第 次讲义
知识点：所谓三角形的" 四心", 是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点. 它们分别是三角形的内心, 外心, 垂心与重心.
1. 垂心 ：三角形三条边上的高相交于一点, 这一点叫做三角形的垂心.
2. 重心 ：三角形三条边上的中线交于一点, 这一点叫做三角形的重心.
3. 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心
4. 三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心，
总结：1、重心：三边上中线的交点2、垂心：三条高的交点3、内心：内接圆圆心 三个角角平分线交点4、外心：外接圆圆心 三条边的垂直平分线交点
经验：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
2、等积： 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等
3、垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。
课堂练习：
1．（3分）下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
2．（3分）（2013•邢台一模）如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长为（ ）
3．（3分）（2006•曲靖）如图，CD 是Rt △ABC 斜边
AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（ ） 第 1 页 共 1 页
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
4．（3分）如图所示，在△ABC 中，AB=AC=20cm，∠BAC=150°，则S △ABC = _________ cm 2．
5．（3分）（2007•天津）如图，△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，若AD=6，则CD= _________ ．
6．（3分）如图所示，∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上任意一点，PD ∥OA 交OB 于点D ，PE ⊥OA 于点E ，若PE=2cm，则PD= _________ cm ．
7、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB 的中垂线，AB=2AC，BC=18cm，则BE 的长度为
8、锐角△ABC 中，∠A=60°，AB ，AC 两边的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数是
__________。
9．（2011•日照）如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE=CA．
（1）求证：DE 平分∠BDC ；
（2）若点M 在DE 上，且DC=DM，求证：ME=BD．
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10．如图1，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点D 为AC 上一动点，连接BD ，以BD 为边作等边△BDE ，EA 的延长线交BC 的延长线于F ，设CD=n，
（1）当n=1时，则AF= _________ ；
（2）当0＜n ＜1时，如图2，在BA 上截取BH=AD，连接EH ，求证：△AEH 为等边三角形．
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第 次讲义
知识点：所谓三角形的" 四心", 是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点. 它们分别是三角形的内心, 外心, 垂心与重心.
1. 垂心 ：三角形三条边上的高相交于一点, 这一点叫做三角形的垂心.
2. 重心 ：三角形三条边上的中线交于一点, 这一点叫做三角形的重心.
3. 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心
4. 三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心，
总结：1、重心：三边上中线的交点2、垂心：三条高的交点3、内心：内接圆圆心 三个角角平分线交点4、外心：外接圆圆心 三条边的垂直平分线交点
经验：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
2、等积： 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等
3、垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。
课堂练习：
1．（3分）下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
2．（3分）（2013•邢台一模）如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长为（ ）
3．（3分）（2006•曲靖）如图，CD 是Rt △ABC 斜边
AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（ ） 第 1 页 共 1 页
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
4．（3分）如图所示，在△ABC 中，AB=AC=20cm，∠BAC=150°，则S △ABC = _________ cm 2．
5．（3分）（2007•天津）如图，△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，若AD=6，则CD= _________ ．
6．（3分）如图所示，∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上任意一点，PD ∥OA 交OB 于点D ，PE ⊥OA 于点E ，若PE=2cm，则PD= _________ cm ．
7、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB 的中垂线，AB=2AC，BC=18cm，则BE 的长度为
8、锐角△ABC 中，∠A=60°，AB ，AC 两边的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数是
__________。
9．（2011•日照）如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE=CA．
（1）求证：DE 平分∠BDC ；
（2）若点M 在DE 上，且DC=DM，求证：ME=BD．
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10．如图1，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点D 为AC 上一动点，连接BD ，以BD 为边作等边△BDE ，EA 的延长线交BC 的延长线于F ，设CD=n，
（1）当n=1时，则AF= _________ ；
（2）当0＜n ＜1时，如图2，在BA 上截取BH=AD，连接EH ，求证：△AEH 为等边三角形．
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