绝密★启用前
2015-2016学年度二次函数
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题
1.二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图像如图所示,其对称轴为x =1,有如下结论:① 2c <1 ②2a +b =0 ③b 2<4a c ④若方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1,x 2,则x 1+x 2=2.则结论正确的是【
】
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
2.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax 2+bx+c
【 】
A .-15 C .x5 D .x <-1或x >5 3.二次函数y =ax 2+bx +
c y =bx +c 在同一坐标系中的大致图象是( )
.
24.在同一平面直角坐标系内,一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax +8x +b 的图象可能
是( )
5.如图是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分,其对称轴是x=﹣1,且过点(﹣3,0),下列说法:①abc <0;②2a ﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y 1),(0,y 2)是抛物线上两点,则
y 1<y 2,其中说法正确的是( ) 2
A .①② B.②③ C.①②④ D.②③④
6
.若函数y=mx²+(m+2)的图象与x 轴只有一个交点,那么m 的值为( )
A .0 B .0或2 C .2或-2 D .0,2或-2
27.已知二次函数y=ax+bx +c (a ≠0)的图像如图,有下列5个结论:①abc >0;②b
<a +c ;③4a +2b +c >0;④2c <3b ;⑤a +b >m (am +b )(m ≠1的实数)其中正确的结论个数有( )
A 、2个 B、3个 C、4个 D、5个
8.已知抛物线y =x 2-(4m +1) x +2m -1与x 轴交于两点,如果有一个交点的横坐标大于2
,另一个交点的横坐标小于2,并且抛物线与y 轴的交点在点(0那么m 的取值范围是( )
A
的下方,
.全体实数
9.在同一坐标系中,函数y =ax 2+b 与y =bx 2+ax 的图象,只可能是下图中的( )
A . B . C .
D .
210.在同一平面直角坐标系中,函数y=kx+k和函数y=﹣kx +4x+4(k 是常数,且k ≠0)
的图象可能是( )
A. B . C .
D .
11.若二次函数y =ax 2+bx +a 2-2(a ,b 为常数)的图象如下,则a 的值为( )
A
.1 D
12.抛物线y =-x 2+2x -2经过平移得到y =-x 2,平移方法是( )
A .向右平移1个单位,再向下平移1个单位
B .向右平移1个单位,再向上平移1个单位
C .向左平移1个单位,再向下平移1个单位
D .向左平移1个单位,再向上平移1个单位
13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其对称轴为直线x=−1,给出下列结果:(1)b2>4ac;(2)abc>0;(3)2a+b=0;(4)a+b+c>0;(5)a−b+c
A .(1)(2)(3)(4) B.(2)(4)(5)
C .(2)(3)(4) D.(1)(4)(5)
二、填空题(题型注释)
14.如图,抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)的对称轴是过点(1,0)且平行于 y轴的直线,若点P (4,0)在该抛物线上,则4a ﹣2b+c的值为 .
15.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点(-2,0),(x1,0) 且1<x 1<
22,与y 轴正半轴的交点在点(0,2)的下方,下列结论:①a <b <0;②b -4ac >-8a ;
③4a+c<0;④2a -b+l﹤0.其中正确的结论是(填写序号) .
216.已知二次函数y=ax+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,给出以下结论:
①a+b+c<0;②a-b+c<0;③b+2a<0;④abc >0.其中所有正确结论的序号是______.
A .②③ B.①② C.③④ D.①④
17. 2y =ax +bx -3a 经过A (-1,0)抛物线、C (0,-3)两点,与x 轴交于另一点B 。
(1)求此抛物线的解析式;
-m -1)(2)已知点D (m ,在第四象限的抛物线上,求点D 关于直线BC 对称的点D ' ,
的坐标。
(3)在(2)的条件下,连结BD ,问在x 轴上是否存在点P ,使∠PCB =∠CBD ,若存在,请求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由
如图,已知△ABC 为直角三角形,∠ACB =90°,AC =BC ,点A 、C 在x 轴上,点B 坐标为(3,m )(m>0) ,线段AB 与y 轴相交于点D ,以P (1,0)为顶点的二次函数图像经过点B 、D .
的坐标
19.求这个二次函数的解析式;
20.点Q 为二次函数图像上点P 至点B 之间的一点,连结PQ 、BQ ,求四边形ABQP 面积的最大值.
22.如图,已知抛物线y =-x 2+2x +8与x 轴交于A 、B 两点,点C 是抛物线在第一象限内部分的一个动点,点D 是OC 的中点,连接BD 并延长,交AC 于点E.
(1
tan ∠CAB 的值. (2)当点C 、点A 到y 轴距离相等时,求点E 坐标. (3)当∆
CDE
23.已知抛物线y=ax+2x+c的图象与x 轴交于点A (3,0)和点C ,与y 轴交于点B (0,3
). 2
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点D ,使得点D 到点B 、C 的距离之和最小,并求出点D 的坐标;
(3)在第一象限的抛物线上,是否存在一点P ,使得△ABP 的面积最大?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
24.如图,抛物线y=x²+bx+c与直线y=x-1交于A 、B 两点. 点A 的横坐标为-3,点B 在y 轴上,点P 是y 轴左侧抛物线上的一动点,横坐标为m ,过点P 作PC ⊥x 轴于C ,交直线AB 于D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当m 为何值时,S 四边形OBDC 2S V BPD ;
(3)是否存在点P, 使△PAD 是直角三角形,若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.
25.如图,已知抛物线与x 轴交于A (-1,0)、E (3,0)两点,与y 轴交于点B (0,
3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D ,求四边形AEDB 的面积;
(3)△AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
参考答案
1.C
【解析】由抛物线与y 轴的交点位置得到:c >1,选项①错误;
∵抛物线的对称轴为x=-b/2a =1,∴2a+b=0,选项②正确;
由抛物线与x 轴有两个交点,得到b2-4ac >0,即b2>4ac ,选项③错误;
令抛物线解析式中y=0,得到ax 2+bx+c=0,
∵方程的两根为x 1,x 2,且-b/2a =1,及-b/a =2,
∴x 1+x2=-b/a =2,选项④正确,
综上,正确的结论有②④.
故选C
2.D 。
【解析】利用二次函数的对称性,可得出图象与x 轴的另一个交点坐标,结合图象可得出ax 2+bx+c
由图象得:对称轴是x=2,其中一个点的坐标为(5,0),
∴图象与x 轴的另一个交点坐标为(-1,0)。 由图象可知:ax 2+bx+c
∴x <-1或x >5。故选D 。
3.D.
【解析】
试题分析:先根据二次函数的图象开口向下可知a <0,再由函数图象经过原点可知c=0,利用排除法即可得出正确答案.
∵二次函数的图象开口向下,
A 、C 错误; ∵二次函数的图象经过原点,
∴c=0,
∴一次函数y=bx+c的图象必经过原点,故B 错误.
故选D .
考点: 1.二次函数的图象;2. 一次函数的图象;3. 反比例函数的图象.
4.C
【解析】
试题分析:根据函数解析式可得:两个函数与y 轴交于同一点,则B 、D 排除;A 、一次函数a <0,b >0,二次函数a >0,b >0,则此选项错误;C 、一次函数a >0,b >0,二次函数a >0,b >0,则次选项正确.
考点:一次函数与二次函数
5.A
【解析】
试题分析:根据图像可得:a >0,b >0,c <0,则abc <0,则①正确;根据对称轴可得:
-1,则b=2a,即2a -b=0,则②正确;当x=2时,y >0,则4a+2b+c>0,则③错误;根据图像可得④错误.
考点:二次函数的性质
6.D
【解析】
试题分析:当函数为一次函数时,则m=0;当函数为二次函数时,
解得:m=±2.综上所述,m=0或2或-2.
考点:函数的性质
7.B
【解析】
试题分析:根据图象可得:a <0,b >0,c >0,则abc <0,则①错误;当x=-1时,y <0,即a -b+c<0,则②错误;③、④、⑤正确.
考点:二次函数的性质
8.A .
【解析】
试题分析:根据题意,令f (x ) =2x -(4m +1x +) ,抛物线m 2-∵1
x 轴有一个交点的横坐标大于2,另一个交点的横坐标小于2,y =2x -(4m +1) x +2与m -1
与y 轴的交点在点(0的下方,∴f (0)解得:m 且抛物线开口向上,∴f (2)<0,即4﹣2(4m+1)+2m﹣1<0,解得:m
故选A .
考点:1.抛物线与x 轴的交点;2.压轴题.
9.D .
【解析】
试题分析:A .两个函数的开口方向都向上,那么a >0,b >0,可得第一个函数的对称轴是y 轴,与y 轴交于正半轴,第二个函数的对称轴在y 轴的左侧,故本选项错误;
B .两个函数的开口方向都向下,那么a <0,b <0,可得第一个函数的对称轴是y 轴,与y 轴交于负半轴,第二个函数的对称轴在y 轴的左侧,故本选项错误;
C .D 、两个函数一个开口向上,一个开口向下,那么a ,b 同号,可得第二个函数的对称轴在y 轴的右侧,故C 错误,D 正确,故选D .
考点:二次函数的图象.
10.C .
【解析】
试题分析:分k >0与k <0两种情况进行讨论:①当k >0时,函数y=kx+k的图
2象经过一、二、三象限;函数y=-kx+4x+4的开口向下,对称轴在y 轴的右侧;
2当k <0时,函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限;函数y=-kx+4x+4的开口
向上,对称轴在y 轴的左侧,故答案选C .
考点:二次函数的图象和系数的关系; 一次函数的图象.
11.D
【解析】
试题分析:因为二次函数y =ax 2+bx +a 2-2(a ,b 为常数)的图象过原点,所以
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
a 2-2=
0a >0
D . 考点:二次函数图象的性质.
12.D
【解析】 试题分析:因为y =-x 2+2x -2=-(x -1) 2-3,所以抛物线y =-x 2+2x -2向左平移1个单位,再向上平移1个单位可以得到y =-x 2,故选:D .
考点:抛物线的平移.
13. D
【解析】
试题分析:因为抛物线与x 轴有2个交点,所以∆=b2-4ac >0,所以(1)b2>4ac正确;因为对称轴为直线x=−1
2a-b=0,所以(3)错误;然后观察所给选项可知:A 、B 、C 都错误,D 正确,也可以根据抛物线得出:a >0, b>0,c <0,所以abc <0,从而判断出(2)错误,然后可确定D 正确,故选:D .
考点:抛物线的性质.
14.0.
【解析】
试题分析:设抛物线与x 轴的另一个交点是Q ,∵抛物线的对称轴是过点(1,0),与x 轴的一个交点是P (4,0),∴与x 轴的另一个交点Q (﹣2,0),把(﹣2,0)代入解析式得:0=4a﹣2b+c,∴4a ﹣2b+c=0,故答案为:0.
考点:1.抛物线与x 轴的交点;2.数形结合.
15.①②③.
【解析】
试题解析:①根据题意画大致图象如图所示,
①由图象开口向下知a <0,
由y=ax+bx+c与X 轴的另一个交点坐标为(x 1,0 ),且1<x 1<2,
则该抛物线的对称轴为
2
1,
由a <0,两边都乘以a 得:b >a ,
∵a <0,对称轴
0,∴b <0,∴a <b <0.故正确; ②由于抛物线的对称轴大于-1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2,即:
222,由于a <0,所以4ac-b <8a ,即b -4ac >-8a ,故②正确; ③由4a-2b+c=0得4a+c=2b,
∵b <0,
∴4a+c<0,故此结论正确.
④由4a-2b+c=0得
0<c <2,∴-1<
0∴-1<2a-b <0∴2a-b+1>0,所以结论错误.
考点:抛物线与x 轴的交点.
16.A
【解析】
试题分析:因为抛物线开口向下,所以a <0,又对称轴在y 轴右侧且小于1,所以ab
异号,1,所以b >0,b+2a<0, 所以③正确;因为抛物线与y 轴的交点位于正半轴,所以c >0,所以abc <0,所以④错误,又因为当x=1时,y >0,所以a+b+c>0,所以①错误;当x=-1时,y <0,所以a-b+c<0,所以a-b+c<0,所以②正确,因此②③正确,故选:A . 考点:二次函数图象的性质.
17.
2y =x -2x -3 (1)
(2)(0,-1)
(3)(1,0)(9,0)
【解析】
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
18.A(3-m ,0) ,D(0,m -3 )
219.设以P (1,0)为顶点的抛物线的解析式为y =a(x-1) (a≠0)
∵抛物线过点B 、D ,
⎧m =a(3-1) ⎧m =4∴⎨ …………4分 2 解得⎨⎩m -3=a(0-1) ⎩a =12
所以二次函数的解析式为y =(x-1) ,
2即:y =x -2x +1 …………5分
220.设点Q 的坐标为(x,x -2 x+1) ,显然1<x <3 …6分
连结BP ,过点Q 作QH ⊥x 轴,交BP 于点H.
2
∵A (-1,0),P (1,0),B (3,4)
∴AP =2,BC =3,PC =2
由P (1,0),B (3,4)求得直线BP 的解析式为y =2x -2
2∵QH ⊥x 轴,点Q 的坐标为(x,x -2 x+1)
∴点H 的横坐标为x ,∴点H 的坐标为(x,2x -2)
22∴QH =2x -2-(x-2x +1) =-x +4x -3 …………7分
11∴四边形ABQP 面积S =S △APB +S △QPB =AP ×BC +×QH ×PC 22
112=2×4+×(-x +4x -3) ×2 22
=-x +4x +1=-(x-2) +5 …………9分
∵1<x <3
∴当x =2时,S 取得最大值为5, …………10分
即当点Q 的坐标为(2,1) 时,四边形ABQP 面积的最大值为5
【解析】略
22.(1)
理由见解析;(2)22;(3)2. 【解析】
试题分析:(1)由y=0,得出的一元二次方程的解就是A 、B 两点的横坐标.由此可求出A 、B 的坐标。通过构建相似三角形求解,过O 作OG ∥AC 交BE 于G ,那么可得出两组相似三角形:△GED ∽△OGD 、△BOG ∽△BAE ,可分别用这两组相似三角形得出OG 与EC 的比例关系、OG 与AE 的比例关系,从而得出CE 、AE 的比例关系.
(2)由已知可求C (2,8),再求AC 所在直线解析式,根据△AEF ∽△ACH 可求E 点坐标.
(3)由D 是OC 的中点可知S △OCE =2S△CDE , 又由已知可求S △AOC =8,从而可求出CH 、AH 的值,从而可求tan ∠CAB 的值.
2试题解析:(1)令y=0,则有-x +2x+8=0.
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
解得:x 1=-2,x 2=4
∴OA=2,OB=4.
过点O 作OG ∥AC 交BE 于G
∴△CEG ∽△OGD
∵DC=DO
∴CE=0G
∵OG ∥AC
∴△BOG ∽△BAE
∵OB=4,OA=2
(2)由(1)知A (-2,0),且点C 、点A 到y 轴的距离相等,
∴C (2,8)
设AC 所在直线解析式为:y=kx+b
把 A 、C 两点坐标代入求得k=2,b=4
所以y=2x+4
分别过E 、C 作EF ⊥x 轴,CH ⊥x 轴,垂足分别为F 、H
由△AEF ∽△ACH 可求
∴
E
(3)连接OE
∵D 是OC 的中点,
∴S △OCE =2S△CED
∵S △OCE : S△AOC =CE:CA=2:5
∴S △CED :
S
△AOC =1:5.
∴S △AOC =5S△CED =8
∴CH=8
考点: 二次函数综合题. 23.(1)y =-x 2+2x +3(2)(1,2)(3)存在,
2【解析】解:(1)∵抛物线y=ax+2x+c的图象经过点A (3,0)和点B (0,3), ⎧a =-1⎧9a +6+c =0 ∴⎨,解得⎨。 c =3c =3⎩⎩∴抛物线的解析式为:y =-x 2+2x +3。
(2)∵y =-x 2+2x +3=-(x -1)+4,∴对称轴为x=1。 令y =-x 2+2x +3=0,解得x 1=3,x 2=-1,∴C (-1,0)。
如图1所示,连接AB ,与对称轴x=1的交点即为所求之D 点,
2
由于A 、C 两点关于对称轴对称,则此时DB+DC=DB+DA=AB最小。
设直线AB 的解析式为y=kx+b,
由A (3,0)、B (0,3)可得:
⎧3k +b =0 ⎧k =-1,解得。 ⎨⎨⎩b =3⎩b =3
∴直线AB 解析式为y=-x +3。
当x=1时,y=2,∴D 点坐标为(1,2)。
(3)结论:存在。
如图2,设P (x ,y )是第一象限的抛物线上一点,
过点P 作PN ⊥x 轴于点N ,
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
则ON=x,PN=y,AN=OA-ON=3-x .
S ∆ABP =S 梯形
PNOB +S ∆PNA -S ∆AOB
∵P (x ,y )在抛物线上,∴y =-x 2+2x +3,代入上式得:
当
P )。 ∴在第一象限的抛物线上,存在一点P ,使得△ABP 的面积最大,P 点的坐标为。 (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式。
(2)连接AB ,与对称轴
x=1的交点即为所求之D 点.为求D 点坐标,求出直线AB 的解析式,然后令x=1求得y ,即可求出D 点坐标。
(3)求出△ABP 的面积表达式.这个表达式是一个关于P 点横坐标的二次函数,利用二次函数求极值的方法可以确定P 点的坐标。
24.(1)y=x+4x-1;(2)∴2【解析】
试题分析:(1)由x=0时带入y=x-1求出y 的值求出B 的坐标,当x=-3时,代入y=x-1求出y 的值就可以求出A 的坐标,由待定系数法就可以求出抛物线的解析式;
(2)连结OP ,由P 点的横坐标为m 可以表示出P 、D 的坐标,可以表示出S 四边形O B D C 和2S △B P D 建立方程求出其解即可.
(3)如图2,当∠APD=90°时,设出P 点的坐标,就可以表示出D 的坐标,由△APD ∽△FCD 就可与求出结论,如图3,当∠PAD=90°时,作AE ⊥x 轴于E
出AD ,再由△PAD ∽△FEA 由相似三角形的性质就可以求出结论.
试题解析:
∵y=x-1,∴x=0时,y=-1,∴B (0,-1).
当x=-3时,y=-4,∴A (-3,-4).
∵y=x+bx+c与直线y=x-1交于A 、B 两点,∴⎨2可以表示⎧-1=c ⎩-4=9-3b +c
⎧b =42∴⎨∴抛物线的解析式为:y=x+4x-1;
⎩c =-1
(2)∵P 点横坐标是m (m <0),∴P (m ,m +4m-1),D (m ,m-1)
如图1①,作BE ⊥PC 于E , ∴BE=-m.
2
如图1②,作BE ⊥PC 于E ,
∴BE=-m.
解得:m=0(舍去)或m=-3,
∴四边形O B D C =2S△B P D ; 2)如图
2,当∠APD=90°时,设P (a ,a +4a-1),则D (a ,a-1),
2∴AP=m+4,CD=1-m,OC=-m,CP=1-4m-m,
22∴DP=1-4m-m-1+m=-3m-m.
在y=x-1中,当y=0时,x=1,
∴(1,0),
∴OF=1,∴CF=1-m.
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
∵PC ⊥x 轴,
∴∠PCF=90°,
∴∠PCF=∠APD ,
∴CF ∥AP ,
∴△APD ∽△FCD ,
解得:m=1舍去或m=-2,∴P (-2,-5)
如图3,当∠PAD=90°时,作AE ⊥x 轴于E ,
∴∠AEF=90°.CE=-3-m,EF=4,
PD=1-m-(1-4m-m )=3m+m.
∵PC ⊥x 轴,∵PC ⊥x 轴,
∴∠DCF=90°,
∴∠DCF=∠AEF ,
∴AE ∥CD .
22
∴
∵△PAD ∽△FEA ,
∴m=-2或m=-3
∴P (-2,-5)或(-3,-4)与点A 重合,舍去,
∴P (-2,-5).
考点:二次函数综合题.
25.(1)y =-x 2+2x +3;(2)9;(3)△AOB ∽△DBE. 理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)已知了抛物线图象上的三点坐标,可用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)根据抛物线的解析式,易求得抛物线顶点D 的坐标;过D 作DF ⊥x 轴于F ,那么四边形AEDB 的面积就可以由△AOB 、△DEF 、梯形BOFD 的面积和求得.
(3)先判定△DBE 是直角三角形,即可得证△AOB ∽△DBE.
试题解析:(1)∵抛物线与y 轴交于点(0,3),
∴设抛物线解析式为y =ax 2+bx +3(a ≠0) ⎧a -b +3=0根据题意,得⎨, 9a +3b +3=0⎩
解得⎨⎧a =-1 ⎩b =2
∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3;
(2)由顶点坐标公式求得顶点坐标为(1,4) 设对称轴与x 轴的交点为F
∴四边形ABDE 的面积=S ∆ABO +S 梯形BOFD +S ∆DFE
(3)相似
∴BD 2+BE 2=20, DE 2=20
22
2即:BD +BE =DE ,所以△BDE 是直角三角形 ∴∠AOB =∠DBE =90∴△AOB ∽△DBE.
考点: 二次函数综合题.
绝密★启用前
2015-2016学年度二次函数
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题
1.二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图像如图所示,其对称轴为x =1,有如下结论:① 2c <1 ②2a +b =0 ③b 2<4a c ④若方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1,x 2,则x 1+x 2=2.则结论正确的是【
】
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
2.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax 2+bx+c
【 】
A .-15 C .x5 D .x <-1或x >5 3.二次函数y =ax 2+bx +
c y =bx +c 在同一坐标系中的大致图象是( )
.
24.在同一平面直角坐标系内,一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax +8x +b 的图象可能
是( )
5.如图是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分,其对称轴是x=﹣1,且过点(﹣3,0),下列说法:①abc <0;②2a ﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y 1),(0,y 2)是抛物线上两点,则
y 1<y 2,其中说法正确的是( ) 2
A .①② B.②③ C.①②④ D.②③④
6
.若函数y=mx²+(m+2)的图象与x 轴只有一个交点,那么m 的值为( )
A .0 B .0或2 C .2或-2 D .0,2或-2
27.已知二次函数y=ax+bx +c (a ≠0)的图像如图,有下列5个结论:①abc >0;②b
<a +c ;③4a +2b +c >0;④2c <3b ;⑤a +b >m (am +b )(m ≠1的实数)其中正确的结论个数有( )
A 、2个 B、3个 C、4个 D、5个
8.已知抛物线y =x 2-(4m +1) x +2m -1与x 轴交于两点,如果有一个交点的横坐标大于2
,另一个交点的横坐标小于2,并且抛物线与y 轴的交点在点(0那么m 的取值范围是( )
A
的下方,
.全体实数
9.在同一坐标系中,函数y =ax 2+b 与y =bx 2+ax 的图象,只可能是下图中的( )
A . B . C .
D .
210.在同一平面直角坐标系中,函数y=kx+k和函数y=﹣kx +4x+4(k 是常数,且k ≠0)
的图象可能是( )
A. B . C .
D .
11.若二次函数y =ax 2+bx +a 2-2(a ,b 为常数)的图象如下,则a 的值为( )
A
.1 D
12.抛物线y =-x 2+2x -2经过平移得到y =-x 2,平移方法是( )
A .向右平移1个单位,再向下平移1个单位
B .向右平移1个单位,再向上平移1个单位
C .向左平移1个单位,再向下平移1个单位
D .向左平移1个单位,再向上平移1个单位
13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其对称轴为直线x=−1,给出下列结果:(1)b2>4ac;(2)abc>0;(3)2a+b=0;(4)a+b+c>0;(5)a−b+c
A .(1)(2)(3)(4) B.(2)(4)(5)
C .(2)(3)(4) D.(1)(4)(5)
二、填空题(题型注释)
14.如图,抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)的对称轴是过点(1,0)且平行于 y轴的直线,若点P (4,0)在该抛物线上,则4a ﹣2b+c的值为 .
15.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点(-2,0),(x1,0) 且1<x 1<
22,与y 轴正半轴的交点在点(0,2)的下方,下列结论:①a <b <0;②b -4ac >-8a ;
③4a+c<0;④2a -b+l﹤0.其中正确的结论是(填写序号) .
216.已知二次函数y=ax+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,给出以下结论:
①a+b+c<0;②a-b+c<0;③b+2a<0;④abc >0.其中所有正确结论的序号是______.
A .②③ B.①② C.③④ D.①④
17. 2y =ax +bx -3a 经过A (-1,0)抛物线、C (0,-3)两点,与x 轴交于另一点B 。
(1)求此抛物线的解析式;
-m -1)(2)已知点D (m ,在第四象限的抛物线上,求点D 关于直线BC 对称的点D ' ,
的坐标。
(3)在(2)的条件下,连结BD ,问在x 轴上是否存在点P ,使∠PCB =∠CBD ,若存在,请求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由
如图,已知△ABC 为直角三角形,∠ACB =90°,AC =BC ,点A 、C 在x 轴上,点B 坐标为(3,m )(m>0) ,线段AB 与y 轴相交于点D ,以P (1,0)为顶点的二次函数图像经过点B 、D .
的坐标
19.求这个二次函数的解析式;
20.点Q 为二次函数图像上点P 至点B 之间的一点,连结PQ 、BQ ,求四边形ABQP 面积的最大值.
22.如图,已知抛物线y =-x 2+2x +8与x 轴交于A 、B 两点,点C 是抛物线在第一象限内部分的一个动点,点D 是OC 的中点,连接BD 并延长,交AC 于点E.
(1
tan ∠CAB 的值. (2)当点C 、点A 到y 轴距离相等时,求点E 坐标. (3)当∆
CDE
23.已知抛物线y=ax+2x+c的图象与x 轴交于点A (3,0)和点C ,与y 轴交于点B (0,3
). 2
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点D ,使得点D 到点B 、C 的距离之和最小,并求出点D 的坐标;
(3)在第一象限的抛物线上,是否存在一点P ,使得△ABP 的面积最大?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
24.如图,抛物线y=x²+bx+c与直线y=x-1交于A 、B 两点. 点A 的横坐标为-3,点B 在y 轴上,点P 是y 轴左侧抛物线上的一动点,横坐标为m ,过点P 作PC ⊥x 轴于C ,交直线AB 于D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当m 为何值时,S 四边形OBDC 2S V BPD ;
(3)是否存在点P, 使△PAD 是直角三角形,若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.
25.如图,已知抛物线与x 轴交于A (-1,0)、E (3,0)两点,与y 轴交于点B (0,
3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D ,求四边形AEDB 的面积;
(3)△AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
参考答案
1.C
【解析】由抛物线与y 轴的交点位置得到:c >1,选项①错误;
∵抛物线的对称轴为x=-b/2a =1,∴2a+b=0,选项②正确;
由抛物线与x 轴有两个交点,得到b2-4ac >0,即b2>4ac ,选项③错误;
令抛物线解析式中y=0,得到ax 2+bx+c=0,
∵方程的两根为x 1,x 2,且-b/2a =1,及-b/a =2,
∴x 1+x2=-b/a =2,选项④正确,
综上,正确的结论有②④.
故选C
2.D 。
【解析】利用二次函数的对称性,可得出图象与x 轴的另一个交点坐标,结合图象可得出ax 2+bx+c
由图象得:对称轴是x=2,其中一个点的坐标为(5,0),
∴图象与x 轴的另一个交点坐标为(-1,0)。 由图象可知:ax 2+bx+c
∴x <-1或x >5。故选D 。
3.D.
【解析】
试题分析:先根据二次函数的图象开口向下可知a <0,再由函数图象经过原点可知c=0,利用排除法即可得出正确答案.
∵二次函数的图象开口向下,
A 、C 错误; ∵二次函数的图象经过原点,
∴c=0,
∴一次函数y=bx+c的图象必经过原点,故B 错误.
故选D .
考点: 1.二次函数的图象;2. 一次函数的图象;3. 反比例函数的图象.
4.C
【解析】
试题分析:根据函数解析式可得:两个函数与y 轴交于同一点,则B 、D 排除;A 、一次函数a <0,b >0,二次函数a >0,b >0,则此选项错误;C 、一次函数a >0,b >0,二次函数a >0,b >0,则次选项正确.
考点:一次函数与二次函数
5.A
【解析】
试题分析:根据图像可得:a >0,b >0,c <0,则abc <0,则①正确;根据对称轴可得:
-1,则b=2a,即2a -b=0,则②正确;当x=2时,y >0,则4a+2b+c>0,则③错误;根据图像可得④错误.
考点:二次函数的性质
6.D
【解析】
试题分析:当函数为一次函数时,则m=0;当函数为二次函数时,
解得:m=±2.综上所述,m=0或2或-2.
考点:函数的性质
7.B
【解析】
试题分析:根据图象可得:a <0,b >0,c >0,则abc <0,则①错误;当x=-1时,y <0,即a -b+c<0,则②错误;③、④、⑤正确.
考点:二次函数的性质
8.A .
【解析】
试题分析:根据题意,令f (x ) =2x -(4m +1x +) ,抛物线m 2-∵1
x 轴有一个交点的横坐标大于2,另一个交点的横坐标小于2,y =2x -(4m +1) x +2与m -1
与y 轴的交点在点(0的下方,∴f (0)解得:m 且抛物线开口向上,∴f (2)<0,即4﹣2(4m+1)+2m﹣1<0,解得:m
故选A .
考点:1.抛物线与x 轴的交点;2.压轴题.
9.D .
【解析】
试题分析:A .两个函数的开口方向都向上,那么a >0,b >0,可得第一个函数的对称轴是y 轴,与y 轴交于正半轴,第二个函数的对称轴在y 轴的左侧,故本选项错误;
B .两个函数的开口方向都向下,那么a <0,b <0,可得第一个函数的对称轴是y 轴,与y 轴交于负半轴,第二个函数的对称轴在y 轴的左侧,故本选项错误;
C .D 、两个函数一个开口向上,一个开口向下,那么a ,b 同号,可得第二个函数的对称轴在y 轴的右侧,故C 错误,D 正确,故选D .
考点:二次函数的图象.
10.C .
【解析】
试题分析:分k >0与k <0两种情况进行讨论:①当k >0时,函数y=kx+k的图
2象经过一、二、三象限;函数y=-kx+4x+4的开口向下,对称轴在y 轴的右侧;
2当k <0时,函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限;函数y=-kx+4x+4的开口
向上,对称轴在y 轴的左侧,故答案选C .
考点:二次函数的图象和系数的关系; 一次函数的图象.
11.D
【解析】
试题分析:因为二次函数y =ax 2+bx +a 2-2(a ,b 为常数)的图象过原点,所以
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
a 2-2=
0a >0
D . 考点:二次函数图象的性质.
12.D
【解析】 试题分析:因为y =-x 2+2x -2=-(x -1) 2-3,所以抛物线y =-x 2+2x -2向左平移1个单位,再向上平移1个单位可以得到y =-x 2,故选:D .
考点:抛物线的平移.
13. D
【解析】
试题分析:因为抛物线与x 轴有2个交点,所以∆=b2-4ac >0,所以(1)b2>4ac正确;因为对称轴为直线x=−1
2a-b=0,所以(3)错误;然后观察所给选项可知:A 、B 、C 都错误,D 正确,也可以根据抛物线得出:a >0, b>0,c <0,所以abc <0,从而判断出(2)错误,然后可确定D 正确,故选:D .
考点:抛物线的性质.
14.0.
【解析】
试题分析:设抛物线与x 轴的另一个交点是Q ,∵抛物线的对称轴是过点(1,0),与x 轴的一个交点是P (4,0),∴与x 轴的另一个交点Q (﹣2,0),把(﹣2,0)代入解析式得:0=4a﹣2b+c,∴4a ﹣2b+c=0,故答案为:0.
考点:1.抛物线与x 轴的交点;2.数形结合.
15.①②③.
【解析】
试题解析:①根据题意画大致图象如图所示,
①由图象开口向下知a <0,
由y=ax+bx+c与X 轴的另一个交点坐标为(x 1,0 ),且1<x 1<2,
则该抛物线的对称轴为
2
1,
由a <0,两边都乘以a 得:b >a ,
∵a <0,对称轴
0,∴b <0,∴a <b <0.故正确; ②由于抛物线的对称轴大于-1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2,即:
222,由于a <0,所以4ac-b <8a ,即b -4ac >-8a ,故②正确; ③由4a-2b+c=0得4a+c=2b,
∵b <0,
∴4a+c<0,故此结论正确.
④由4a-2b+c=0得
0<c <2,∴-1<
0∴-1<2a-b <0∴2a-b+1>0,所以结论错误.
考点:抛物线与x 轴的交点.
16.A
【解析】
试题分析:因为抛物线开口向下,所以a <0,又对称轴在y 轴右侧且小于1,所以ab
异号,1,所以b >0,b+2a<0, 所以③正确;因为抛物线与y 轴的交点位于正半轴,所以c >0,所以abc <0,所以④错误,又因为当x=1时,y >0,所以a+b+c>0,所以①错误;当x=-1时,y <0,所以a-b+c<0,所以a-b+c<0,所以②正确,因此②③正确,故选:A . 考点:二次函数图象的性质.
17.
2y =x -2x -3 (1)
(2)(0,-1)
(3)(1,0)(9,0)
【解析】
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
18.A(3-m ,0) ,D(0,m -3 )
219.设以P (1,0)为顶点的抛物线的解析式为y =a(x-1) (a≠0)
∵抛物线过点B 、D ,
⎧m =a(3-1) ⎧m =4∴⎨ …………4分 2 解得⎨⎩m -3=a(0-1) ⎩a =12
所以二次函数的解析式为y =(x-1) ,
2即:y =x -2x +1 …………5分
220.设点Q 的坐标为(x,x -2 x+1) ,显然1<x <3 …6分
连结BP ,过点Q 作QH ⊥x 轴,交BP 于点H.
2
∵A (-1,0),P (1,0),B (3,4)
∴AP =2,BC =3,PC =2
由P (1,0),B (3,4)求得直线BP 的解析式为y =2x -2
2∵QH ⊥x 轴,点Q 的坐标为(x,x -2 x+1)
∴点H 的横坐标为x ,∴点H 的坐标为(x,2x -2)
22∴QH =2x -2-(x-2x +1) =-x +4x -3 …………7分
11∴四边形ABQP 面积S =S △APB +S △QPB =AP ×BC +×QH ×PC 22
112=2×4+×(-x +4x -3) ×2 22
=-x +4x +1=-(x-2) +5 …………9分
∵1<x <3
∴当x =2时,S 取得最大值为5, …………10分
即当点Q 的坐标为(2,1) 时,四边形ABQP 面积的最大值为5
【解析】略
22.(1)
理由见解析;(2)22;(3)2. 【解析】
试题分析:(1)由y=0,得出的一元二次方程的解就是A 、B 两点的横坐标.由此可求出A 、B 的坐标。通过构建相似三角形求解,过O 作OG ∥AC 交BE 于G ,那么可得出两组相似三角形:△GED ∽△OGD 、△BOG ∽△BAE ,可分别用这两组相似三角形得出OG 与EC 的比例关系、OG 与AE 的比例关系,从而得出CE 、AE 的比例关系.
(2)由已知可求C (2,8),再求AC 所在直线解析式,根据△AEF ∽△ACH 可求E 点坐标.
(3)由D 是OC 的中点可知S △OCE =2S△CDE , 又由已知可求S △AOC =8,从而可求出CH 、AH 的值,从而可求tan ∠CAB 的值.
2试题解析:(1)令y=0,则有-x +2x+8=0.
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
解得:x 1=-2,x 2=4
∴OA=2,OB=4.
过点O 作OG ∥AC 交BE 于G
∴△CEG ∽△OGD
∵DC=DO
∴CE=0G
∵OG ∥AC
∴△BOG ∽△BAE
∵OB=4,OA=2
(2)由(1)知A (-2,0),且点C 、点A 到y 轴的距离相等,
∴C (2,8)
设AC 所在直线解析式为:y=kx+b
把 A 、C 两点坐标代入求得k=2,b=4
所以y=2x+4
分别过E 、C 作EF ⊥x 轴,CH ⊥x 轴,垂足分别为F 、H
由△AEF ∽△ACH 可求
∴
E
(3)连接OE
∵D 是OC 的中点,
∴S △OCE =2S△CED
∵S △OCE : S△AOC =CE:CA=2:5
∴S △CED :
S
△AOC =1:5.
∴S △AOC =5S△CED =8
∴CH=8
考点: 二次函数综合题. 23.(1)y =-x 2+2x +3(2)(1,2)(3)存在,
2【解析】解:(1)∵抛物线y=ax+2x+c的图象经过点A (3,0)和点B (0,3), ⎧a =-1⎧9a +6+c =0 ∴⎨,解得⎨。 c =3c =3⎩⎩∴抛物线的解析式为:y =-x 2+2x +3。
(2)∵y =-x 2+2x +3=-(x -1)+4,∴对称轴为x=1。 令y =-x 2+2x +3=0,解得x 1=3,x 2=-1,∴C (-1,0)。
如图1所示,连接AB ,与对称轴x=1的交点即为所求之D 点,
2
由于A 、C 两点关于对称轴对称,则此时DB+DC=DB+DA=AB最小。
设直线AB 的解析式为y=kx+b,
由A (3,0)、B (0,3)可得:
⎧3k +b =0 ⎧k =-1,解得。 ⎨⎨⎩b =3⎩b =3
∴直线AB 解析式为y=-x +3。
当x=1时,y=2,∴D 点坐标为(1,2)。
(3)结论:存在。
如图2,设P (x ,y )是第一象限的抛物线上一点,
过点P 作PN ⊥x 轴于点N ,
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
则ON=x,PN=y,AN=OA-ON=3-x .
S ∆ABP =S 梯形
PNOB +S ∆PNA -S ∆AOB
∵P (x ,y )在抛物线上,∴y =-x 2+2x +3,代入上式得:
当
P )。 ∴在第一象限的抛物线上,存在一点P ,使得△ABP 的面积最大,P 点的坐标为。 (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式。
(2)连接AB ,与对称轴
x=1的交点即为所求之D 点.为求D 点坐标,求出直线AB 的解析式,然后令x=1求得y ,即可求出D 点坐标。
(3)求出△ABP 的面积表达式.这个表达式是一个关于P 点横坐标的二次函数,利用二次函数求极值的方法可以确定P 点的坐标。
24.(1)y=x+4x-1;(2)∴2【解析】
试题分析:(1)由x=0时带入y=x-1求出y 的值求出B 的坐标,当x=-3时,代入y=x-1求出y 的值就可以求出A 的坐标,由待定系数法就可以求出抛物线的解析式;
(2)连结OP ,由P 点的横坐标为m 可以表示出P 、D 的坐标,可以表示出S 四边形O B D C 和2S △B P D 建立方程求出其解即可.
(3)如图2,当∠APD=90°时,设出P 点的坐标,就可以表示出D 的坐标,由△APD ∽△FCD 就可与求出结论,如图3,当∠PAD=90°时,作AE ⊥x 轴于E
出AD ,再由△PAD ∽△FEA 由相似三角形的性质就可以求出结论.
试题解析:
∵y=x-1,∴x=0时,y=-1,∴B (0,-1).
当x=-3时,y=-4,∴A (-3,-4).
∵y=x+bx+c与直线y=x-1交于A 、B 两点,∴⎨2可以表示⎧-1=c ⎩-4=9-3b +c
⎧b =42∴⎨∴抛物线的解析式为:y=x+4x-1;
⎩c =-1
(2)∵P 点横坐标是m (m <0),∴P (m ,m +4m-1),D (m ,m-1)
如图1①,作BE ⊥PC 于E , ∴BE=-m.
2
如图1②,作BE ⊥PC 于E ,
∴BE=-m.
解得:m=0(舍去)或m=-3,
∴四边形O B D C =2S△B P D ; 2)如图
2,当∠APD=90°时,设P (a ,a +4a-1),则D (a ,a-1),
2∴AP=m+4,CD=1-m,OC=-m,CP=1-4m-m,
22∴DP=1-4m-m-1+m=-3m-m.
在y=x-1中,当y=0时,x=1,
∴(1,0),
∴OF=1,∴CF=1-m.
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
∵PC ⊥x 轴,
∴∠PCF=90°,
∴∠PCF=∠APD ,
∴CF ∥AP ,
∴△APD ∽△FCD ,
解得:m=1舍去或m=-2,∴P (-2,-5)
如图3,当∠PAD=90°时,作AE ⊥x 轴于E ,
∴∠AEF=90°.CE=-3-m,EF=4,
PD=1-m-(1-4m-m )=3m+m.
∵PC ⊥x 轴,∵PC ⊥x 轴,
∴∠DCF=90°,
∴∠DCF=∠AEF ,
∴AE ∥CD .
22
∴
∵△PAD ∽△FEA ,
∴m=-2或m=-3
∴P (-2,-5)或(-3,-4)与点A 重合,舍去,
∴P (-2,-5).
考点:二次函数综合题.
25.(1)y =-x 2+2x +3;(2)9;(3)△AOB ∽△DBE. 理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)已知了抛物线图象上的三点坐标,可用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)根据抛物线的解析式,易求得抛物线顶点D 的坐标;过D 作DF ⊥x 轴于F ,那么四边形AEDB 的面积就可以由△AOB 、△DEF 、梯形BOFD 的面积和求得.
(3)先判定△DBE 是直角三角形,即可得证△AOB ∽△DBE.
试题解析:(1)∵抛物线与y 轴交于点(0,3),
∴设抛物线解析式为y =ax 2+bx +3(a ≠0) ⎧a -b +3=0根据题意,得⎨, 9a +3b +3=0⎩
解得⎨⎧a =-1 ⎩b =2
∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3;
(2)由顶点坐标公式求得顶点坐标为(1,4) 设对称轴与x 轴的交点为F
∴四边形ABDE 的面积=S ∆ABO +S 梯形BOFD +S ∆DFE
(3)相似
∴BD 2+BE 2=20, DE 2=20
22
2即:BD +BE =DE ,所以△BDE 是直角三角形 ∴∠AOB =∠DBE =90∴△AOB ∽△DBE.
考点: 二次函数综合题.