龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn
关于高中数学矩阵特征值与特征向量的求解 作者：张志勇
来源：《新课程·中学》2013年第12期
摘 要：矩形是线性代数的主要研究内容，而且在众多的领域都有着广泛地应用。在多数《高数》教材中和大部分《线数》教材中关于特征值与特征向量有完全不同的定义。但实际上它们之间的关系是线性代数理论中最为精彩的一页。通过关于矩阵特征值与特征向量的求解使我们体会到运用矩阵的特征值理论，使解决问题的方法变得简便巧妙。
关键词：矩阵；特征值；特征向量
在多数《高数》教材中，特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A 的属性，其定义如下：设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数λ，存在一个非零向量？孜∈V 使得A ？孜=λ？孜那么λ称为A 的一个特征值，而？孜称为A 的属于特征值λ的一个特征向量。
在大部分《线数》教材中，特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成部分，其定义如下：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，若存在一个数λ∈P 以及一个非零n 维列向量 使得Ax=λx则称是矩阵A 的一个特征值，向量x 称为矩阵A 关于特征值λ的特征向量。
从表面上看，这是两种关于特征值与特征向量完全不同的定义，但实际上它们之间的关系是线性代数理论中最为精彩的一页。
一、对于具体的数字矩阵A=（aij ）n×n ，求A 的特征值与特征向量的步骤
第一步由A-λE=0求得A 的n 个特征值，设λ1，λ2，…λt是A 的互异特征值，其重数分别为r1，r2，…，rt ，且r1+r2+…+rt=n.
第二步求解齐次线性那个方程组（A-r1E ）x=0（i=（1，2，…，t ）其基础解系就是A 对应特征值λ1的线性无关的特征向量，设基础解系为Pi1，Pi2，…Pit（1≤si≤ri）则A 对应特征值λ1的全部特征向量为ki1Pt1+ki2Pt2+…+kisiPtsi（ki1，ki2，…，kisi 不全为0）
注1：求特征多项式A-λE时最好先用行列式性质化简，并提取λ的一次多项式，然后展开计算。如果求出n 阶A 的特征多项式如A-λE=（-1）nλn+an-1λn-1+…+a1λ+a0，且其中ai （i=0，1，2，3…，n-1）均为整数，则A 得整数特征值（如果存在）应该是常数项a0的因子，因此可以通过对a0的所有整数因子的验证来求出A 的特征值（北京大学数学系几何与代数教研小组编写的高等代数教材第二版第一章第9节有理系数多项式的定理12）。
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关于高中数学矩阵特征值与特征向量的求解 作者：张志勇
来源：《新课程·中学》2013年第12期
摘 要：矩形是线性代数的主要研究内容，而且在众多的领域都有着广泛地应用。在多数《高数》教材中和大部分《线数》教材中关于特征值与特征向量有完全不同的定义。但实际上它们之间的关系是线性代数理论中最为精彩的一页。通过关于矩阵特征值与特征向量的求解使我们体会到运用矩阵的特征值理论，使解决问题的方法变得简便巧妙。
关键词：矩阵；特征值；特征向量
在多数《高数》教材中，特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A 的属性，其定义如下：设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数λ，存在一个非零向量？孜∈V 使得A ？孜=λ？孜那么λ称为A 的一个特征值，而？孜称为A 的属于特征值λ的一个特征向量。
在大部分《线数》教材中，特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成部分，其定义如下：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，若存在一个数λ∈P 以及一个非零n 维列向量 使得Ax=λx则称是矩阵A 的一个特征值，向量x 称为矩阵A 关于特征值λ的特征向量。
从表面上看，这是两种关于特征值与特征向量完全不同的定义，但实际上它们之间的关系是线性代数理论中最为精彩的一页。
一、对于具体的数字矩阵A=（aij ）n×n ，求A 的特征值与特征向量的步骤
第一步由A-λE=0求得A 的n 个特征值，设λ1，λ2，…λt是A 的互异特征值，其重数分别为r1，r2，…，rt ，且r1+r2+…+rt=n.
第二步求解齐次线性那个方程组（A-r1E ）x=0（i=（1，2，…，t ）其基础解系就是A 对应特征值λ1的线性无关的特征向量，设基础解系为Pi1，Pi2，…Pit（1≤si≤ri）则A 对应特征值λ1的全部特征向量为ki1Pt1+ki2Pt2+…+kisiPtsi（ki1，ki2，…，kisi 不全为0）
注1：求特征多项式A-λE时最好先用行列式性质化简，并提取λ的一次多项式，然后展开计算。如果求出n 阶A 的特征多项式如A-λE=（-1）nλn+an-1λn-1+…+a1λ+a0，且其中ai （i=0，1，2，3…，n-1）均为整数，则A 得整数特征值（如果存在）应该是常数项a0的因子，因此可以通过对a0的所有整数因子的验证来求出A 的特征值（北京大学数学系几何与代数教研小组编写的高等代数教材第二版第一章第9节有理系数多项式的定理12）。