永磁无刷直流电机齿槽力矩分析
崔思鹏 王建辉 刘凯
（上海交通大学 电子信息与电气工程学院，上海 200240）
摘要：随着电力电子技术、永磁材料和微机控制技术的发展，永磁无刷直流电机得到了 迅速发展，越来越多的应用于工业控制领域例如：电动汽车、数控机床、机器人制造等。
然而，齿槽力矩的存在引起的震荡和噪声等问题使得永磁无刷电机很难应用于低速直驱控制系统中。本文的目的是通过有限元法研究电机设计过程中，影响齿槽力矩的主要设计参数，从而得到优化永磁无刷电机齿槽力矩的方案。
关键词：齿槽力矩；永磁无刷直流电机；有限元。
[1]
Analysis for Cogging Torque in Permanent-Magnet Machines
CUI Si-peng,WANG Jian-hui,LIU Kai
（School of Electronic, Information and Electrical Engineering, Shanghai Jiao tong
University,Shanghai200240,China ）
Abstract: With the development of power electronics,permanent magnet materials and control method,PM brushless motor have received more and more attention.PM brushless motor have been widely used in high performance applications such as Electric vehicle, numerical control machine tools and robots.However,the noise and vibration caused by cogging torque seriously affects the motor performance,especially in low speed and direct drive applications.The purpose of this paper is to analytically investigate the influence of major machine design parameters on the cogging torque and to obtain their optimal values for minimum cogging torque.
Finally,FEA is employed to verify the obtained optimal design parameters.
Keywords:Cogging torque,PM motor,FEA
1 齿槽力矩的数学表达式
齿槽力矩是由定子齿和永磁体转子之间相互作用力产生的。通过电磁场中的能量法及傅里叶分解法得到永磁无刷直流电机的齿槽力矩数学解析表达式：
K skn
1
sin(nN L αS )
（2） =1
nN L αS 2
L ef B δ2C T 2
T cog (α) =-(R 2-R 12)
u 0∞αp πK skn b 0
∙
C T =
N S N P
N L （3）
∑n =1
n
sin(nN L
2
)sin(nN L
N p
)
1
⨯sin(nN L α-nN L αs )
2
其中
L ef 为电机中心高，B δ为电机气隙磁密，R 1为定子外径，R 2为定子外径，N L 为定子槽数与永磁体个数之间的最小公倍数，b 0为槽口角度，αP 为极弧系数，αS 为定子斜槽倾斜角度，N P 为永磁体个数，N S 为定子槽数，α代表电机转子的位
（1）
置。从上面的公式不仅可以分析出决定永磁无刷直流电机齿槽力矩的主要参数，还可以研究出不
改变电机空载反电动势，负载转矩，功率密度降低齿槽力矩的方案[2]
。
2 永磁无刷直流电机齿槽力矩的优化
2.1电机中心高对齿槽力矩的影响 从公式(1)可以得到齿槽力矩与电机中心高 Lef 成正比例关系，随着电机中心高Lef 的 增加，齿槽力矩T 线性增加。针对不同定子 槽、转子极数的同类电机进行FEA 建模，电 机中心高的采样点分别是30,35,40,45,50mm 。 实验结果如图1所示，实验结果表明，针对不同电机中心高的实验数据点均落在同一条直线上，因此永磁无刷直流电机齿槽力矩与电机中心高成正比例关系。
图1. 电机中心高对齿槽力矩的影响
2.2气隙磁密及其长度对齿槽力矩的影响
定义一个变量K ，K =B 2δ∙(R 21-R 22) 其中B δ为气隙磁密，R 1为定子外径，R 2为定子内径。从公式(1)可以得到齿槽力矩与自定义变量
K 成正比例关系。通过改变R 2
得到不同的K 值，利用FEA 针对不同的K ，对电机建立电磁场模型，观测齿槽力矩随着变量K 的变化情况。实验结果如图2所示，随着R 2的减小，气隙增大，
(R 21-R 22) 增大，B δ减小，K 增加，电机齿槽力
随着K 的增加线性减小。
图2. 自定义变量K 对齿槽力矩的影响
2.3定转子槽数配合对齿槽力矩的影响 定义定子槽数、转子极数之间的配合系数C T ，
C N S ∙N P
T =
N ，其中N S 代表定子槽数，N P 代L
表转子极数，N L 为定子槽数与转子极数之间的最小公倍数，从公式(1)可以得到C T 越大，齿槽力
矩越大。针对不同定子槽、转子槽数的同类电机进行FEA 建模，实验结果如图(3)所示，实验结果表明，同类电机C T 越大，齿槽力矩越大，齿槽力
矩与C T 成正比例。
图3. 定子槽数、转子极数对齿槽力矩的影响
2.4极弧系数对齿槽力矩的影响
由公式(1)可知，如果极弧系数满足如下条件：
sin(nN a p πL
N ) =0 （3）
P
齿槽力矩将最小。利用FEA 建立电机电磁场模型，实验结果如图4所示，正如公式(3)描述的那样，齿槽力矩随着极弧度系数的变化做周期性变化。其中的最优极弧系数，由定、转子的槽数决定。
图4. 极弧系数对齿槽力矩的影响
2.5槽口宽度对齿槽力矩的影响
由公式(1)可知，如果槽口宽度满足如下条件：
sin(nN b 0
L
2) =0 (4)
齿槽力矩将最小。定义定子槽口开口宽度比例系
数为β，β=
b 0
2π/N , 利用FEA 建立电机电磁场
S
模型，实验结果如图5所示，正如公式(4)描述的那样，齿槽力矩随着槽口宽度的变化做周期性正弦变化。其中的最优槽口宽度，由定、转子的槽数决定。
图5.
定子槽开口宽度对齿槽力矩的影响
2.6定子斜槽对齿槽力矩的影响
由公式(1)可知，如果极弧系数满足：
sin(1
2
nN L a S ) =0 （5）
齿槽力矩将最小。定义定子斜槽倾斜度系数
ααS
SK =
2π/N ，利用FEA 建立电机电磁场模型，
S
实验结果如图6所示，正如公式(5)描述的那样，齿槽力矩随着定子斜槽的倾斜度变化做周期性变化。其中的最优定子槽倾斜度角度，由定、转子的槽数决定。
图6. 定子斜槽倾斜度对齿槽力矩的影响
3 降低齿槽转矩实例
给出一个槽数为48、极数为44、q=4/11的分数槽电机实例。原设计表面粘贴磁片，磁片极弧系数为0.92，铁心为梨形槽，槽口宽度3mm ，气隙0.5mm 的电机，原电机模型如图7，齿槽转矩波形如图8所示。
为降低齿槽力矩本文中的解析法分析和有限元法建模分析相结合，改进电机的外径、铁心及永磁体长度不变，槽数变为51、极数为46、q=17/46，极弧系数为0.95，铁心为梨形槽，槽口宽度1.7mm ，气隙1mm ，改进后电机模型如图9，齿槽转矩波形如图10所示。
优化方案中不采用斜槽、斜槽虽然能明显降低齿槽转矩但是同时会明显降低反电势和负载转矩而且增加了制造难度，因此不采用。优化性性能指标结果见表
2.
图7. 原电机电磁场模型
图8. 原电机齿槽力矩
图9. 改进后电机电磁场模型
图10. 改进后电机齿槽力矩
表2. 降低齿槽力矩分析实例
4 结束语 本文基于能量变换法和傅里叶分析的方法得出永磁无刷直流电机齿槽力矩的解析式。在此基础上通过有限元法分析了电机的极数、槽数配合对齿槽力矩的影响，气隙长度、电机中心高及外
径、槽口宽度、极弧系数、斜槽对电机齿槽力矩的影响。电机的极数和槽数间最大公约数对齿槽力矩的影响较大，斜槽虽然能极大降低齿槽力矩，但是同时也明显降低了负载转矩。上述一些优化齿槽力矩的方案在降低齿槽力矩的同时，可能造成电磁转矩的下降，或电磁纹波转矩的增加，因此在优化齿槽力矩的时候，应该综合考虑电机输出的电磁转矩和电磁纹波转矩。
参考文献 [1] 王秀和。永磁电机【M 】. 北京：中国电力出
版社，2007.
[2] C.C.Hwang,S.B.John,and S.S.Wu,“Reduction of
cogging torque in spindle motors”, IEEE Trans, vol.34,no.2, pp.468-470, Mar.1998.
永磁无刷直流电机齿槽力矩分析
崔思鹏 王建辉 刘凯
（上海交通大学 电子信息与电气工程学院，上海 200240）
摘要：随着电力电子技术、永磁材料和微机控制技术的发展，永磁无刷直流电机得到了 迅速发展，越来越多的应用于工业控制领域例如：电动汽车、数控机床、机器人制造等。
然而，齿槽力矩的存在引起的震荡和噪声等问题使得永磁无刷电机很难应用于低速直驱控制系统中。本文的目的是通过有限元法研究电机设计过程中，影响齿槽力矩的主要设计参数，从而得到优化永磁无刷电机齿槽力矩的方案。
关键词：齿槽力矩；永磁无刷直流电机；有限元。
[1]
Analysis for Cogging Torque in Permanent-Magnet Machines
CUI Si-peng,WANG Jian-hui,LIU Kai
（School of Electronic, Information and Electrical Engineering, Shanghai Jiao tong
University,Shanghai200240,China ）
Abstract: With the development of power electronics,permanent magnet materials and control method,PM brushless motor have received more and more attention.PM brushless motor have been widely used in high performance applications such as Electric vehicle, numerical control machine tools and robots.However,the noise and vibration caused by cogging torque seriously affects the motor performance,especially in low speed and direct drive applications.The purpose of this paper is to analytically investigate the influence of major machine design parameters on the cogging torque and to obtain their optimal values for minimum cogging torque.
Finally,FEA is employed to verify the obtained optimal design parameters.
Keywords:Cogging torque,PM motor,FEA
1 齿槽力矩的数学表达式
齿槽力矩是由定子齿和永磁体转子之间相互作用力产生的。通过电磁场中的能量法及傅里叶分解法得到永磁无刷直流电机的齿槽力矩数学解析表达式：
K skn
1
sin(nN L αS )
（2） =1
nN L αS 2
L ef B δ2C T 2
T cog (α) =-(R 2-R 12)
u 0∞αp πK skn b 0
∙
C T =
N S N P
N L （3）
∑n =1
n
sin(nN L
2
)sin(nN L
N p
)
1
⨯sin(nN L α-nN L αs )
2
其中
L ef 为电机中心高，B δ为电机气隙磁密，R 1为定子外径，R 2为定子外径，N L 为定子槽数与永磁体个数之间的最小公倍数，b 0为槽口角度，αP 为极弧系数，αS 为定子斜槽倾斜角度，N P 为永磁体个数，N S 为定子槽数，α代表电机转子的位
（1）
置。从上面的公式不仅可以分析出决定永磁无刷直流电机齿槽力矩的主要参数，还可以研究出不
改变电机空载反电动势，负载转矩，功率密度降低齿槽力矩的方案[2]
。
2 永磁无刷直流电机齿槽力矩的优化
2.1电机中心高对齿槽力矩的影响 从公式(1)可以得到齿槽力矩与电机中心高 Lef 成正比例关系，随着电机中心高Lef 的 增加，齿槽力矩T 线性增加。针对不同定子 槽、转子极数的同类电机进行FEA 建模，电 机中心高的采样点分别是30,35,40,45,50mm 。 实验结果如图1所示，实验结果表明，针对不同电机中心高的实验数据点均落在同一条直线上，因此永磁无刷直流电机齿槽力矩与电机中心高成正比例关系。
图1. 电机中心高对齿槽力矩的影响
2.2气隙磁密及其长度对齿槽力矩的影响
定义一个变量K ，K =B 2δ∙(R 21-R 22) 其中B δ为气隙磁密，R 1为定子外径，R 2为定子内径。从公式(1)可以得到齿槽力矩与自定义变量
K 成正比例关系。通过改变R 2
得到不同的K 值，利用FEA 针对不同的K ，对电机建立电磁场模型，观测齿槽力矩随着变量K 的变化情况。实验结果如图2所示，随着R 2的减小，气隙增大，
(R 21-R 22) 增大，B δ减小，K 增加，电机齿槽力
随着K 的增加线性减小。
图2. 自定义变量K 对齿槽力矩的影响
2.3定转子槽数配合对齿槽力矩的影响 定义定子槽数、转子极数之间的配合系数C T ，
C N S ∙N P
T =
N ，其中N S 代表定子槽数，N P 代L
表转子极数，N L 为定子槽数与转子极数之间的最小公倍数，从公式(1)可以得到C T 越大，齿槽力
矩越大。针对不同定子槽、转子槽数的同类电机进行FEA 建模，实验结果如图(3)所示，实验结果表明，同类电机C T 越大，齿槽力矩越大，齿槽力
矩与C T 成正比例。
图3. 定子槽数、转子极数对齿槽力矩的影响
2.4极弧系数对齿槽力矩的影响
由公式(1)可知，如果极弧系数满足如下条件：
sin(nN a p πL
N ) =0 （3）
P
齿槽力矩将最小。利用FEA 建立电机电磁场模型，实验结果如图4所示，正如公式(3)描述的那样，齿槽力矩随着极弧度系数的变化做周期性变化。其中的最优极弧系数，由定、转子的槽数决定。
图4. 极弧系数对齿槽力矩的影响
2.5槽口宽度对齿槽力矩的影响
由公式(1)可知，如果槽口宽度满足如下条件：
sin(nN b 0
L
2) =0 (4)
齿槽力矩将最小。定义定子槽口开口宽度比例系
数为β，β=
b 0
2π/N , 利用FEA 建立电机电磁场
S
模型，实验结果如图5所示，正如公式(4)描述的那样，齿槽力矩随着槽口宽度的变化做周期性正弦变化。其中的最优槽口宽度，由定、转子的槽数决定。
图5.
定子槽开口宽度对齿槽力矩的影响
2.6定子斜槽对齿槽力矩的影响
由公式(1)可知，如果极弧系数满足：
sin(1
2
nN L a S ) =0 （5）
齿槽力矩将最小。定义定子斜槽倾斜度系数
ααS
SK =
2π/N ，利用FEA 建立电机电磁场模型，
S
实验结果如图6所示，正如公式(5)描述的那样，齿槽力矩随着定子斜槽的倾斜度变化做周期性变化。其中的最优定子槽倾斜度角度，由定、转子的槽数决定。
图6. 定子斜槽倾斜度对齿槽力矩的影响
3 降低齿槽转矩实例
给出一个槽数为48、极数为44、q=4/11的分数槽电机实例。原设计表面粘贴磁片，磁片极弧系数为0.92，铁心为梨形槽，槽口宽度3mm ，气隙0.5mm 的电机，原电机模型如图7，齿槽转矩波形如图8所示。
为降低齿槽力矩本文中的解析法分析和有限元法建模分析相结合，改进电机的外径、铁心及永磁体长度不变，槽数变为51、极数为46、q=17/46，极弧系数为0.95，铁心为梨形槽，槽口宽度1.7mm ，气隙1mm ，改进后电机模型如图9，齿槽转矩波形如图10所示。
优化方案中不采用斜槽、斜槽虽然能明显降低齿槽转矩但是同时会明显降低反电势和负载转矩而且增加了制造难度，因此不采用。优化性性能指标结果见表
2.
图7. 原电机电磁场模型
图8. 原电机齿槽力矩
图9. 改进后电机电磁场模型
图10. 改进后电机齿槽力矩
表2. 降低齿槽力矩分析实例
4 结束语 本文基于能量变换法和傅里叶分析的方法得出永磁无刷直流电机齿槽力矩的解析式。在此基础上通过有限元法分析了电机的极数、槽数配合对齿槽力矩的影响，气隙长度、电机中心高及外
径、槽口宽度、极弧系数、斜槽对电机齿槽力矩的影响。电机的极数和槽数间最大公约数对齿槽力矩的影响较大，斜槽虽然能极大降低齿槽力矩，但是同时也明显降低了负载转矩。上述一些优化齿槽力矩的方案在降低齿槽力矩的同时，可能造成电磁转矩的下降，或电磁纹波转矩的增加，因此在优化齿槽力矩的时候，应该综合考虑电机输出的电磁转矩和电磁纹波转矩。
参考文献 [1] 王秀和。永磁电机【M 】. 北京：中国电力出
版社，2007.
[2] C.C.Hwang,S.B.John,and S.S.Wu,“Reduction of
cogging torque in spindle motors”, IEEE Trans, vol.34,no.2, pp.468-470, Mar.1998.