充要条件集合解释

充要条件的集合模型解释

周至五中数学组宋鹏飞

1 集合模型解释充要条件

A 是B 的充分不必要条件，

A 是B 的必要不充分条件，

A 是B 的充要条件，）即A=B 。 A （B

B A B A B 即A ⊆B 。 B A 即B ⊆A 。

A 是B 的既不充分也不必要条件，A

或

即A ∩B=φ或A 、B 既有公共元素也有非公共元素。

2 模型应用例谈

例1“|x －1|

解析：由|x －1|

由x (x －3)

答案：必要不充分

x ⎪例2 p ：lg(x 2－2x －2) ≥0，命题q ：⎪1－⎪2⎪

范围．

解析：由p 是真命题，知lg(x 2－2x －2) ≥0，可得x 2－2x －2≥1⇔x 2－2x －3≥0 ⇔x ≤－1或x ≥3.

x ⎪x x 由q 是假命题，知⎪1－≥1⇔1－≤－1或1≥1⇔x ≥4或x ≤0. ⎪2⎪22

∴所求x 的取值范围是：{x |x ≤－1或x ≥3}∩{x |x ≤0或x ≥4}，即：{x |x ≤－1或x ≥4}．例3已知p:-x -1

分析：设命题p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则可由A ⊆B 出发解题。

解：A={x|-2

当m ≥0时，B={x|1-m

∵A ⊆B ,∴1-m ≤-2

当m

∵A ⊆B ,∴1+m≤-2

综上，m 的范围为m ≥9或m ≤-9 。

点评：如果将集合B 写成{x|(x-1)

例4对实数x 、y ，“x +y ≤1”是“x ≤1y ≤1”的什么条件？

解析：从集合的角度判断，考虑集合A ={(x ，y ) |x +y ≤1}与22B ={(x ，y ) |x ≤1y ≤1}的包含关系．

A ={(，x y ) |+≤y }与1B ={(x ，y ) |x ≤1y ≤1}表示的集合为如图甲、乙中阴影部分，将甲、乙两图象合成丙图．

由丙图可以知道，A ⊆B ，所以x +y ≤1是x ≤1，y ≤1的充分不必要条件．

评注：充分条件、必要条件、充要条件是重要的数学概念，在判断时应①确定条件是什么、结论是什么；②尝试从条件推导结论，从结论推导条件；③确定条件是结论的什么条件．本题结合转化的思想、数形结合思想与集合的观点判断“充分”、“必要”、“充要”条件．

3练习：

1“x∉A 且x ∉B”是“x∉A∩B”的 ( )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

2. 已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（）（提示：用集合的观点分析）

（Ａ）充分不必要条件（Ｂ）必要不充分条件

（Ｃ）充要条件（Ｄ）既不充分又不必要条件

⎧⎪x ＋2≥0，⎨3. 已知命题p ：命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，⎪x －10≤0. ⎩

求实数m 的取值范围．

4.是否存在实数p, 使“4x+p 0”的充分条件? 如果存在，求出p 的取值范围．是否存在实数p ，使“4x+p0”的必要条件，如果存在，求出p 的取值范围．