二十六讲 平移、旋转与对称
【基础知识回顾】
一、 轴对称与轴对称图形：
1、轴对称：把一个图 形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形那么就这说两个图形成轴对称，这条直线叫
2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形
3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形
⑵对应点连接被对称轴
【名师提醒：1、轴对称是指 个图形的位置关系，而轴对称图形是指 各具有特殊形状的图形
2、对称轴是 而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】
二、图形的平移与旋转：
1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移
⑵性质：Ⅰ平移不改变图形的 与 ，即平移前后的图形
Ⅱ平移前后的图形对应点连得线段平行且
【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的 和 】
2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个 ，这样的图形运动称为旋转，这个点称为 转动的 称为旋转角
⑵旋转的性质：Ⅰ：旋转前后的图形
Ⅱ：旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角旋转角都
【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定 、 和 ，
2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称
图形】
三、中心对称与中心对称图形：
1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与自身重合它能与另一个图形 就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做
2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转 后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做
3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过 且被 平分
【名师提醒：1、中心对称是指一个图形的位置关系，而中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形
2、常见的轴对称图形有 、、 、 、 、 等，常见的中心对称图形有 、 、 、 、 、 等
3、所有的正n 边形都是对称圆形里有四条对称轴，边数为偶数的正
多边形，又是 对称图形 【典型例题解析】
考点一：轴对称图形
例1 娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是（ ）
A ． B ． C ．D ． 圆 等边三角形 矩形 等腰梯形
例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P （-3，5）关于y 轴的对称点的坐标为（ ）
A ．（-3，-5） B ．（3，5） C ．（3．-5） D ．（5，-3）
对应训练
1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A ． B ．C ．D ．
2．在平面直角坐标系中，点P （-1，2）关于x 轴的对称点的坐标为（ ）
A ．（-1，-2） B ．（1，-2）
C ．（2，-1） D ．（-2，1）
41C ．A ． 40B ． 40D ． 41
对应训练
3. 如图，MN 为⊙O 的直径，A 、B 是⊙O 上的两点，过A 作AC ⊥MN 于点C ，过B 作BD ⊥MN 于点D ，P 为DC 上的任意一点，若MN=20，
AC=8，
BD=6，则PA+PB的最小值是 ． 考点二：中心对称图形
例4 （下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A ．B ．C ．D ．
对应训练
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．B ．C ．D
考点二：平移旋转的性质
例5 如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为（ ）
A ．①②③⑤ B ．①②③④ C ．①②③④⑤ D ．①②③
A ． B ．C ． D ． 考点四：图形的折叠
例7 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF=1，FD=2，则BC 的长为（ ）
A ． 3 B ． 2 C ． 2 D ．2
例8已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP ．设BP=t．
（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P 的坐标； （Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ ，若AQ=m，试用含有t 的式子表示m ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）．
对应训练
7．如图，在△ABC 中，∠C=90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC=6，NC=，则四边形MABN 的面积是（ ）
A ． B ． C ． D ．
8．如图，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF 、CE ，
（1）求证：四边形AFCE 为菱形；
（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a 、b 、c 三者之间的数量关系式．
考点五：简单的图形变换作用
例9 如图，⊙P 的圆心为P （-3，2），半径为3，直线MN 过点M （5，0）且平行于y 轴，点N 在点M 的上方．
（1）在图中作出⊙P 关于y 轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN 的位置关系．
（2）若点N 在（1）中的⊙P′上，求PN 的长．
对应训练 9．如图，梯形ABCD 是直角梯形．
（1）直接写出点A 、B 、C 、D 的坐标；
（2）画出直角梯形ABCD 关于y 轴的对称图形，使它与梯形ABCD 构成一个等腰梯形．
（3）将（2
）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形．（不要求写作法）
【聚焦中考】
1．如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
2. 甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正
确的是（ ），[说明：棋子的位置用数对表示，如A 点在（6，3）]．
A ．黑（3，7）；白（5，3） B ．黑（4，7）；白（6，2） C ．黑（
2，7）；白（5，3） D ．黑（3，7）；白（2，6）
3．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（ ）
A ． 9：4 B ． 3：2 C ． 4：3 D ．16：9
4．如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD 的长是（ ）
A ． 12厘米 B ． 16厘米 C ． 20厘米 D ．28厘米 5．在四边形
ABCD 中，AB=CD，要使四边形ABCD 是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只要填写一种情况）
6．如图1，正方形OCDE 的边长为1，阴影部分的面积记作S 1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S 2，则S 1
S 2（用“＞”、“＜”或“=”填空）．
7．如图，CD 与BE 互相垂直平分，AD ⊥DB ，∠BDE=70°，则∠CAD= ．
故答案为：．
点评：本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，判断出四边形BDEC 是菱形并得到该图象关于直线AB 成轴对称是解题的关键．
8．（1）如图1，∠DAB=∠CAE ，请补充一个条件： ABC ∽△ADE ．
（2）如图2，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D ，E 两点的坐标．
9．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，将△ABC 绕点C 逆时针旋转至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB 上，连接BB′，则BB′的长度为 ．
10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，将△ABC 沿CB 向右平移得到△DEF ，若平移距离为2，则四边形ABED 的面积等于 ．
【备考真题过关】
12. 把一张正方形纸片如图①
、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（ C ）
A ．B ．C ．D ．
13．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，BE=CF，连接AE 、BF ．将△ABE 绕正方形的对角线交点O 按顺时针方向旋转到△BCF ，则旋转角是（ ）
A ．45° B ．120° C ．60° D ．90°
14．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A ．25° B ．30° C ．35° D ．40°
15. 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A ．1 B C ．2 D 1
16．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）
A ．130° B ．120° C ．110° D ．100°
17．如图，已知△ABC 中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D 在BC 边上，把△ABC 沿AD 翻折使AB 与AC 重合，得△AB′D，则△ABC 与△AB′D重叠部分的面积为（ ）
A ．
B ． C ． 3﹣ D ．
二十六讲 平移、旋转与对称
【基础知识回顾】
一、 轴对称与轴对称图形：
1、轴对称：把一个图 形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形那么就这说两个图形成轴对称，这条直线叫
2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形
3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形
⑵对应点连接被对称轴
【名师提醒：1、轴对称是指 个图形的位置关系，而轴对称图形是指 各具有特殊形状的图形
2、对称轴是 而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】
二、图形的平移与旋转：
1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移
⑵性质：Ⅰ平移不改变图形的 与 ，即平移前后的图形
Ⅱ平移前后的图形对应点连得线段平行且
【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的 和 】
2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个 ，这样的图形运动称为旋转，这个点称为 转动的 称为旋转角
⑵旋转的性质：Ⅰ：旋转前后的图形
Ⅱ：旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角旋转角都
【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定 、 和 ，
2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称
图形】
三、中心对称与中心对称图形：
1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与自身重合它能与另一个图形 就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做
2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转 后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做
3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过 且被 平分
【名师提醒：1、中心对称是指一个图形的位置关系，而中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形
2、常见的轴对称图形有 、、 、 、 、 等，常见的中心对称图形有 、 、 、 、 、 等
3、所有的正n 边形都是对称圆形里有四条对称轴，边数为偶数的正
多边形，又是 对称图形 【典型例题解析】
考点一：轴对称图形
例1 娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是（ C ）
A ． B ． C ． D ． 圆 等边三角形 矩形 等腰梯形
例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P （-3，5）关于y 轴的对称点的坐标为（ B ） A ．（-3，-5） B ．（3，5） C ．（3．-5） D ．（5，-3）
对应训练
1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ B ）
A ． B ．C ．D ．
2．在平面直角坐标系中，点P （-1，2）关于x 轴的对称点的坐标为（ A ）
A ．（-1，-2） B ．（1，-2）
C ．（2，-1） D ．（-2，1）
41C ．A ． 40B ． 40D ． 41
考点二：中心对称图形
例4 （下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ A ） A ．B ．C ．D ．
对应训练
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ）
A ．B ．C ．D
考点二：平移旋转的性质
例5 如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为（ C ）
A ．①②③⑤ B ．①②③④ C ．①②③④⑤ D ．①②③
A ． B ．C ． D ． 考点四：图形的折叠
例7 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF=1，FD=2，则BC 的长为（ B ）
A ． 3 B ． 2 C ． 2 D ．2
对应训练
7．如图，在△ABC 中，∠C=90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC=6，NC=，则四边形MABN 的面积是（ C ）
A ． B ． C ． D ．
解：连接CD ，交MN 于E ，
∵将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，
∴MN ⊥CD ，且CE=DE，∴CD=2CE，∵MN ∥AB ，∴CD ⊥AB ，
∴△CMN ∽△CAB ，∴，
∵在△CMN 中，∠C=90°，MC=6，NC=
∴S △CMN =CM•CN=×6×2=6， =24， ，∴S △CAB =4S△CMN =4×6﹣6=18． ∴S 四边形MABN =S△CAB ﹣S △CMN =24
8．如图，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF 、CE ，
（1）求证：四边形AFCE 为菱形；
（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a 、b 、c 三者之间的数量关系式．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，∴∠AEF=∠EFC ，
由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF ，AE=CE，AF=CF，
∴∠EFC=∠CEF ，∴CF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AFCE 为菱形；
（2）a 、b 、c 三者之间的数量关系式为：a 2=b2+c2．
理由：由折叠的性质，得：CE=AE，∵四边形ABCD
是矩形，∴∠D=90°，
∵
AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a，在Rt △DCE 中，CE 2=CD2+DE2，
∴a 、b 、c 三者之间的数量关系式为：a 2=b2+c2．
考点五：简单的图形变换作用
对应训练
9．如图，梯形ABCD 是直角梯形．
（1）直接写出点A 、B 、C 、D 的坐标；
（2）画出直角梯形ABCD 关于y 轴的对称图形，使它与梯形ABCD 构成一个等腰梯形．
（3）将（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形．（不要求写作法） 解：（1）如图所示：
根据A ，B ，C ，D ，位置得出点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：
（-2，-1），（-4，-4），（0，-4），（0，-1）；
（2）根据A ，B 两点关于y 轴对称点分别为：A′（2，-1），（4，-4），
在坐标系中找出，连接各点，即可得出图象，如图所示；
（3）将对应点分别向上移动4个单位，即可得出图象，如图所示．
【聚焦中考】
1．如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ C ） A ． B ． C ． D ．
2. 甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是（ C ），[说明：棋子的位置用数对表示，如A 点在（6，3）]．
A ．黑（3，7）；白（5，3） B ．黑（4，7）；白（6
，2）
C ．黑（2，7）；白（5，3） D ．黑（3，7）；白（2，6）
3．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（ D ）
A ． 9：4 B ． 3：2 C ． 4：3 D ．16：9
4．如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD 的长是（ C ）
7．如图，CD 与BE 互相垂直平分，AD ⊥DB ，∠BDE=70°，则∠CAD= ． 故答案为：．
点评：本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，判断出四边形BDEC 是菱形并得到该图象关于直线AB 成轴对称是解题的关键．
【备考真题过关】
12. 把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（ C ）
A ．B ．C ．D ．
13．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，BE=CF，连接AE 、BF ．将△ABE 绕正方形的对角线交点O 按顺时针方向旋转到△BCF ，则旋转角是（ D ）
A ．45° B ．120° C ．60° D ．90°
14．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ B ）
A ．25° B ．30° C ．35° D ．40°
15. 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的
任意一点，则PK+QK的最小值为（ B ）
A ．1 B
C ．2 D
1 16．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ B ）
A ．130° B ．120° C ．110° D ．100°
17．如图，已知△ABC 中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D 在BC 边上，把△ABC 沿AD 翻折使AB 与AC 重合，得△AB′D
，则△ABC 与△AB′D重叠部分的面积为（ A ）
A ． B ． C ． 3﹣
解：过点D 作DE ⊥AB′于点E ，过点C 作CF ⊥AB ，
∵△ABC 中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，∴AC=BC，
∴AF=AB=，∴AC===2， D ．
由折叠的性质得：AB′=AB=2，∠B′=∠B=30°，
∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°， ∴∠CDB′=90°
，
∵B′C=AB′﹣AC=2﹣2，
∴CD=B′C=﹣1，B′D=B′C•cos∠B′=（2﹣2）×=3﹣，
∴DE===，
∴
S 阴影=AC•DE=×2×
=．
二十六讲 平移、旋转与对称
【基础知识回顾】
一、 轴对称与轴对称图形：
1、轴对称：把一个图 形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形那么就这说两个图形成轴对称，这条直线叫
2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形
3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形
⑵对应点连接被对称轴
【名师提醒：1、轴对称是指 个图形的位置关系，而轴对称图形是指 各具有特殊形状的图形
2、对称轴是 而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】
二、图形的平移与旋转：
1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移
⑵性质：Ⅰ平移不改变图形的 与 ，即平移前后的图形
Ⅱ平移前后的图形对应点连得线段平行且
【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的 和 】
2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个 ，这样的图形运动称为旋转，这个点称为 转动的 称为旋转角
⑵旋转的性质：Ⅰ：旋转前后的图形
Ⅱ：旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角旋转角都
【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定 、 和 ，
2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称
图形】
三、中心对称与中心对称图形：
1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与自身重合它能与另一个图形 就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做
2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转 后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做
3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过 且被 平分
【名师提醒：1、中心对称是指一个图形的位置关系，而中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形
2、常见的轴对称图形有 、、 、 、 、 等，常见的中心对称图形有 、 、 、 、 、 等
3、所有的正n 边形都是对称圆形里有四条对称轴，边数为偶数的正
多边形，又是 对称图形 【典型例题解析】
考点一：轴对称图形
例1 娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是（ ）
A ． B ． C ．D ． 圆 等边三角形 矩形 等腰梯形
例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P （-3，5）关于y 轴的对称点的坐标为（ ）
A ．（-3，-5） B ．（3，5） C ．（3．-5） D ．（5，-3）
对应训练
1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A ． B ．C ．D ．
2．在平面直角坐标系中，点P （-1，2）关于x 轴的对称点的坐标为（ ）
A ．（-1，-2） B ．（1，-2）
C ．（2，-1） D ．（-2，1）
41C ．A ． 40B ． 40D ． 41
对应训练
3. 如图，MN 为⊙O 的直径，A 、B 是⊙O 上的两点，过A 作AC ⊥MN 于点C ，过B 作BD ⊥MN 于点D ，P 为DC 上的任意一点，若MN=20，
AC=8，
BD=6，则PA+PB的最小值是 ． 考点二：中心对称图形
例4 （下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A ．B ．C ．D ．
对应训练
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．B ．C ．D
考点二：平移旋转的性质
例5 如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为（ ）
A ．①②③⑤ B ．①②③④ C ．①②③④⑤ D ．①②③
A ． B ．C ． D ． 考点四：图形的折叠
例7 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF=1，FD=2，则BC 的长为（ ）
A ． 3 B ． 2 C ． 2 D ．2
例8已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP ．设BP=t．
（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P 的坐标； （Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ ，若AQ=m，试用含有t 的式子表示m ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）．
对应训练
7．如图，在△ABC 中，∠C=90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC=6，NC=，则四边形MABN 的面积是（ ）
A ． B ． C ． D ．
8．如图，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF 、CE ，
（1）求证：四边形AFCE 为菱形；
（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a 、b 、c 三者之间的数量关系式．
考点五：简单的图形变换作用
例9 如图，⊙P 的圆心为P （-3，2），半径为3，直线MN 过点M （5，0）且平行于y 轴，点N 在点M 的上方．
（1）在图中作出⊙P 关于y 轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN 的位置关系．
（2）若点N 在（1）中的⊙P′上，求PN 的长．
对应训练 9．如图，梯形ABCD 是直角梯形．
（1）直接写出点A 、B 、C 、D 的坐标；
（2）画出直角梯形ABCD 关于y 轴的对称图形，使它与梯形ABCD 构成一个等腰梯形．
（3）将（2
）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形．（不要求写作法）
【聚焦中考】
1．如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
2. 甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正
确的是（ ），[说明：棋子的位置用数对表示，如A 点在（6，3）]．
A ．黑（3，7）；白（5，3） B ．黑（4，7）；白（6，2） C ．黑（
2，7）；白（5，3） D ．黑（3，7）；白（2，6）
3．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（ ）
A ． 9：4 B ． 3：2 C ． 4：3 D ．16：9
4．如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD 的长是（ ）
A ． 12厘米 B ． 16厘米 C ． 20厘米 D ．28厘米 5．在四边形
ABCD 中，AB=CD，要使四边形ABCD 是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只要填写一种情况）
6．如图1，正方形OCDE 的边长为1，阴影部分的面积记作S 1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S 2，则S 1
S 2（用“＞”、“＜”或“=”填空）．
7．如图，CD 与BE 互相垂直平分，AD ⊥DB ，∠BDE=70°，则∠CAD= ．
故答案为：．
点评：本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，判断出四边形BDEC 是菱形并得到该图象关于直线AB 成轴对称是解题的关键．
8．（1）如图1，∠DAB=∠CAE ，请补充一个条件： ABC ∽△ADE ．
（2）如图2，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D ，E 两点的坐标．
9．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，将△ABC 绕点C 逆时针旋转至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB 上，连接BB′，则BB′的长度为 ．
10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，将△ABC 沿CB 向右平移得到△DEF ，若平移距离为2，则四边形ABED 的面积等于 ．
【备考真题过关】
12. 把一张正方形纸片如图①
、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（ C ）
A ．B ．C ．D ．
13．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，BE=CF，连接AE 、BF ．将△ABE 绕正方形的对角线交点O 按顺时针方向旋转到△BCF ，则旋转角是（ ）
A ．45° B ．120° C ．60° D ．90°
14．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A ．25° B ．30° C ．35° D ．40°
15. 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A ．1 B C ．2 D 1
16．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）
A ．130° B ．120° C ．110° D ．100°
17．如图，已知△ABC 中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D 在BC 边上，把△ABC 沿AD 翻折使AB 与AC 重合，得△AB′D，则△ABC 与△AB′D重叠部分的面积为（ ）
A ．
B ． C ． 3﹣ D ．
二十六讲 平移、旋转与对称
【基础知识回顾】
一、 轴对称与轴对称图形：
1、轴对称：把一个图 形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形那么就这说两个图形成轴对称，这条直线叫
2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形
3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形
⑵对应点连接被对称轴
【名师提醒：1、轴对称是指 个图形的位置关系，而轴对称图形是指 各具有特殊形状的图形
2、对称轴是 而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】
二、图形的平移与旋转：
1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移
⑵性质：Ⅰ平移不改变图形的 与 ，即平移前后的图形
Ⅱ平移前后的图形对应点连得线段平行且
【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的 和 】
2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个 ，这样的图形运动称为旋转，这个点称为 转动的 称为旋转角
⑵旋转的性质：Ⅰ：旋转前后的图形
Ⅱ：旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角旋转角都
【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定 、 和 ，
2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称
图形】
三、中心对称与中心对称图形：
1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与自身重合它能与另一个图形 就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做
2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转 后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做
3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过 且被 平分
【名师提醒：1、中心对称是指一个图形的位置关系，而中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形
2、常见的轴对称图形有 、、 、 、 、 等，常见的中心对称图形有 、 、 、 、 、 等
3、所有的正n 边形都是对称圆形里有四条对称轴，边数为偶数的正
多边形，又是 对称图形 【典型例题解析】
考点一：轴对称图形
例1 娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是（ C ）
A ． B ． C ． D ． 圆 等边三角形 矩形 等腰梯形
例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P （-3，5）关于y 轴的对称点的坐标为（ B ） A ．（-3，-5） B ．（3，5） C ．（3．-5） D ．（5，-3）
对应训练
1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ B ）
A ． B ．C ．D ．
2．在平面直角坐标系中，点P （-1，2）关于x 轴的对称点的坐标为（ A ）
A ．（-1，-2） B ．（1，-2）
C ．（2，-1） D ．（-2，1）
41C ．A ． 40B ． 40D ． 41
考点二：中心对称图形
例4 （下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ A ） A ．B ．C ．D ．
对应训练
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ）
A ．B ．C ．D
考点二：平移旋转的性质
例5 如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为（ C ）
A ．①②③⑤ B ．①②③④ C ．①②③④⑤ D ．①②③
A ． B ．C ． D ． 考点四：图形的折叠
例7 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF=1，FD=2，则BC 的长为（ B ）
A ． 3 B ． 2 C ． 2 D ．2
对应训练
7．如图，在△ABC 中，∠C=90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC=6，NC=，则四边形MABN 的面积是（ C ）
A ． B ． C ． D ．
解：连接CD ，交MN 于E ，
∵将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，
∴MN ⊥CD ，且CE=DE，∴CD=2CE，∵MN ∥AB ，∴CD ⊥AB ，
∴△CMN ∽△CAB ，∴，
∵在△CMN 中，∠C=90°，MC=6，NC=
∴S △CMN =CM•CN=×6×2=6， =24， ，∴S △CAB =4S△CMN =4×6﹣6=18． ∴S 四边形MABN =S△CAB ﹣S △CMN =24
8．如图，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF 、CE ，
（1）求证：四边形AFCE 为菱形；
（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a 、b 、c 三者之间的数量关系式．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，∴∠AEF=∠EFC ，
由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF ，AE=CE，AF=CF，
∴∠EFC=∠CEF ，∴CF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AFCE 为菱形；
（2）a 、b 、c 三者之间的数量关系式为：a 2=b2+c2．
理由：由折叠的性质，得：CE=AE，∵四边形ABCD
是矩形，∴∠D=90°，
∵
AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a，在Rt △DCE 中，CE 2=CD2+DE2，
∴a 、b 、c 三者之间的数量关系式为：a 2=b2+c2．
考点五：简单的图形变换作用
对应训练
9．如图，梯形ABCD 是直角梯形．
（1）直接写出点A 、B 、C 、D 的坐标；
（2）画出直角梯形ABCD 关于y 轴的对称图形，使它与梯形ABCD 构成一个等腰梯形．
（3）将（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形．（不要求写作法） 解：（1）如图所示：
根据A ，B ，C ，D ，位置得出点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：
（-2，-1），（-4，-4），（0，-4），（0，-1）；
（2）根据A ，B 两点关于y 轴对称点分别为：A′（2，-1），（4，-4），
在坐标系中找出，连接各点，即可得出图象，如图所示；
（3）将对应点分别向上移动4个单位，即可得出图象，如图所示．
【聚焦中考】
1．如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ C ） A ． B ． C ． D ．
2. 甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是（ C ），[说明：棋子的位置用数对表示，如A 点在（6，3）]．
A ．黑（3，7）；白（5，3） B ．黑（4，7）；白（6
，2）
C ．黑（2，7）；白（5，3） D ．黑（3，7）；白（2，6）
3．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（ D ）
A ． 9：4 B ． 3：2 C ． 4：3 D ．16：9
4．如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD 的长是（ C ）
7．如图，CD 与BE 互相垂直平分，AD ⊥DB ，∠BDE=70°，则∠CAD= ． 故答案为：．
点评：本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，判断出四边形BDEC 是菱形并得到该图象关于直线AB 成轴对称是解题的关键．
【备考真题过关】
12. 把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（ C ）
A ．B ．C ．D ．
13．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，BE=CF，连接AE 、BF ．将△ABE 绕正方形的对角线交点O 按顺时针方向旋转到△BCF ，则旋转角是（ D ）
A ．45° B ．120° C ．60° D ．90°
14．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ B ）
A ．25° B ．30° C ．35° D ．40°
15. 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的
任意一点，则PK+QK的最小值为（ B ）
A ．1 B
C ．2 D
1 16．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ B ）
A ．130° B ．120° C ．110° D ．100°
17．如图，已知△ABC 中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D 在BC 边上，把△ABC 沿AD 翻折使AB 与AC 重合，得△AB′D
，则△ABC 与△AB′D重叠部分的面积为（ A ）
A ． B ． C ． 3﹣
解：过点D 作DE ⊥AB′于点E ，过点C 作CF ⊥AB ，
∵△ABC 中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，∴AC=BC，
∴AF=AB=，∴AC===2， D ．
由折叠的性质得：AB′=AB=2，∠B′=∠B=30°，
∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°， ∴∠CDB′=90°
，
∵B′C=AB′﹣AC=2﹣2，
∴CD=B′C=﹣1，B′D=B′C•cos∠B′=（2﹣2）×=3﹣，
∴DE===，
∴
S 阴影=AC•DE=×2×
=．