《高等数学》教案
第一章：函数与极限（18课时）
第一节：映射与函数
教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。
一、集合 1、 集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素。
} 1) A ={a 1, a 2, a 3,
P } 2) A ={x x 的性质
元素与集合的关系：a ∉A ，a ∈A
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +
元素与集合的关系：A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊂B 。
如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作A =B 若作A ⊂B 且A ≠B 则称A 是B 的真子集。 全集I ：A i ⊂I （I=1，2，3，…….. ）。 空集φ： φ⊂A 。 2、 集合的运算
并集A ⋃B ：A ⋃B ={x|x ∈A 或x ∈B } 交集A ⋂B ：A ⋂B ={x|x ∈A 且x ∈B } 差集A \B ：
A \B ={x |x ∈A 且x ∉B }
C
补集（余集）A ：I ＼A
集合的并、交、余运算满足下列法则：
交换律：A ⋃B =B ⋃A A ⋂B =B ⋂A
结合律：(A ⋃B ) ⋃C =A ⋃(B ⋃C ) ，(A ⋂B ) ⋂C =A ⋂(B ⋂C )
分配律： (A ⋃B ) ⋂C =(A ⋂C ) ⋃(B ⋂C ) ，(A ⋂B ) ⋃C =(A ⋃C ) ⋂(B ⋃C ) 对偶律： (A ⋃B ) =A B (A ⋂B ) =A ⋃B 笛卡儿积： A ×B ={(x , y ) |x ∈A 且y ∈B } 3、区间和邻域
1）有限区间：开区间(a , b ) ，闭区间[a , b ]，半开半闭区间(a , b ]
c
c
c
c
c
c
[a , b )。
2）无限区间：（-∞, a ），(-∞, a ]，[a , +∞)，(a , +∞)，(-∞, +∞)。 3）邻域：U (a , δ) ={x a -δ x a +δ}
注：a 邻域的中心，δ邻域的半径；去心邻域记为U (a , δ) 。 二、映射 映射概念
定义 设X ，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对X 中的每一个元素x ，按法则f ，在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从X 到Y 的映射，记作
f ：X →Y
其中y 称为元素x 的像，并记作f (x ) ，即y =f (x ) 。 注意：每个X 有唯一的像；每个Y 的原像不唯一。
三、函数 1、 函数的概念
定义 设数集D ⊂R ，则称映射f :D →R 为定义在D 上的函数，记为
y =f (x ) , x ∈D 。
注：函数相等：定义域、对应法则相等。 2、 函数的几种特性
1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。 2）函数的单调性（单增、单减），在x 1、x 2点比较函数值f (x 1) 与f (x 2) 的大小（注：与区间有关）。
3）函数的奇偶性(定义域对称、f (x ) 与f (-x ) 关系决定) ，图形特点 (关于原点、Y 轴对称) 。
4) 函数的周期性(定义域中成立：f (x +l ) =f (x ) )
3、 函数与复合函数
1）反函数：函数f :D →f (D ) 是单射，则有逆映射f 函数的反函数。
函数与反函数的图像关y =x 于对称。
2）复合函数：函数u =g (y ) 定义域为D 1，函数y =f (x ) 在D 上有定义、且f (D ) ⊂D 1。则u =g (f (x )) =g f (x ) 为复合函数。
3）分段函数：分段函数的统一表达式。 结论：对于分段函数
-1
(y ) =x ，称此映射f
-1
为f
f （x ）=⎨
⎧f 1(x )
⎩f 2(x )
(x ≥a )
(x a )
若初等数函f 1（x ）和f 2（x ）满足f 1（a ）= f2（a ），则 f （x ）= f1[
11（
]+ f1[（
]- f1（a ） 22
a
4、初等函数
1）幂函数：y =x
x
y =a 2) 指数函数：
3) 对数函数：y =log a (x ) 4) 三角函数：
y =sin(x ), y =cos(x ), y =tan(x ), y =cot(x )
5) 反三角函数：
y =arcsin(x ) ，y =arccos(x )
y =arctan(x )
y =arc cot(x )
以上五种函数为基本初等函数。
shx e x -e -x e x +e -x e x -e -x
thx ==x chx =shx =
chx e +e -x 22，6）双曲函数：，
注：双曲函数的单调性、奇偶性。 双曲函数公式：
sh (x +y ) =shx ⋅chy +chx ⋅shy sh (x -y ) =shx ⋅chy -chx ⋅shy
ch (x +y ) =chx ⋅chy +shx ⋅shy ch (x -y ) =chx ⋅chy -shx ⋅shy
7）反双曲函数：
y =arshx y =archx y =arthx
例1 已知分段函数
⎧2x , -1≤x
1, x =0, f (x ) =⎨ ⎪x 2+2,0
1）求其定义域并作图；2）求函数值f (- 2), f (0),f (2).
例2 求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：
y=10u ，u=1+x2, y=arctanu2, u=tanv, v=a2+x2. 例3 求函数的反函数及反函数的定义域：
y=x2, （0 ≤x 〈+∞）， y =⎨作业：见课后各章节练习。
第二节：数列的极限
教学目的与要求：理解极限的概念，性质。 教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用。 一、数列
数列就是由数组成的序列。 1）这个序列中的每个数都编了号。
2）序列中有无限多个成员。 一般写成：a 1缩写为{u n }
2x -1,0
2
⎩2-(x -2) ,1
a 2a 3
a 4 a n
⎧1⎫⎨⎬
例1 数列⎩n ⎭是这样一个数列{x n }，其中
x n =
1
n ，n =1, 2, 3, 4, 5
也可写为：
1
121314
1
5
1
=0n →∞n 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为。
lim
1、 限的ε-N 定义
∀ε 0∃N ∀n N
x n -a ε，则称数列{x n }的极限为a ，记成
l i m x n =a
n →∞
也可等价表述： 1）∀ε>0
2）∀ε>0
∃N ∀n >N ∃N
∀n >N
ρ(x n
a )
x n ∈O (a
ε) 。
极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。 二、收敛数列的性质
定理1 如果数列{x n }收敛，那么它的极限是唯一。 定理2 如果数列{x n }收敛，那么数列{x n }一定有界。 定理3 如果
l i m x n =a
x →∞
且a>0(a0，当n>N时，
x n >0
(x n
例2 证明数列{n 的极限是1。 例3 作出数列
{
n +(-1) n -1
n
图形，讨论其极限值。
作业：见课后各章节练习。
第三节：函数的极限
教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
教学重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质。 一、极限的定义 1、在x 0点的极限
1）x 0可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f 在x 0有没有定义，以及函数值f (x 0) 的大小。只要满足：存在某个ρ>0使：(x 0-ρ, x 0) ⋃(x 0, x 0+ρ) ⊂D 。 2）如果自变量x 趋于x 0时，相应的函数值 f (x ) 有一个总趋势——以某个实数A 为极限 ，则记为 ：x →x 0
形式定义为：
lim f (x ) =A
。
∀ε>0⋅∃δ⋅∀x (0
f (x ) -A
2、x →∞的极限 设y =f (x )
x ∈(-∞, +∞) ，如果当时函数值 f (x ) 有一个总趋势--该曲线有一条水
平渐近线y =A --则称函数在无限远点∞有极限。记为：x →∞ 在无穷远点∞的左右极限：
lim f (x ) =A
。
f (+∞) =l i m f (x )
x →+∞
，
f (-∞) =l i m f (x )
x →-∞
关系为：
lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =A =lim f (x )
x →∞
x →+∞
x →-∞
二、函数极限的性质 1、极限的唯一性 2、函数极限的局部有界性 3、限的局部保号性
4、函数极限与数列极限的关系 例1 讨论函数y =
x x
在x →0的极限。
例2 求下面函数极限：
l i m 2， l i m x n +1-+1
n →∞
x →-1
n
3
x 3+1
) 。
作业：见课后各章节练习。
第四节：无穷小与无穷大
教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念。 教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。 一、无穷小定义
定义 对一个数列{x n }，如果成立如下的命题：
lim x n =0∀ε>0⋅∃N ⋅∀n >N ⋅x
注：1）∀2）
∃
ε的意义；
x n
3）上述命题可翻译成：对于任意小的正数ε，存在一个号码N ，使在这个号码以后的所有的号码n ，相应的x n 与极限0的距离比这个给定的ε还小。它是我们在直观上对于
一个数列趋于0的认识。
定理1 在自变量的同一变化过程x →x 0（或x →∞) 中，函数f (x )具有极限A 的充分必要条件是f (x ) =A +α，其中α是无穷小。
二、无穷大定义
一个数列{x n }，如果成立：
x n =∞∀G >0⋅∃N ⋅∀n >N ⋅x n >G 那么称它为无穷大量。记成：lim x →∞。
lim x n =+∞∀G >0⋅∃N ⋅∀n >N ⋅x >G n 特别地，如果，则称为正无穷大，记成x →∞。
特别地，如果∀G >0⋅∃N ⋅∀n >N ⋅x n
lim x n =-∞
x →∞
。
注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。 三、无穷小和无穷大的关系
1
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f (x ) 为无穷大，则f (x ) 为无穷小；反之，1
如果f (x ) 为无穷小，且f (x ) ≠0则f (x ) 为无穷大。
即非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当x n ≠0时：有
lim =0⇒lim
x ←∞
1
=∞x →∞x n
lim =∞⇒lim
x ←∞
1
=0x →∞x n
注意是在自变量的同一个变化过程中。 四、无穷小的性质
设{x n }和{y n }是无穷小量于是： 1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：
lim x n =0
x →∞
lim y n =0⇒lim (x n ±y n ) =0
x →∞
x ←∞
2）对于任意常数C ，数列{c ⋅x n }也是无穷小量： x →∞
lim x n =0⇒lim (c ⋅x n ) =0
x ←∞
3）
{x
n
⋅y n
}也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。
lim y n =0⇒lim (x n ⋅y n ) =0
x →∞
x →∞
lim x n =0
x →∞
4）x n 也是无穷小量：
x →x 0
}
lim x n =0⇔lim x n =0
x →x 0
5）无穷小与有界函数的积为无穷小。 五、函数极限的四则运算
1）若函数f 和g 在点x 0有极限，则
x →x 0
lim (f (x ) +g (x )) =lim f (x ) +lim g (x )
x →x 0
x →x 0
2）函数f 在点x 0有极限，则对任何常数a 成立
x →x 0
lim (a ⋅f (x )) =a ⋅lim f (x )
x →x 0
3）若函数f 和g 在点x 0有极限，则
x →x 0
lim (f (x ) ⋅g (x )) =lim f (x ) ⋅lim g (x )
x →x 0
x →x 0
，则
4）函数f 和g 在点x 0有极限，并且x →x 0
lim g (x ) =β≠0
lim f (x ) ⎛f (x ) ⎫x α→x 0
⎪lim ==
x →x 0 g (x ) ⎪lim g (x ) β⎝⎭x
→x
极限的四则运算成立的条件是若函数f 和 g 在点x 0 有极限。
定理3 设函数y =f [g (x )}是由函数y =f (u ) 与u =g (x ) 复合而成，f [g (x )]在点
lim g (x ) =u 0lim f (u ) =A x 0的某去心邻域内有定义，若x →x 0
，u →u 0，且存在δ0>0，当 x ∈u (x , δ) 00时，有g (x ) ≠u 0，则
x →x 0
lim f [g (x )]=lim f (u ) =A
u →u 0
例1 下面函数在x 趋向什么时是无穷小，又当x 趋向什么时是无穷大：
s i x n
。
例2 求下面函数极限：
lim
x →1
2x -3x 2-5x +4
lim
x →3
x -3x 2-9
作业：见课后各章节练习。
第五节：极限存在准则 两个重要极限
教学目的与要求：掌握极限存在准则，透彻理解两个重要极限。 教学重点（难点）：极限存在准则，两个重要极限的应用。
定理1（夹逼定理） 三数列{x n }、{y n }和{z n }，如果从某个号码起成立：
1）x n
lim x n =a =lim z n
x →∞
，则有结论：
lim y n =a
x →∞
定理2 单调有界数列一定收敛。
单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。 Ⅰ 极限lim [sinx/x] =1
x →0
该极限的证明，关键是证不等式:sinx
如图. 设单位圆⊙O 的渐开线为
⊥Ｘ轴于Ｈ，ＴＢC 切⊙Ｏ且交AB . 若记∠TOA ＝x ，并过Ｔ作ＴＨ AB
及Ｘ轴分别于Ｂ、Ｃ，则
=（x ）=TB我们说这个证明不仅是一个创造性的，更主要它避免了传统证法中的“循环论证”. 因扇形面积ＯAT ＝
1
x 的求得，一般是n 等分∠ＡＯT 成n 个等腰△2
A i OA i-1(i=1.2,…,n,A=A0,T=An ) ，则
11
Sin （x/n）=n Sin（x/n） 22
11
此时，扇形面积ＯA T=lim ∑△A i OA i-1=∑Sin （x/n）=x lim [Sin（x/n）/（x/n）]
n →∞22n →∞
1
显然当lim [Sin（x/n）/（x/n）]=1时，扇形面积ＯAT ＝x ，但令t= x / n，则该极限为
n →∞2
∑△A i OA i-1=∑
要证明的重要极限Ｉ，即出现循环论证。
Ⅱ 极限lim （1+1/n）n = e
n →∞
设A n =（1+1/n）n ，利用算术和几何不等式关系，得：
A n =（1+1/n）（1+1/n）……（1+1/n）･1≦[（n （1+1/n）+1）/（n+1）] n+1
即数列{A n }单增。
另外，设Ｂn ＝n/（n+1） ，利用算术和几何不等式关系，得： Ｂn ＝1- 1/（n+1）>1- 1/n=[（2･(1/2)+（n-2））/n] 则 4≥ [（n+1）/ n]= （1+1/n）n 即数列{A n }有上界。
于是，极限Ⅱ存在，并记为数e 。 例1 求下面函数极限：
≥[（1/2）2･1]=（1/4）1/n
n-2
lim
tan x arcsin x 1-cos x
lim lim
x →0x ，x →0x 2 ，x →0x
11lim (1+) x lim (1-) x
x 有界，并求 x →∞x 的极限。 例2 证明x →∞
作业：见课后各章节练习。
第六节：无穷小的比较
教学目的与要求：理解无穷小的比较概念。 教学重点（难点）：熟练应用等价无穷小求极限。 定义 若α, β为无穷小，且
β=0αβlim =∞
αβ
lim =c ≠0
αβ
lim K =c ≠0
αβlim =1
α
lim
则α与β的关系，依次是高阶、低阶、同阶、k 阶、等价（α～β） 1）若α, β为等价无穷小，则β=α+ (α) 。
2）若α～α、β～β且11lim β1α存在，则：
lim β
=lim β1
α1
例1 证明下面各无穷小量之间的关系：
。 x （x →0+） tanx-sinx 与sinx （x →0）
例2 求下面函数极限：
lim tan 2x (1+x ) -1sin x lim lim 3x →0sin 5x ， x →0x +3x ， x →0cos x -1。 123
作业：见课后各章节练习。
第七节：函数的连续性与间断点
教学目的与要求：利用定义判断连续或间断点。
教学重点（难点）：判断函数连续 。
一、函数在一点的连续性
函数f 在点x 0连续，当且仅当该点的函数值f (x 0) 、左极限f (x 0-0) 与右极限f (x 0+0) 三者相等：
f (x 0-0) =f (x 0) =f (x 0+0)
或者：当且仅当函数f 在点x 0有极限且此极限等于该点的函数值 。
x →x 0lim f (x ) =f (x 0)
其形式定义如下：
∀ε
函数在区间（a,b ）连续指：区间中每一点都连续，函数在区间［a,b ］连续时包括端点。 注：1）左右连续，在区间上连续(注意端点) ；
2）连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线。
二、间断点
若：f (x 0-0) =f (x 0) =f (x 0+0) 中有某一个等式不成立，就间断，分为：
1、第一类间断点
f (x 0+0) ≠f (x 0-0)
即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。
2、第二类间断点x 0
左极限f (x 0-0) 与右极限f (x 0+0) 两者之中至少有一个不存在。
例1 讨论函数在x=0处的连续性：
⎧x , x ≠0, f (x ) =⎨ ⎩1, x =0.
例2 求下面函数的间断点，判断其类型：
y =(1+x , y =x c o 。 x 作业：见课后各章节练习。
第八节：连续函数的运算与初等函数的连续性
教学目的与要求：理解连续函数的性质和初等函数的连续性，并会利用函数的连续性求函数极限。
教学重点（难点）：函数连续性判定。
一、连续函数的四则运算
1） x →x 0lim f (x ) =f (x 0) 且x →x 0lim g (x ) =g (x 0) ，
lim {α⋅f (x ) +β⋅g (x ) }=α⋅f (x 0) +β⋅g (x 0) ⇒x →x 0
2） x →x 0l i m f (x ) =f (x 0)
⇒x →x 0且x →x 0lim g (x ) =g (x 0) ， lim {f (x ) *g (x ) }=f (x 0) *g (x 0)
且x →x 03） x →x 0l i m f (x ) =f (x 0) lim g (x ) =g (x 0) ≠0， f (x ) f (x 0) lim =x →x 0g (x ) g (x 0) ⇒
二、反函数连续定理
如果函数f :y =f (x )
数f -1x ∈D f 是严格单调增加（减少）且连续的，则存在它的反函-1x =f (y ) ：y ∈D f 也是严格单调增加（减少）并且连续。
注：1）反函数的定义域就是原来的值域。
2）通常惯用X 表示自变量，Y 表示因变量。反函数也可表成
y =f -1(x ) x ∈D f -1
三、复合函数的连续性定理：
设函数f 和g 满足复合条件ℜg ⊂D f ，若函数g 在点x 0连续；g (x 0) =u 0，又若f 函数在点u 0连续，则复合函数f g 在点x 0连续。
注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：
x →x 0lim f (g (x )) =f (lim g (x )) x →x 0
从这些基本初等函数出, 通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且初等函数在其定义区间内连续。
例1 求下面函数的连续区间：
y =l n s i x n ，
y =
例2 求下面函数极限：
x →a 。 ，
l i x →a 。 x
作业：见课后各章节练习。
第九节：闭区间上连续函数的性质
教学目的与要求：了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点（难点）：利用性质解决问题。
一、最大、最小值
设函数：y =f (x ) , x ∈D 在上有界，现在问在值域
D 1={y y =f (x ), x ∈D }
中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点x 0∈D 的函数值 y 0=f (x 0) ，则记y 0=max {f (x ) }x ∈D 叫做函数在D 上的最大值。
类似地，如果 D f 中有一个最小实数，譬如说它是某个点x 2∈D f 的函数值y 2=f (x 2) ，则记
二、有界性 y 2=min {f (x ) }x ∈D f 称为函数在上的最小值 。
有界性定理 如果函数f 在闭区间[a , b ]上连续，则它在[a , b ]上有界。
三、零点、介值定理
最大值和最小值定理 如果函数 f 在闭区间[a , b ]上连续则它在[a , b ]上有最大值和最小值，也就是说存在两个点ς和η，使得
f (ς) ≤f (x ) ≤f (η) , x ∈[a , b ] 。
亦即
f (ς) =min {f (x ) }x ∈[a , b ] {f (x ) }f (η) =m a x x ∈[a , b ]
若x 0使f (x 0) =0，则称x 0为函数的零点。
四、零点定理
零点定理 如果函数f 在闭区间[a , b ]上连续，且f 在区间[a , b ]的两个端点异号：f (a ) *f (b )
五、中值定理
中值定理 如果函数f 在闭区间[a , b ]上连续，则f 在[a , b ]上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。
例1 证明方程x=asinx+b（a 、b >0）至少有一个正根，并且它不超过a=b。 例2（2005年全国高考题） 已知函数f (x ) =
1）求f (x ) 的单调区间和值域；
2）设a ≥1，函数g (x ) =x 3-3a 2x -2a , x ∈[0,1]，若对于任意x 1∈[0, 1]使得4x 2-7, x ∈[0,1]。 g (x 0) =f (x 1) 成立，求a 的取值范围。
作业：见课后各章节练习。
《高等数学》教案
第一章：函数与极限（18课时）
第一节：映射与函数
教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。
一、集合 1、 集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素。
} 1) A ={a 1, a 2, a 3,
P } 2) A ={x x 的性质
元素与集合的关系：a ∉A ，a ∈A
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +
元素与集合的关系：A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊂B 。
如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作A =B 若作A ⊂B 且A ≠B 则称A 是B 的真子集。 全集I ：A i ⊂I （I=1，2，3，…….. ）。 空集φ： φ⊂A 。 2、 集合的运算
并集A ⋃B ：A ⋃B ={x|x ∈A 或x ∈B } 交集A ⋂B ：A ⋂B ={x|x ∈A 且x ∈B } 差集A \B ：
A \B ={x |x ∈A 且x ∉B }
C
补集（余集）A ：I ＼A
集合的并、交、余运算满足下列法则：
交换律：A ⋃B =B ⋃A A ⋂B =B ⋂A
结合律：(A ⋃B ) ⋃C =A ⋃(B ⋃C ) ，(A ⋂B ) ⋂C =A ⋂(B ⋂C )
分配律： (A ⋃B ) ⋂C =(A ⋂C ) ⋃(B ⋂C ) ，(A ⋂B ) ⋃C =(A ⋃C ) ⋂(B ⋃C ) 对偶律： (A ⋃B ) =A B (A ⋂B ) =A ⋃B 笛卡儿积： A ×B ={(x , y ) |x ∈A 且y ∈B } 3、区间和邻域
1）有限区间：开区间(a , b ) ，闭区间[a , b ]，半开半闭区间(a , b ]
c
c
c
c
c
c
[a , b )。
2）无限区间：（-∞, a ），(-∞, a ]，[a , +∞)，(a , +∞)，(-∞, +∞)。 3）邻域：U (a , δ) ={x a -δ x a +δ}
注：a 邻域的中心，δ邻域的半径；去心邻域记为U (a , δ) 。 二、映射 映射概念
定义 设X ，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对X 中的每一个元素x ，按法则f ，在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从X 到Y 的映射，记作
f ：X →Y
其中y 称为元素x 的像，并记作f (x ) ，即y =f (x ) 。 注意：每个X 有唯一的像；每个Y 的原像不唯一。
三、函数 1、 函数的概念
定义 设数集D ⊂R ，则称映射f :D →R 为定义在D 上的函数，记为
y =f (x ) , x ∈D 。
注：函数相等：定义域、对应法则相等。 2、 函数的几种特性
1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。 2）函数的单调性（单增、单减），在x 1、x 2点比较函数值f (x 1) 与f (x 2) 的大小（注：与区间有关）。
3）函数的奇偶性(定义域对称、f (x ) 与f (-x ) 关系决定) ，图形特点 (关于原点、Y 轴对称) 。
4) 函数的周期性(定义域中成立：f (x +l ) =f (x ) )
3、 函数与复合函数
1）反函数：函数f :D →f (D ) 是单射，则有逆映射f 函数的反函数。
函数与反函数的图像关y =x 于对称。
2）复合函数：函数u =g (y ) 定义域为D 1，函数y =f (x ) 在D 上有定义、且f (D ) ⊂D 1。则u =g (f (x )) =g f (x ) 为复合函数。
3）分段函数：分段函数的统一表达式。 结论：对于分段函数
-1
(y ) =x ，称此映射f
-1
为f
f （x ）=⎨
⎧f 1(x )
⎩f 2(x )
(x ≥a )
(x a )
若初等数函f 1（x ）和f 2（x ）满足f 1（a ）= f2（a ），则 f （x ）= f1[
11（
]+ f1[（
]- f1（a ） 22
a
4、初等函数
1）幂函数：y =x
x
y =a 2) 指数函数：
3) 对数函数：y =log a (x ) 4) 三角函数：
y =sin(x ), y =cos(x ), y =tan(x ), y =cot(x )
5) 反三角函数：
y =arcsin(x ) ，y =arccos(x )
y =arctan(x )
y =arc cot(x )
以上五种函数为基本初等函数。
shx e x -e -x e x +e -x e x -e -x
thx ==x chx =shx =
chx e +e -x 22，6）双曲函数：，
注：双曲函数的单调性、奇偶性。 双曲函数公式：
sh (x +y ) =shx ⋅chy +chx ⋅shy sh (x -y ) =shx ⋅chy -chx ⋅shy
ch (x +y ) =chx ⋅chy +shx ⋅shy ch (x -y ) =chx ⋅chy -shx ⋅shy
7）反双曲函数：
y =arshx y =archx y =arthx
例1 已知分段函数
⎧2x , -1≤x
1, x =0, f (x ) =⎨ ⎪x 2+2,0
1）求其定义域并作图；2）求函数值f (- 2), f (0),f (2).
例2 求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：
y=10u ，u=1+x2, y=arctanu2, u=tanv, v=a2+x2. 例3 求函数的反函数及反函数的定义域：
y=x2, （0 ≤x 〈+∞）， y =⎨作业：见课后各章节练习。
第二节：数列的极限
教学目的与要求：理解极限的概念，性质。 教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用。 一、数列
数列就是由数组成的序列。 1）这个序列中的每个数都编了号。
2）序列中有无限多个成员。 一般写成：a 1缩写为{u n }
2x -1,0
2
⎩2-(x -2) ,1
a 2a 3
a 4 a n
⎧1⎫⎨⎬
例1 数列⎩n ⎭是这样一个数列{x n }，其中
x n =
1
n ，n =1, 2, 3, 4, 5
也可写为：
1
121314
1
5
1
=0n →∞n 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为。
lim
1、 限的ε-N 定义
∀ε 0∃N ∀n N
x n -a ε，则称数列{x n }的极限为a ，记成
l i m x n =a
n →∞
也可等价表述： 1）∀ε>0
2）∀ε>0
∃N ∀n >N ∃N
∀n >N
ρ(x n
a )
x n ∈O (a
ε) 。
极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。 二、收敛数列的性质
定理1 如果数列{x n }收敛，那么它的极限是唯一。 定理2 如果数列{x n }收敛，那么数列{x n }一定有界。 定理3 如果
l i m x n =a
x →∞
且a>0(a0，当n>N时，
x n >0
(x n
例2 证明数列{n 的极限是1。 例3 作出数列
{
n +(-1) n -1
n
图形，讨论其极限值。
作业：见课后各章节练习。
第三节：函数的极限
教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
教学重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质。 一、极限的定义 1、在x 0点的极限
1）x 0可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f 在x 0有没有定义，以及函数值f (x 0) 的大小。只要满足：存在某个ρ>0使：(x 0-ρ, x 0) ⋃(x 0, x 0+ρ) ⊂D 。 2）如果自变量x 趋于x 0时，相应的函数值 f (x ) 有一个总趋势——以某个实数A 为极限 ，则记为 ：x →x 0
形式定义为：
lim f (x ) =A
。
∀ε>0⋅∃δ⋅∀x (0
f (x ) -A
2、x →∞的极限 设y =f (x )
x ∈(-∞, +∞) ，如果当时函数值 f (x ) 有一个总趋势--该曲线有一条水
平渐近线y =A --则称函数在无限远点∞有极限。记为：x →∞ 在无穷远点∞的左右极限：
lim f (x ) =A
。
f (+∞) =l i m f (x )
x →+∞
，
f (-∞) =l i m f (x )
x →-∞
关系为：
lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =A =lim f (x )
x →∞
x →+∞
x →-∞
二、函数极限的性质 1、极限的唯一性 2、函数极限的局部有界性 3、限的局部保号性
4、函数极限与数列极限的关系 例1 讨论函数y =
x x
在x →0的极限。
例2 求下面函数极限：
l i m 2， l i m x n +1-+1
n →∞
x →-1
n
3
x 3+1
) 。
作业：见课后各章节练习。
第四节：无穷小与无穷大
教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念。 教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。 一、无穷小定义
定义 对一个数列{x n }，如果成立如下的命题：
lim x n =0∀ε>0⋅∃N ⋅∀n >N ⋅x
注：1）∀2）
∃
ε的意义；
x n
3）上述命题可翻译成：对于任意小的正数ε，存在一个号码N ，使在这个号码以后的所有的号码n ，相应的x n 与极限0的距离比这个给定的ε还小。它是我们在直观上对于
一个数列趋于0的认识。
定理1 在自变量的同一变化过程x →x 0（或x →∞) 中，函数f (x )具有极限A 的充分必要条件是f (x ) =A +α，其中α是无穷小。
二、无穷大定义
一个数列{x n }，如果成立：
x n =∞∀G >0⋅∃N ⋅∀n >N ⋅x n >G 那么称它为无穷大量。记成：lim x →∞。
lim x n =+∞∀G >0⋅∃N ⋅∀n >N ⋅x >G n 特别地，如果，则称为正无穷大，记成x →∞。
特别地，如果∀G >0⋅∃N ⋅∀n >N ⋅x n
lim x n =-∞
x →∞
。
注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。 三、无穷小和无穷大的关系
1
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f (x ) 为无穷大，则f (x ) 为无穷小；反之，1
如果f (x ) 为无穷小，且f (x ) ≠0则f (x ) 为无穷大。
即非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当x n ≠0时：有
lim =0⇒lim
x ←∞
1
=∞x →∞x n
lim =∞⇒lim
x ←∞
1
=0x →∞x n
注意是在自变量的同一个变化过程中。 四、无穷小的性质
设{x n }和{y n }是无穷小量于是： 1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：
lim x n =0
x →∞
lim y n =0⇒lim (x n ±y n ) =0
x →∞
x ←∞
2）对于任意常数C ，数列{c ⋅x n }也是无穷小量： x →∞
lim x n =0⇒lim (c ⋅x n ) =0
x ←∞
3）
{x
n
⋅y n
}也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。
lim y n =0⇒lim (x n ⋅y n ) =0
x →∞
x →∞
lim x n =0
x →∞
4）x n 也是无穷小量：
x →x 0
}
lim x n =0⇔lim x n =0
x →x 0
5）无穷小与有界函数的积为无穷小。 五、函数极限的四则运算
1）若函数f 和g 在点x 0有极限，则
x →x 0
lim (f (x ) +g (x )) =lim f (x ) +lim g (x )
x →x 0
x →x 0
2）函数f 在点x 0有极限，则对任何常数a 成立
x →x 0
lim (a ⋅f (x )) =a ⋅lim f (x )
x →x 0
3）若函数f 和g 在点x 0有极限，则
x →x 0
lim (f (x ) ⋅g (x )) =lim f (x ) ⋅lim g (x )
x →x 0
x →x 0
，则
4）函数f 和g 在点x 0有极限，并且x →x 0
lim g (x ) =β≠0
lim f (x ) ⎛f (x ) ⎫x α→x 0
⎪lim ==
x →x 0 g (x ) ⎪lim g (x ) β⎝⎭x
→x
极限的四则运算成立的条件是若函数f 和 g 在点x 0 有极限。
定理3 设函数y =f [g (x )}是由函数y =f (u ) 与u =g (x ) 复合而成，f [g (x )]在点
lim g (x ) =u 0lim f (u ) =A x 0的某去心邻域内有定义，若x →x 0
，u →u 0，且存在δ0>0，当 x ∈u (x , δ) 00时，有g (x ) ≠u 0，则
x →x 0
lim f [g (x )]=lim f (u ) =A
u →u 0
例1 下面函数在x 趋向什么时是无穷小，又当x 趋向什么时是无穷大：
s i x n
。
例2 求下面函数极限：
lim
x →1
2x -3x 2-5x +4
lim
x →3
x -3x 2-9
作业：见课后各章节练习。
第五节：极限存在准则 两个重要极限
教学目的与要求：掌握极限存在准则，透彻理解两个重要极限。 教学重点（难点）：极限存在准则，两个重要极限的应用。
定理1（夹逼定理） 三数列{x n }、{y n }和{z n }，如果从某个号码起成立：
1）x n
lim x n =a =lim z n
x →∞
，则有结论：
lim y n =a
x →∞
定理2 单调有界数列一定收敛。
单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。 Ⅰ 极限lim [sinx/x] =1
x →0
该极限的证明，关键是证不等式:sinx
如图. 设单位圆⊙O 的渐开线为
⊥Ｘ轴于Ｈ，ＴＢC 切⊙Ｏ且交AB . 若记∠TOA ＝x ，并过Ｔ作ＴＨ AB
及Ｘ轴分别于Ｂ、Ｃ，则
=（x ）=TB我们说这个证明不仅是一个创造性的，更主要它避免了传统证法中的“循环论证”. 因扇形面积ＯAT ＝
1
x 的求得，一般是n 等分∠ＡＯT 成n 个等腰△2
A i OA i-1(i=1.2,…,n,A=A0,T=An ) ，则
11
Sin （x/n）=n Sin（x/n） 22
11
此时，扇形面积ＯA T=lim ∑△A i OA i-1=∑Sin （x/n）=x lim [Sin（x/n）/（x/n）]
n →∞22n →∞
1
显然当lim [Sin（x/n）/（x/n）]=1时，扇形面积ＯAT ＝x ，但令t= x / n，则该极限为
n →∞2
∑△A i OA i-1=∑
要证明的重要极限Ｉ，即出现循环论证。
Ⅱ 极限lim （1+1/n）n = e
n →∞
设A n =（1+1/n）n ，利用算术和几何不等式关系，得：
A n =（1+1/n）（1+1/n）……（1+1/n）･1≦[（n （1+1/n）+1）/（n+1）] n+1
即数列{A n }单增。
另外，设Ｂn ＝n/（n+1） ，利用算术和几何不等式关系，得： Ｂn ＝1- 1/（n+1）>1- 1/n=[（2･(1/2)+（n-2））/n] 则 4≥ [（n+1）/ n]= （1+1/n）n 即数列{A n }有上界。
于是，极限Ⅱ存在，并记为数e 。 例1 求下面函数极限：
≥[（1/2）2･1]=（1/4）1/n
n-2
lim
tan x arcsin x 1-cos x
lim lim
x →0x ，x →0x 2 ，x →0x
11lim (1+) x lim (1-) x
x 有界，并求 x →∞x 的极限。 例2 证明x →∞
作业：见课后各章节练习。
第六节：无穷小的比较
教学目的与要求：理解无穷小的比较概念。 教学重点（难点）：熟练应用等价无穷小求极限。 定义 若α, β为无穷小，且
β=0αβlim =∞
αβ
lim =c ≠0
αβ
lim K =c ≠0
αβlim =1
α
lim
则α与β的关系，依次是高阶、低阶、同阶、k 阶、等价（α～β） 1）若α, β为等价无穷小，则β=α+ (α) 。
2）若α～α、β～β且11lim β1α存在，则：
lim β
=lim β1
α1
例1 证明下面各无穷小量之间的关系：
。 x （x →0+） tanx-sinx 与sinx （x →0）
例2 求下面函数极限：
lim tan 2x (1+x ) -1sin x lim lim 3x →0sin 5x ， x →0x +3x ， x →0cos x -1。 123
作业：见课后各章节练习。
第七节：函数的连续性与间断点
教学目的与要求：利用定义判断连续或间断点。
教学重点（难点）：判断函数连续 。
一、函数在一点的连续性
函数f 在点x 0连续，当且仅当该点的函数值f (x 0) 、左极限f (x 0-0) 与右极限f (x 0+0) 三者相等：
f (x 0-0) =f (x 0) =f (x 0+0)
或者：当且仅当函数f 在点x 0有极限且此极限等于该点的函数值 。
x →x 0lim f (x ) =f (x 0)
其形式定义如下：
∀ε
函数在区间（a,b ）连续指：区间中每一点都连续，函数在区间［a,b ］连续时包括端点。 注：1）左右连续，在区间上连续(注意端点) ；
2）连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线。
二、间断点
若：f (x 0-0) =f (x 0) =f (x 0+0) 中有某一个等式不成立，就间断，分为：
1、第一类间断点
f (x 0+0) ≠f (x 0-0)
即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。
2、第二类间断点x 0
左极限f (x 0-0) 与右极限f (x 0+0) 两者之中至少有一个不存在。
例1 讨论函数在x=0处的连续性：
⎧x , x ≠0, f (x ) =⎨ ⎩1, x =0.
例2 求下面函数的间断点，判断其类型：
y =(1+x , y =x c o 。 x 作业：见课后各章节练习。
第八节：连续函数的运算与初等函数的连续性
教学目的与要求：理解连续函数的性质和初等函数的连续性，并会利用函数的连续性求函数极限。
教学重点（难点）：函数连续性判定。
一、连续函数的四则运算
1） x →x 0lim f (x ) =f (x 0) 且x →x 0lim g (x ) =g (x 0) ，
lim {α⋅f (x ) +β⋅g (x ) }=α⋅f (x 0) +β⋅g (x 0) ⇒x →x 0
2） x →x 0l i m f (x ) =f (x 0)
⇒x →x 0且x →x 0lim g (x ) =g (x 0) ， lim {f (x ) *g (x ) }=f (x 0) *g (x 0)
且x →x 03） x →x 0l i m f (x ) =f (x 0) lim g (x ) =g (x 0) ≠0， f (x ) f (x 0) lim =x →x 0g (x ) g (x 0) ⇒
二、反函数连续定理
如果函数f :y =f (x )
数f -1x ∈D f 是严格单调增加（减少）且连续的，则存在它的反函-1x =f (y ) ：y ∈D f 也是严格单调增加（减少）并且连续。
注：1）反函数的定义域就是原来的值域。
2）通常惯用X 表示自变量，Y 表示因变量。反函数也可表成
y =f -1(x ) x ∈D f -1
三、复合函数的连续性定理：
设函数f 和g 满足复合条件ℜg ⊂D f ，若函数g 在点x 0连续；g (x 0) =u 0，又若f 函数在点u 0连续，则复合函数f g 在点x 0连续。
注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：
x →x 0lim f (g (x )) =f (lim g (x )) x →x 0
从这些基本初等函数出, 通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且初等函数在其定义区间内连续。
例1 求下面函数的连续区间：
y =l n s i x n ，
y =
例2 求下面函数极限：
x →a 。 ，
l i x →a 。 x
作业：见课后各章节练习。
第九节：闭区间上连续函数的性质
教学目的与要求：了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点（难点）：利用性质解决问题。
一、最大、最小值
设函数：y =f (x ) , x ∈D 在上有界，现在问在值域
D 1={y y =f (x ), x ∈D }
中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点x 0∈D 的函数值 y 0=f (x 0) ，则记y 0=max {f (x ) }x ∈D 叫做函数在D 上的最大值。
类似地，如果 D f 中有一个最小实数，譬如说它是某个点x 2∈D f 的函数值y 2=f (x 2) ，则记
二、有界性 y 2=min {f (x ) }x ∈D f 称为函数在上的最小值 。
有界性定理 如果函数f 在闭区间[a , b ]上连续，则它在[a , b ]上有界。
三、零点、介值定理
最大值和最小值定理 如果函数 f 在闭区间[a , b ]上连续则它在[a , b ]上有最大值和最小值，也就是说存在两个点ς和η，使得
f (ς) ≤f (x ) ≤f (η) , x ∈[a , b ] 。
亦即
f (ς) =min {f (x ) }x ∈[a , b ] {f (x ) }f (η) =m a x x ∈[a , b ]
若x 0使f (x 0) =0，则称x 0为函数的零点。
四、零点定理
零点定理 如果函数f 在闭区间[a , b ]上连续，且f 在区间[a , b ]的两个端点异号：f (a ) *f (b )
五、中值定理
中值定理 如果函数f 在闭区间[a , b ]上连续，则f 在[a , b ]上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。
例1 证明方程x=asinx+b（a 、b >0）至少有一个正根，并且它不超过a=b。 例2（2005年全国高考题） 已知函数f (x ) =
1）求f (x ) 的单调区间和值域；
2）设a ≥1，函数g (x ) =x 3-3a 2x -2a , x ∈[0,1]，若对于任意x 1∈[0, 1]使得4x 2-7, x ∈[0,1]。 g (x 0) =f (x 1) 成立，求a 的取值范围。
作业：见课后各章节练习。