第九章真空中的静电场

一． 选择题

[ B ] 1（基础训练1） 图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线

密度分别为＋　(x＜0)和－　 (x＞0)，则Oxy坐标平面上点(0，a)

处的场强E为

 i． (A) 0． (B)

20a



ij． (C) i． (D)

40a40a

【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a)处产生的场强大小E＋、E－大小为：

EE

矢量叠加后，合场强大小为：



，方向如图。 E合

20a

［ B ］ 2（基础训练2） 半径为R的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小E与距轴线的距离r的关系曲线为： 【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面（半径为r，高度为L）为高斯面。 据Guass定理：



S

EdS=i

qi

0

r2L

rR时，有：E2rL=，即：E=r

020R2LR2

rR时，有：E2rL=，即：E=

020r

［ C ］ 3（基础训练3） 如图所示，一个电荷为q的点电荷

位于立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于：

qq d． (B) ． (A) 60120

(C)

qq． (D) ． 240480

1

c

【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A处于大立方体的中心。则大立

方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss定理知，通过该高斯面的电通

量为

q

0

。再据对称性可知，通过侧面abcd的电场强度通量等于

q

。 240

［ D ］ 4（基础训练6） 在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点 ， 则M点的电势为

qq

． (B) ． (A)

40a80a

qq(C) ． (D) ．

40a80a

【提示】：VM



P

M

aEdl

q40r

2a

2

q80a

［ B ］ 5（自测提高6）如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R1、带电荷Q1，外球面半径为R2、带有电荷Q2．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r处的P点的电势U为：

(A)

Q1Q2Q1Q1Q2

． (B) ． (C) 0． (D) ．

40R140R240r40R1

【提示】：根据带点球面在求内外激发电势的规律，以及电势叠加原理即可知结果。

［ D ］ 6（自测提高8）8、点电荷-q位于圆心O处，A、B、C、D为同一圆周上的四点，如图9-38示。现将一试验电荷从A点分别移动到B、C、D各点，则 (A) 从A到B，电场力作功最大。

(B) 从A到C，电场力作功最大。 (C) 从A到D，电场力作功最大。

(D) 从A到各点，电场力作功相等。 【提示】：根据电场力做功与电势差之间的关系式：APQq0(VP

VQ)以及A、B、C、D四点电势相等即可知结果。

［ C ］ 7（自测提高10）如图所示，在真空中半径分别为R和2R的两个同心球面，其上分别均匀地带有电荷+q和－3q．今将一电荷为+Ｑ的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为：

(A)

Qq40R

． (B)

Qq20R

． (C)

Qq3Qq

． (D) ．

80R80R

【提示】：静电力做功QUABQ(VAVB)等于动能的增加。其中：

VA

q40R



3qqq3q2q

；VB

402R80R402R402R80R

VA、VB为内球面、外球面的电势，代上即得结果。

2

二．填空题

1（基础训练9）已知空气的击穿场强为30 kV/cm，空气中一带电球壳直径为1 m，以无限远

6

处为电势零点，则这球壳能达到的最高电势是 1.510V__。 【提示】：带电球壳的电势：V

Q40R

；球壳表面场强为：E

Q

。联立两式知：04R20

+

VER。

2（基础训练13） 两个平行的“无限大”均匀带电平面， 其电荷面密度分如图所示，则A、B、C三个区域的电场强度分别为：EA＝别为＋和＋2，

3

，C

20

EB＝

3

，EC＝ (设方向向右为正)．

2020

【提示】：A、B、C三个区域的场强，为两“无限大”均匀带电平面在该区域独自产生场强的矢量叠加。

3（基础训练17） AC为一根长为2l的带电细棒，左半部均匀带有负电荷，右半部均匀带有正电荷。电荷线密度分别为－和＋，如图所示。O点在棒的延长线上，距A端的距离为l．P点在棒的垂直平分线上，到棒的垂直距离为l．以棒的中点B为电势的零点。则O点电势Uo＝

3

ln；P点电势Up＝___0___． 404

【提示】： 题中棒的中点B为电势的零点与远处为电势的零点是

一致的。根据对称性及电势叠加原理，易知P点电势为0，O点电势为：



2l

l

3ldxdx 2l40x40x

4（自测提高13）、如图9-42所示，一电荷线密度为的无限长带电直线垂直通过图面上的A点；一带有电荷Q的均匀带电球体，其球心处于O点。△AOP是边长为a的等边三角形。为了使P点处场强方向垂直于OP，则

和Q的数量之间应满足Qa关系，且与Q【提示】：作场强矢量叠加图知，要使P点处场强方向垂直于OP，必须满足：5（自测提高14）一半径为R的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d (d

Q

2。 2

20a40a

qd420R3

，场强方向为_从O点指向缺口中心处．

【提示】：根据填补法思想，将带中性的缺口用两个带等量异号电荷的

缺口取代。

3

6 （自测提高17） 一均匀静电场，电场强度E400i600j V·m，则点a(3,2)和点b(1,0)

-1









之间的电势差Uab＝－2×103 V _． (点的坐标x,y以米计)。 【提示】：Uab



b

a

(1,0)(1,0)

Edl(400i600j)(dxidyj)400dx600dy＝－2×103 V

(3,2)

(3,2)

7（自测提高20）有三个点电荷q1、q2和q3，分别静止于圆周上的三个点，如9-46图所示。设无穷远处为电势零点，则该电荷系统的相互作用电势能W＝

q q1

q3

180R

2q1q2q1q32q2q3．



13

【提示】：参见辅导书例题9－7.或利用公式：WqVii，其中

2i1

Vi为除第i个点电荷外的所有其它电荷在该点出的电势。

三． 计算题

1 （基础训练18） 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强．

半无限长直线A∞在O点产生的场强：

E1　E2

E3



ij

40R



ij

40R



ij

40R

半无限长直线B∞在O点产生的场强：

四分之一圆弧段在O点产生的场强：

由场强叠加原理，O点合场强为：



　EE1E2E3



ij

40R

2（基础训练20） 真空中一立方体形的高斯面,边长a＝0.1

m，位于图中所示位置．已知空间的场强分布为： Ex=bx , Ey=0 , Ez=0． 常量b＝1000 N/(C·m)．试求通过该高斯面的电通量．

4

【解】：通过x＝a处平面1的电场强度通量

1 = -E1 S1= -b a3

通过x = 2a处平面2的电场强度通量

2 = E2 S2 = b a3

其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为

=1+2 = b a-b a= b a =1 N·m/C

33 32

（基础训练21） 带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为=0sin，式中0为一常数，3

为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．

【解】：在处取电荷元，其电荷为

dq =dl = 0Rsind

它在O点产生的场强为

dE

在x、y轴上的二个分量

0sinddq

 2

40R40R

dEx=－dEcos

dEy=－dEsin

对各分量分别求和：

0

Exsincosd＝0

40R0

002

 Eysind

40R080R



∴ EExiEyj0j

80R



4 （基础训练23）如图所示，在电矩为p的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧(圆心与电偶极子中心重合，R>>电偶极子正负电荷之间距离)移到B点，求此过程中电场力所作的功．

【解】：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势

式中r为从电偶极子中心到场点的矢径．

于是知： A、B 两点电势分别为





Upr/40r3

UAp/40R

2

5

UBp/40R2

pp

q从A移到B电场力作功(与路径无关)为

AqUAUBqp/20R2

5（基础训练24） 图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．

【解】: 由高斯定理可知空腔内E＝0，故带电球层的空腔是等势区， 各点电势均为U。

在球层内取半径为r→r＋dr的薄球层．其电荷为

dq =  4r2dr

该薄层电荷在球心处产生的电势为 dUdq/40rrdr/0 整个带电球层在球心处产生的电势为

U0dU0



0



R2

R1

rdr

2

R2R12 20

因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U为

UU0



若根据电势定义UEdl计算，也可。

2

R2R12 20

6（基础训练25） 图中所示为一沿x轴放置的长度为l的不均

匀带电细棒，其电荷线密度为＝0 (x-a)，0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势．

【解】：在任意位置x处取长度元dx，其上带有电荷dq=0 (x－a)dx，

它在O点产生的电势

x

dU

0xadx

40x

O点总电势

aldx00alal

ladUdUxalnaa40xa40

7（基础训练27） 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R1＝0.03 m和R2＝0.10 m．已知两者的电势差为450 V，求内球面上所带的电荷．

【解】：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为

E

两球的电势差 U12

Q

(R1＜r＜R2)

40r2



R2

R1

Q

Edr

40



R2

R1

drQ

r240

11 RR

21

∴ Q

40R1R2U12-＝2.14×109 C

R2R1

6

8（基础训练28）在一个平面上各点的电势满足下式：U

axb

，x和y12222(xy)(xy)

为这点的直角坐标，a和b为常数。求任一点电场强度的Ex和Ey两个分量。



【解】：根据EU，知：

dUa(xy)bx(xy)Ex; 

dx(x2y2)2

dUy[2axb(x2y2)]Ey. 222

dy(xy)

2

2

2

2附加题：

1 （基础训练29）如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为l，细线左端离球心距离为r0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)．

【解】：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电荷为dqdx，该线元在

带电球面的电场中所受电场力为：

dF = qdx / (40 x2)

x

整个细线所受电场力为：

qF

40



r0lr0

dxql



x240r0r0l方向沿x正方向．

电荷元在球面电荷电场中具有电势能：

dW = (qdx) / (40 x)

整个线电荷在电场中具有电势能：

qW

40



r0lr0

dxqr0l

ln

40xr0

7

一． 选择题

[ B ] 1（基础训练1） 图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线

密度分别为＋　(x＜0)和－　 (x＞0)，则Oxy坐标平面上点(0，a)

处的场强E为

 i． (A) 0． (B)

20a



ij． (C) i． (D)

40a40a

【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a)处产生的场强大小E＋、E－大小为：

EE

矢量叠加后，合场强大小为：



，方向如图。 E合

20a

［ B ］ 2（基础训练2） 半径为R的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小E与距轴线的距离r的关系曲线为： 【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面（半径为r，高度为L）为高斯面。 据Guass定理：



S

EdS=i

qi

0

r2L

rR时，有：E2rL=，即：E=r

020R2LR2

rR时，有：E2rL=，即：E=

020r

［ C ］ 3（基础训练3） 如图所示，一个电荷为q的点电荷

位于立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于：

qq d． (B) ． (A) 60120

(C)

qq． (D) ． 240480

1

c

【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A处于大立方体的中心。则大立

方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss定理知，通过该高斯面的电通

量为

q

0

。再据对称性可知，通过侧面abcd的电场强度通量等于

q

。 240

［ D ］ 4（基础训练6） 在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点 ， 则M点的电势为

qq

． (B) ． (A)

40a80a

qq(C) ． (D) ．

40a80a

【提示】：VM



P

M

aEdl

q40r

2a

2

q80a

［ B ］ 5（自测提高6）如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R1、带电荷Q1，外球面半径为R2、带有电荷Q2．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r处的P点的电势U为：

(A)

Q1Q2Q1Q1Q2

． (B) ． (C) 0． (D) ．

40R140R240r40R1

【提示】：根据带点球面在求内外激发电势的规律，以及电势叠加原理即可知结果。

［ D ］ 6（自测提高8）8、点电荷-q位于圆心O处，A、B、C、D为同一圆周上的四点，如图9-38示。现将一试验电荷从A点分别移动到B、C、D各点，则 (A) 从A到B，电场力作功最大。

(B) 从A到C，电场力作功最大。 (C) 从A到D，电场力作功最大。

(D) 从A到各点，电场力作功相等。 【提示】：根据电场力做功与电势差之间的关系式：APQq0(VP

VQ)以及A、B、C、D四点电势相等即可知结果。

［ C ］ 7（自测提高10）如图所示，在真空中半径分别为R和2R的两个同心球面，其上分别均匀地带有电荷+q和－3q．今将一电荷为+Ｑ的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为：

(A)

Qq40R

． (B)

Qq20R

． (C)

Qq3Qq

． (D) ．

80R80R

【提示】：静电力做功QUABQ(VAVB)等于动能的增加。其中：

VA

q40R



3qqq3q2q

；VB

402R80R402R402R80R

VA、VB为内球面、外球面的电势，代上即得结果。

2

二．填空题

1（基础训练9）已知空气的击穿场强为30 kV/cm，空气中一带电球壳直径为1 m，以无限远

6

处为电势零点，则这球壳能达到的最高电势是 1.510V__。 【提示】：带电球壳的电势：V

Q40R

；球壳表面场强为：E

Q

。联立两式知：04R20

+

VER。

2（基础训练13） 两个平行的“无限大”均匀带电平面， 其电荷面密度分如图所示，则A、B、C三个区域的电场强度分别为：EA＝别为＋和＋2，

3

，C

20

EB＝

3

，EC＝ (设方向向右为正)．

2020

【提示】：A、B、C三个区域的场强，为两“无限大”均匀带电平面在该区域独自产生场强的矢量叠加。

3（基础训练17） AC为一根长为2l的带电细棒，左半部均匀带有负电荷，右半部均匀带有正电荷。电荷线密度分别为－和＋，如图所示。O点在棒的延长线上，距A端的距离为l．P点在棒的垂直平分线上，到棒的垂直距离为l．以棒的中点B为电势的零点。则O点电势Uo＝

3

ln；P点电势Up＝___0___． 404

【提示】： 题中棒的中点B为电势的零点与远处为电势的零点是

一致的。根据对称性及电势叠加原理，易知P点电势为0，O点电势为：



2l

l

3ldxdx 2l40x40x

4（自测提高13）、如图9-42所示，一电荷线密度为的无限长带电直线垂直通过图面上的A点；一带有电荷Q的均匀带电球体，其球心处于O点。△AOP是边长为a的等边三角形。为了使P点处场强方向垂直于OP，则

和Q的数量之间应满足Qa关系，且与Q【提示】：作场强矢量叠加图知，要使P点处场强方向垂直于OP，必须满足：5（自测提高14）一半径为R的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d (d

Q

2。 2

20a40a

qd420R3

，场强方向为_从O点指向缺口中心处．

【提示】：根据填补法思想，将带中性的缺口用两个带等量异号电荷的

缺口取代。

3

6 （自测提高17） 一均匀静电场，电场强度E400i600j V·m，则点a(3,2)和点b(1,0)

-1









之间的电势差Uab＝－2×103 V _． (点的坐标x,y以米计)。 【提示】：Uab



b

a

(1,0)(1,0)

Edl(400i600j)(dxidyj)400dx600dy＝－2×103 V

(3,2)

(3,2)

7（自测提高20）有三个点电荷q1、q2和q3，分别静止于圆周上的三个点，如9-46图所示。设无穷远处为电势零点，则该电荷系统的相互作用电势能W＝

q q1

q3

180R

2q1q2q1q32q2q3．



13

【提示】：参见辅导书例题9－7.或利用公式：WqVii，其中

2i1

Vi为除第i个点电荷外的所有其它电荷在该点出的电势。

三． 计算题

1 （基础训练18） 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强．

半无限长直线A∞在O点产生的场强：

E1　E2

E3



ij

40R



ij

40R



ij

40R

半无限长直线B∞在O点产生的场强：

四分之一圆弧段在O点产生的场强：

由场强叠加原理，O点合场强为：



　EE1E2E3



ij

40R

2（基础训练20） 真空中一立方体形的高斯面,边长a＝0.1

m，位于图中所示位置．已知空间的场强分布为： Ex=bx , Ey=0 , Ez=0． 常量b＝1000 N/(C·m)．试求通过该高斯面的电通量．

4

【解】：通过x＝a处平面1的电场强度通量

1 = -E1 S1= -b a3

通过x = 2a处平面2的电场强度通量

2 = E2 S2 = b a3

其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为

=1+2 = b a-b a= b a =1 N·m/C

33 32

（基础训练21） 带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为=0sin，式中0为一常数，3

为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．

【解】：在处取电荷元，其电荷为

dq =dl = 0Rsind

它在O点产生的场强为

dE

在x、y轴上的二个分量

0sinddq

 2

40R40R

dEx=－dEcos

dEy=－dEsin

对各分量分别求和：

0

Exsincosd＝0

40R0

002

 Eysind

40R080R



∴ EExiEyj0j

80R



4 （基础训练23）如图所示，在电矩为p的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧(圆心与电偶极子中心重合，R>>电偶极子正负电荷之间距离)移到B点，求此过程中电场力所作的功．

【解】：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势

式中r为从电偶极子中心到场点的矢径．

于是知： A、B 两点电势分别为





Upr/40r3

UAp/40R

2

5

UBp/40R2

pp

q从A移到B电场力作功(与路径无关)为

AqUAUBqp/20R2

5（基础训练24） 图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．

【解】: 由高斯定理可知空腔内E＝0，故带电球层的空腔是等势区， 各点电势均为U。

在球层内取半径为r→r＋dr的薄球层．其电荷为

dq =  4r2dr

该薄层电荷在球心处产生的电势为 dUdq/40rrdr/0 整个带电球层在球心处产生的电势为

U0dU0



0



R2

R1

rdr

2

R2R12 20

因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U为

UU0



若根据电势定义UEdl计算，也可。

2

R2R12 20

6（基础训练25） 图中所示为一沿x轴放置的长度为l的不均

匀带电细棒，其电荷线密度为＝0 (x-a)，0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势．

【解】：在任意位置x处取长度元dx，其上带有电荷dq=0 (x－a)dx，

它在O点产生的电势

x

dU

0xadx

40x

O点总电势

aldx00alal

ladUdUxalnaa40xa40

7（基础训练27） 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R1＝0.03 m和R2＝0.10 m．已知两者的电势差为450 V，求内球面上所带的电荷．

【解】：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为

E

两球的电势差 U12

Q

(R1＜r＜R2)

40r2



R2

R1

Q

Edr

40



R2

R1

drQ

r240

11 RR

21

∴ Q

40R1R2U12-＝2.14×109 C

R2R1

6

8（基础训练28）在一个平面上各点的电势满足下式：U

axb

，x和y12222(xy)(xy)

为这点的直角坐标，a和b为常数。求任一点电场强度的Ex和Ey两个分量。



【解】：根据EU，知：

dUa(xy)bx(xy)Ex; 

dx(x2y2)2

dUy[2axb(x2y2)]Ey. 222

dy(xy)

2

2

2

2附加题：

1 （基础训练29）如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为l，细线左端离球心距离为r0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)．

【解】：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电荷为dqdx，该线元在

带电球面的电场中所受电场力为：

dF = qdx / (40 x2)

x

整个细线所受电场力为：

qF

40



r0lr0

dxql



x240r0r0l方向沿x正方向．

电荷元在球面电荷电场中具有电势能：

dW = (qdx) / (40 x)

整个线电荷在电场中具有电势能：

qW

40



r0lr0

dxqr0l

ln

40xr0

7