中, 所有q i 是整数的情况非常少见, 在大多数情下, {q i 1Φi Φm }中一定存在非整数. 案或简称为方案. 当然, 如果q i =令:x 表示不大于x 的最大整数, x 表示不小于x 的最小整数.
文献[1]对席位分配问题作了深入地研究, 提到了席位分配问题的4个模型. 其中模型2如下:
m
m in D 2(X ) =∑∑i =1b ∈B i
m
-n i
i n
2m =∑i =1-n i 2n 2m 原文误为∑i =1-n i 22n 2s . t . ∑n
i =1=n , n i Ε1为自然数, 1Φi Φm
文献[1]证明了模型2与H un tington 方法(Q 值分配法) 等价, 其中的定理2指出:设n 为自然数(n Εm ) , 则由模型2得到的席位分配方案满足:
1) 满足除公理4以外的所有公理;
2) 可能违背公理4, 但是不存在1Φt , s Φm 使得n t
这里的公理是指由M . L . B alin sky 和H . P . Young 在1974年为研究席位分配问题而引入的公理化体系[1, 2], 其中的公理5为:
公理(接近份额性) 没有从一个单位到另一个单位的名额转让使得这两个单位都接近于它们应得的份额, 即对任意1Φi ≠j Φm , 不等式: n i +1-np i p
我们通过研究发现, 模型2得到的席位分配方案是不满足公理5的, 反例如下:取(p =19, n =4, p 1=12, p 2=7) , 由模型2得到的结果为n 1=n 2=2. 对此例显然有:
收稿日期:2005205214
17期杨学伟, 等:“席位分配问题的数学模型”
的一个注解99
0. 474= n 1+1-np 1 p
和
0. 474= n 2-1-np 2 p
这说明, 模型2得到的席位分配方案违背公理5. 事实上, 说明模型2违背公理5. 例如:
(p =38, n =8, p 1=p 2=12, p 3=p 4=7(p =n p 39) 等.
可见, 文献[1]中定理2参考文献:
[1]. [J ]. 数学的实践与认识, 2002, 32(4) :5412548.
[2]. [M ]. 北京:北京师范大学出版社, 1997. A Note of ″The M athematicsM odel
of the D istr ibuti ng Seats ″
YAN G Xue 2w ei , L I U Hong 2w ei 12
(1. Schoo l of M athem atical Sciences , N ankaiU niversity , T ianjin 300071, Ch ina )
(2. D epartm ent of M athem atics , X idian U niversity , X i ′an 710071, Ch ina )
Abstract : W e m ake a no te of 《T he M athem atics M odel of the D istributing Seats 》in the j our 2
(V o l . 32, N o . 4, July , 2002) , w e po int nal 《M A TH E M A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EOR Y 》
out one erro r of the article .
Keywords : seat ; distribute ; counter examp le