20. 1 一次函数的概念
【教学目标】
（1）通过一些具体函数实例；建立和理解一次函数概念。
（2）理解一次函数与特殊函数如正比例函数、常值函数的关系。
（3）会判断两个变量之间的关系是否是一次函数；能用待定系数法确定一次函数解析式；
（4）在判断一次函数的过程中体验分类讨论的数学思想。
【教学重点及难点】
一次函数与正比例函数概念的关系；
用待定系数法求一次函数的解析式.
【教学过程】
一、创设情境，复习导入
问题1：汽车油箱里原有汽油120升，已知每行驶10千米耗油2升，如果汽车油箱的剩余是y （升）汽车行驶的路程为x （千米），试用解析式表示y•与x 的关系．
分析：每行驶10千米耗油2升，那么每行驶1千米耗油0.2升，因此y 与x 的函数关系式为：
y=120－0.2x （0≤x ≤600）
说明 当一个函数以解析式表示时, 如果对函数的定义域未加说明, 那么定义域由这个函数的解析式确定；否则, 应指明函数的定义域.
这个函数是不是我们所学的正比例函数？它与正比例函数有何不同？它的图像又具备什么特征？从今天开始我们将讨论这些问题．
二、学习新课
1．概念辨析
问题2：某人驾车从甲地出发前往乙地，汽车行驶到离甲地80千米的A 处发生故障，修好后以60千米／小时的速度继续行驶. 以汽车从A 处驶出的时刻开始计时，设行驶的时间为t （小时），某人离开甲地所走的路程为s （千米），那么s 与t 的函数解析式是什么？ 类似问题1：这个函数解析式是S=60t+80
思考：这个解析式和y=-0.2x+120有什么共同特点？
说明 通过讨论使学生能够从它们的函数表达式得出表示函数的式子都是自变量的一次整式.
如果我们用k 表示自变量的系数，b 表示常数．•这些函数就可以写成：y=kx+b（k ≠0）的形式.
一般地，形如y=kx+b（k 、b 是常数，且k ≠0•）的函数，•叫做一次函数（•linear function ）．一次函数的定义域是一切实数.
当b=0时，y=kx+b即y=kx（k 是常数，且k ≠0•）．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
当k=0时，y 等于一个常数，这个常数用c 来表示，一般地，我们把函数y=c（c 是常数）叫做常值函数它的定义域由所讨论的问题确定．
2．例题分析
例题1 根据变量x 、y 的关系式, 判断y 是否是x 的一次函数.
（1）y =2x ；（2）y =1-112x ；（3）x -y =2；（4）y =+3. 23x
例题2 已知变量x 、y 之间的关系式是y=（a+1）x+a (其中a 是常数), 那么y 是x 的
一次函数吗?
例题3 已知一个一次函数, 当自变量x=2时，函数值y=-1；当x=5时，y=8.求这个函数的解析式.
分析：求一次函数解析式，关键是求出k 、b 值．由此可列出关于k 、b 的二元一次方程组，解之可得.
解 设所求一次函数的解析式为y=kx+b；
由x=2时y=-1,得 -1=2k+b；
由x=5时y=8,得 8=5k+b.
解二元一次方程组⎨⎧-1=2k +b 解得k=3, b=-7.
⎩8=5k +b
所以, 这个一次函数的解析式是y =3x -7.
3．巩固练习：
1．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1）y =-8x ． （2）y =32． （3）y =5x +6． （3）y =-3x -1． x
2．一个小球从斜坡由静止开始向下滚动，其速度每秒增加2米．这个小球的速度v 随时间t 变化的函数关系是一次函数吗？
3．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y （升）随行驶时间x （小时）变化的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．y 是x 的一次函数吗？
4．已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
4、自我评价, 谈谈感想
１．这节课你学会了什么？
２．你认为有哪些要注意的地方？
３．你还有什么问题吗？
五、作业：练习册：20.1
课后反思：（1）关于一次函数的定义的建立，可以通过列举更多的实例，由其中所反映的一次函数关系，通过观察、比较、归纳，抽象出一次函数的定义。
（2）关注以下几个方面：一是对“形如”的理解，定义中增加“形如”两字，是为了避免产生一些错误理解：学生错误地认为一次函数的自变量与因变量只能用x 、y 表示，诸如S=5t+3,或h=2n+1这类函数不是一次函数。二是对一次函数定义域的认识，要明确一个函数，应该指出函数的定义域，所以，指出解析式形如y =kx +b （其中k 、b 为常数，且k ≠0）的一次函数，它的定义域是一切实数，只是约定可以不加说明；而当一次函数的定义域不是一切实数时，必须说明。
（3）建立一次函数的定义后，首先考虑这类新函数与学过的正比例函数之间的关系，以此巩固一次函数的概念，加深对一次函数定义的认识。
（4）例题1是帮助学生学会用定义判断一个函数关系是否是一次函数。在解决例题1的过程中，要紧扣一次函数的定义，即解析式形如y=kx+b。这里要指出的是，若从函数角度思考一个二元一次方程所反映的两个未知数之间的关系，我们发现，一个二元一次方程所
反映的两个变量之间的关系，可能是一次函数，也有可能不是一次函数。本题中仅考虑方程中两个未知数的系数都不等于0的情况。
（5）设置例题2，是为了帮助学生巩固如何判断一次函数关系，并引导学生学习和体验分类讨论的数学思想；在此基础上，引入常值函数概念。对于常值函数，只要学生知道，它也反映了一个变化过程，只是在自变量变化时，函数值取同一个常数，但这也是一个确定的依赖关系。教学中，可回顾第十四章“平面直角坐标系”中有关知识，再用图像法帮助学生体验常值函数所反映的变化过程。
20. 1 一次函数的概念
【教学目标】
（1）通过一些具体函数实例；建立和理解一次函数概念。
（2）理解一次函数与特殊函数如正比例函数、常值函数的关系。
（3）会判断两个变量之间的关系是否是一次函数；能用待定系数法确定一次函数解析式；
（4）在判断一次函数的过程中体验分类讨论的数学思想。
【教学重点及难点】
一次函数与正比例函数概念的关系；
用待定系数法求一次函数的解析式.
【教学过程】
一、创设情境，复习导入
问题1：汽车油箱里原有汽油120升，已知每行驶10千米耗油2升，如果汽车油箱的剩余是y （升）汽车行驶的路程为x （千米），试用解析式表示y•与x 的关系．
分析：每行驶10千米耗油2升，那么每行驶1千米耗油0.2升，因此y 与x 的函数关系式为：
y=120－0.2x （0≤x ≤600）
说明 当一个函数以解析式表示时, 如果对函数的定义域未加说明, 那么定义域由这个函数的解析式确定；否则, 应指明函数的定义域.
这个函数是不是我们所学的正比例函数？它与正比例函数有何不同？它的图像又具备什么特征？从今天开始我们将讨论这些问题．
二、学习新课
1．概念辨析
问题2：某人驾车从甲地出发前往乙地，汽车行驶到离甲地80千米的A 处发生故障，修好后以60千米／小时的速度继续行驶. 以汽车从A 处驶出的时刻开始计时，设行驶的时间为t （小时），某人离开甲地所走的路程为s （千米），那么s 与t 的函数解析式是什么？ 类似问题1：这个函数解析式是S=60t+80
思考：这个解析式和y=-0.2x+120有什么共同特点？
说明 通过讨论使学生能够从它们的函数表达式得出表示函数的式子都是自变量的一次整式.
如果我们用k 表示自变量的系数，b 表示常数．•这些函数就可以写成：y=kx+b（k ≠0）的形式.
一般地，形如y=kx+b（k 、b 是常数，且k ≠0•）的函数，•叫做一次函数（•linear function ）．一次函数的定义域是一切实数.
当b=0时，y=kx+b即y=kx（k 是常数，且k ≠0•）．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
当k=0时，y 等于一个常数，这个常数用c 来表示，一般地，我们把函数y=c（c 是常数）叫做常值函数它的定义域由所讨论的问题确定．
2．例题分析
例题1 根据变量x 、y 的关系式, 判断y 是否是x 的一次函数.
（1）y =2x ；（2）y =1-112x ；（3）x -y =2；（4）y =+3. 23x
例题2 已知变量x 、y 之间的关系式是y=（a+1）x+a (其中a 是常数), 那么y 是x 的
一次函数吗?
例题3 已知一个一次函数, 当自变量x=2时，函数值y=-1；当x=5时，y=8.求这个函数的解析式.
分析：求一次函数解析式，关键是求出k 、b 值．由此可列出关于k 、b 的二元一次方程组，解之可得.
解 设所求一次函数的解析式为y=kx+b；
由x=2时y=-1,得 -1=2k+b；
由x=5时y=8,得 8=5k+b.
解二元一次方程组⎨⎧-1=2k +b 解得k=3, b=-7.
⎩8=5k +b
所以, 这个一次函数的解析式是y =3x -7.
3．巩固练习：
1．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1）y =-8x ． （2）y =32． （3）y =5x +6． （3）y =-3x -1． x
2．一个小球从斜坡由静止开始向下滚动，其速度每秒增加2米．这个小球的速度v 随时间t 变化的函数关系是一次函数吗？
3．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y （升）随行驶时间x （小时）变化的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．y 是x 的一次函数吗？
4．已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
4、自我评价, 谈谈感想
１．这节课你学会了什么？
２．你认为有哪些要注意的地方？
３．你还有什么问题吗？
五、作业：练习册：20.1
课后反思：（1）关于一次函数的定义的建立，可以通过列举更多的实例，由其中所反映的一次函数关系，通过观察、比较、归纳，抽象出一次函数的定义。
（2）关注以下几个方面：一是对“形如”的理解，定义中增加“形如”两字，是为了避免产生一些错误理解：学生错误地认为一次函数的自变量与因变量只能用x 、y 表示，诸如S=5t+3,或h=2n+1这类函数不是一次函数。二是对一次函数定义域的认识，要明确一个函数，应该指出函数的定义域，所以，指出解析式形如y =kx +b （其中k 、b 为常数，且k ≠0）的一次函数，它的定义域是一切实数，只是约定可以不加说明；而当一次函数的定义域不是一切实数时，必须说明。
（3）建立一次函数的定义后，首先考虑这类新函数与学过的正比例函数之间的关系，以此巩固一次函数的概念，加深对一次函数定义的认识。
（4）例题1是帮助学生学会用定义判断一个函数关系是否是一次函数。在解决例题1的过程中，要紧扣一次函数的定义，即解析式形如y=kx+b。这里要指出的是，若从函数角度思考一个二元一次方程所反映的两个未知数之间的关系，我们发现，一个二元一次方程所
反映的两个变量之间的关系，可能是一次函数，也有可能不是一次函数。本题中仅考虑方程中两个未知数的系数都不等于0的情况。
（5）设置例题2，是为了帮助学生巩固如何判断一次函数关系，并引导学生学习和体验分类讨论的数学思想；在此基础上，引入常值函数概念。对于常值函数，只要学生知道，它也反映了一个变化过程，只是在自变量变化时，函数值取同一个常数，但这也是一个确定的依赖关系。教学中，可回顾第十四章“平面直角坐标系”中有关知识，再用图像法帮助学生体验常值函数所反映的变化过程。